陕西省咸阳市秦都区联考2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份陕西省咸阳市秦都区联考2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试题（原卷版+解析版），共25页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、姓名、班级、监测号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．答作图题时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：（ ）
A. B. 4C. 9D. 36
2. 如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，从左面看到的该几何体的形状图是（ ）
A B. C. D.
3. 为更好地了解全校同学参加体育活动的情况，小明设计了一份调查问卷，需要受调查的同学写出个人的性别、年龄、最喜欢参加的体育活动项目、每周参加体育活动的时长等信息．
以下说法正确的是（ ）
A. 性别是定量数据B. 年龄是定性数据
C. 最喜欢参加的体育活动项目是定量数据D. 每周参加体育活动的时长是定量数据
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
5. 马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（ ）
A. B. C. D.
6. 若是关于的方程的解，则的倒数是（ ）．
A 5B. C. D.
7. 如图，是线段的中点，是线段上一点，下列各式不可以表示的长度的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个五角星，第2个图案中有6个五角星，第3个图案中有8个五角星，第4个图案中有10个五角星，……，按此规律排列下去，则有20个五角星的图案是（ ）．
A. 第8个B. 第9个C. 第10个D. 第11个
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 有理数、在数轴上的位置如图所示，则_____．（填“”“”或“”）
10. 渭河是黄河的最大支流，多年平均径流量亿立方米，其中陕西境内为立方米，数据用科学记数法表示为_____．
11. 如图所示的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到圆柱的是_____．（填“①”或“②”）
12. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中第七卷“盈不足”中有如下问题：“今有垣高九尺．瓜生其上，蔓日长七寸；瓠（hù）生其下，蔓日长一尺．问几日相逢？”译文：“今有墙高9尺．瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺．问经过多少日两蔓相逢？”其中1尺寸，若设经过x日两蔓相逢，根据题意，可列方程为：______．
13. 为提升劳动技能，某校在校园内开辟了一处劳动实践基地，如图，直角三角形是基地的平面示意图（阴影部分种植蔬菜，其他部分种植水果），其中，米，米，米，米，则种植蔬菜部分的面积为_____平方米．（用含、的代数式表示并化为最简形式）
14. 如图，已知，射线在的内部，且，若存在，则的度数是_____．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15. 计算：．
16 先化简，再求值：，其中，．
17. 解方程：．
18. 如图，已知，点是射线上任意一点（不与点重合）．以点为顶点，为一边，在下方作．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
19. 如图是一个正方体的表面展开图，已知在原正方体中，相对面上的数互为相反数，求代数式的值．
20. 在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动．某校10月开展“白昼时长探索”综合实践活动，鼓励学生通过查资料、观测日出日落等方法探究规律．学校抽样调查了学生在一周内参与次数，整理出不完整的统计图表．
学生参与活动次数统计表
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了_____名学生；
（2）所调查学生在一周内参与活动次数不少于3次的学生有多少人？
21. 某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？
22. 跳绳是一种简单而有效的有氧运动，有益于身心健康，对身体有着多方面的积极影响，能有效促进健康．某校在七年级全体同学中开展了一分钟跳绳比赛，并随机抽取了部分同学一分钟跳绳次数（单位：次）进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下不完整的统计图、表：
一分钟跳绳次数频数分布直方图
一分钟跳绳次数频数分布表

请结合上述信息完成下列问题：
（1）该调查所采用的调查方式为_____；（填“普查”或“抽样调查”）
（2）补全频数分布直方图，上述表中_____，_____；
（3）若将抽取学生一分钟跳绳次数绘制成扇形统计图，求次数为的学生所在扇形圆心角的度数．
23. 尊老爱老是中国社会源远流长的传统美德，也是中华优秀传统文化的鲜明底色．元旦放假时，乐乐一家驾驶小轿车去探望爷爷奶奶和外公外婆．他们早上从家里出发，向东走了3千米到超市买东西，然后又向东走了2千米到爷爷家，中午从爷爷家出发向西走了9千米到外公家，晚上返回家里．若以乐乐家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米．（已知乐乐家、超市、爷爷家和外公家在同一条东西走向的道路上）
（1）请将超市、爷爷家和外公家的位置在数轴上分别用点、、表示出来；
（2）问超市和外公家相距多少千米？
（3）若小轿车每千米耗油0.05升，求乐乐一家从出发到返回家时小轿车的耗油量．
24. 如图，点在线段上，点、分别是线段、上的点．

（1）若点、分别是线段、的中点，猜想线段和线段之间的数量关系，并说明理由；
（2）若，求线段的长度．
25. 问题背景：陕西苹果，分为渭北南部、渭北北部和陕北山地三大产业带，凭借其卓越的品质和响亮的名声，不仅在国内市场占据一席之地，在国际上也享有盛誉．某实践活动小组对某水果店某天甲、乙两种苹果的购进和销售情况进行了调查分析．
信息获取：
信息一：这一天该水果店用1100元购进甲、乙两种苹果共150千克；
信息二：这两种苹果的进价、售价如下表所示：
问题解决：
（1）该水果店这一天购进甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）若该水果店按售价销售完甲种苹果和部分乙种苹果，剩余乙种苹果按其售价的六折出售，共获利636元，则按原售价售出乙种苹果多少千克？
26. 【定义新知】
从一个锐角顶点出发在角的内部引一条射线，把分成两个角，若其中一个角与之和为，则这条射线叫做锐角的巧分线，这个角叫做锐角的巧分角．
【理解运用】
（1）如图1，，，请判断是否为的巧分线，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图2，是平角，是巧分角，，试说明；
（3）如图3，在（2）的条件下，若是的平分线，，求的度数．
参与活动次数（次）
0
1
2
3
4次及以上
人数（人）
7
13
10
3
等级
次数
频数
百分比
A
15
B
C
60
D
45
进价/（元/千克）
售价/（元/千克）
甲
7
10
乙
8
16
2025－2026学年度第一学期期末
七年级数学试题
注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟．
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写学校、姓名、班级、监测号．
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效．
4．答作图题时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑．
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 计算：（ ）
A. B. 4C. 9D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查有理数的除法运算．
直接根据除法法则计算即可．
【详解】解：．
故选：A．
2. 如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，从左面看到的该几何体的形状图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了从不同的方向观察几何体，从几何体左面观察到的平面图形是左边一列有三个小正方形，右边一列只有一个小正方形．
【详解】解：从几何体左面观察到的平面图形是左边一列有三个小正方形，右边一列只有一个小正方形
从几何体的左面看到的形状：
故选：C．
3. 为更好地了解全校同学参加体育活动的情况，小明设计了一份调查问卷，需要受调查的同学写出个人的性别、年龄、最喜欢参加的体育活动项目、每周参加体育活动的时长等信息．
以下说法正确的是（ ）
A. 性别是定量数据B. 年龄是定性数据
C. 最喜欢参加的体育活动项目是定量数据D. 每周参加体育活动的时长是定量数据
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了数据的收集，根据定量数据和定性数据的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、性别是定性数据，原说法错误，不符合题意；
B、年龄是定量数据，原说法错误，不符合题意；
C、最喜欢参加的体育活动项目是定性数据，原说法错误，不符合题意；
D、每周参加体育活动的时长是定量数据，原说法正确，符合题意；
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同类项的定义及合并同类项，熟练掌握合并同类项的方法是解答本题的关键．所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．
合并同类项时，把同类项的系数相加，所得和作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，正确；
C．与不是同类项，不能合并，故不正确；
D．，故不正确．
故选B．
5. 马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了棱柱的侧棱性质，解题的关键是明确八棱柱有8条侧棱且侧棱长度相等．
根据八棱柱侧棱的数量和性质，用所有侧棱长的和除以侧棱的条数，即可求出每条侧棱的长．
【详解】解：∵八棱柱有8条侧棱，且每条侧棱的长度相等，
∴每条侧棱的长为．
故选：C．
6. 若是关于的方程的解，则的倒数是（ ）．
A. 5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查方程的解的意义，求倒数，熟练掌握相关知识是关键．
将代入方程求解，再求倒数即可．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴的倒数是．
故选：D．
7. 如图，是线段的中点，是线段上一点，下列各式不可以表示的长度的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了与线段中点有关计算；
根据线段中点的定义和线段的和差倍分关系逐项判断即可求解．
【详解】解：A、∵，
∴不符合题意，故此选项错误；
B、∵，
∴不符合题意，故此选项错误；
C、∵是线段的中点，
∴，
∴，
∴不符合题意，故此选项错误；
D、∵，
∴符合题意，故此选项正确；
故选：D．
8. 用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个五角星，第2个图案中有6个五角星，第3个图案中有8个五角星，第4个图案中有10个五角星，……，按此规律排列下去，则有20个五角星的图案是（ ）．
A. 第8个B. 第9个C. 第10个D. 第11个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查几何图形找规律，分析每个图归纳出规律是关键．
比较题干给的图形可知，后一个图案比前一个图案多两个五角星，据此计算出答案．
【详解】解：比较前四个图可知，后一个比前一个图案多两个五角星，
∴第个图案有个五角星，
令，解得．
故选：B．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
9. 有理数、在数轴上的位置如图所示，则_____．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据数轴比较大小．
根据数轴得到，，进而得到，即可得到答案．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，
∴．
故答案为：．
10. 渭河是黄河的最大支流，多年平均径流量亿立方米，其中陕西境内为立方米，数据用科学记数法表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
根据科学记数法的定义作答即可．
【详解】解：．
故答案为：．
11. 如图所示的平面图形绕虚线旋转一周，可以得到圆柱的是_____．（填“①”或“②”）
【答案】②
【解析】
【分析】本题考查了面动成体，几何体的认识．
分别判断两图形绕虚线旋转一周所成的几何体，进而作答即可．
【详解】解：①绕虚线旋转一周，得到圆锥；
②绕虚线旋转一周，得到圆柱；
即可以得到圆柱的是②．
故答案为：②．
12. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中第七卷“盈不足”中有如下问题：“今有垣高九尺．瓜生其上，蔓日长七寸；瓠（hù）生其下，蔓日长一尺．问几日相逢？”译文：“今有墙高9尺．瓜生在墙的上方，瓜蔓每天向下长7寸；葫芦生在墙的下方，葫芦蔓每天向上长1尺．问经过多少日两蔓相逢？”其中1尺寸，若设经过x日两蔓相逢，根据题意，可列方程为：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意可直接列出方程．
【详解】解：由题意可列方程为；
故答案为：．
13. 为提升劳动技能，某校在校园内开辟了一处劳动实践基地，如图，直角三角形是基地平面示意图（阴影部分种植蔬菜，其他部分种植水果），其中，米，米，米，米，则种植蔬菜部分的面积为_____平方米．（用含、的代数式表示并化为最简形式）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查代数式的表达及化简．根据直角三角形面积计算公式，用代数式表示出面积，是解题的关键．根据图中三角形面积的差得到用字母和数字表达所求面积的式子，并进一步化简即可．
【详解】解：，米，米，米，米，
则米，
种植蔬菜部分的面积,
（平方米），（平方米），
（平方米）.
故答案为：．
14. 如图，已知，射线在的内部，且，若存在，则的度数是_____．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查角的和差运算，熟练掌握相关知识是解题关键．
分为在内和在内两种情况讨论，分别计算即可．
【详解】解：①当在内时，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当在内时，如图，
同理①可得，，
∴．
故答案为：或．
三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程）
15. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查有理数的混合运算．原式先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
16. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】原式，1；
【解析】
【分析】本题考查整式加减的化简求值，先去括号，合并同类项，再将，代入求解即可得到答案；
【详解】解：原式
，
当，时，
原式
．
17. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解答即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得．
18. 如图，已知，点是射线上任意一点（不与点重合）．以点为顶点，为一边，在下方作．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了尺规作图—基本作图，熟练掌握基本作图方法是解此题的关键；
利用作一个角等于已知角的基本作图，作即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．（作法不唯一）
19. 如图是一个正方体的表面展开图，已知在原正方体中，相对面上的数互为相反数，求代数式的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方体的表面展开图，相反数及代数式求值，根据正方体的表面展开图，相对面相隔一个正方形，找出相对面，进而根据相反数的定义求出的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握正方体的表面展开图的特征是解题的关键．
【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对面相隔一个正方形，
∴“”与“”是相对面，“”与“”是相对面，“”与“”是相对面，
又∵相对面上的数互为相反数，
∴，，，
∴．
20. 在古代，人们通过观察日出日落时间来确定二十四节气、安排农事活动．某校10月开展“白昼时长探索”综合实践活动，鼓励学生通过查资料、观测日出日落等方法探究规律．学校抽样调查了学生在一周内参与次数，整理出不完整的统计图表．
学生参与活动次数统计表
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共调查了_____名学生；
（2）所调查学生在一周内参与活动次数不少于3次的学生有多少人？
【答案】（1）50 （2）所调查学生在一周内参与活动次数不少于3次的学生有20人
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图与统计表的应用．
（1）用1次人数除以1次的百分比即可；
（2）求出a的值，进而求不少于3次的和即可．
【小问1详解】
解：（人），
故答案为：；
【小问2详解】
解：，
，
故所调查学生在一周内参与活动次数不少于3次的学生有20人．
21. 某陶瓷器厂烧制陶瓷茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成，用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯．现要用6千克瓷泥全部制作这类茶具，则用多少千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套？
【答案】用千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯，利用制作的茶杯的总数量是制作茶壶总数量的倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设用千克瓷泥做茶壶，则用千克瓷泥做茶杯，
根据题意得：，
解得：．
答：用千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．
22. 跳绳是一种简单而有效的有氧运动，有益于身心健康，对身体有着多方面的积极影响，能有效促进健康．某校在七年级全体同学中开展了一分钟跳绳比赛，并随机抽取了部分同学一分钟跳绳次数（单位：次）进行调查统计，并根据调查统计结果绘制了如下不完整的统计图、表：
一分钟跳绳次数频数分布直方图
一分钟跳绳次数频数分布表

请结合上述信息完成下列问题：
（1）该调查所采用的调查方式为_____；（填“普查”或“抽样调查”）
（2）补全频数分布直方图，上述表中_____，_____；
（3）若将抽取学生一分钟跳绳次数绘制成扇形统计图，求次数为的学生所在扇形圆心角的度数．
【答案】（1）抽样调查
（2）补全统计图见解析，20，40
（3）次数为的学生所在扇形圆心角的度数为
【解析】
【分析】本题考查了调查方式的选择，频数分布表和频数分布直方图，以及求扇形的圆心角．
（1）根据调查的方式判断即可；
（2）先根据A的频数和百分比求出调查的样本容量，用样本容量减去A，C，D的频数，求出a的值可补全频数分布直方图，然后分别求出和即可；
（3）用360度乘以D的百分比即可．
【小问1详解】
解：由随机抽取了部分同学的一分钟跳绳次数可知该调查所采用的调查方式为抽样调查．
故答案为：抽样调查；
【小问2详解】
解：人，
人，
补全频数分布直方图如图所示．
一分钟跳绳次数频数分布直方图

∵，，
∴，，
故答案为：20，40；
【小问3详解】
解：，
所以次数为的学生所在扇形圆心角的度数为．
23. 尊老爱老是中国社会源远流长的传统美德，也是中华优秀传统文化的鲜明底色．元旦放假时，乐乐一家驾驶小轿车去探望爷爷奶奶和外公外婆．他们早上从家里出发，向东走了3千米到超市买东西，然后又向东走了2千米到爷爷家，中午从爷爷家出发向西走了9千米到外公家，晚上返回家里．若以乐乐家为原点，向东为正方向，用1个单位长度表示1千米．（已知乐乐家、超市、爷爷家和外公家在同一条东西走向的道路上）
（1）请将超市、爷爷家和外公家的位置在数轴上分别用点、、表示出来；
（2）问超市和外公家相距多少千米？
（3）若小轿车每千米耗油0.05升，求乐乐一家从出发到返回家时小轿车的耗油量．
【答案】（1）见解析 （2）超市和外公家相距7千米
（3）乐乐一家从出发到返回家时小轿车的耗油量为升
【解析】
【分析】本题考查用数轴表示数，以及有理数运算的应用．
（1）由已知得：从家向东走了3千米到超市，则超市A表示3，又向东走了2千米到爷爷家，则爷爷家B表示的数为5，从爷爷家出发向西走了9千米到外公家，所以外公家C表示的数为，画数轴即可；
（2）右边的数减去左边的数即可；
（3）计算总路程，根据耗油量=总路程计算即可．
小问1详解】
解：点、、在数轴上表示如图所示；
【小问2详解】
解：（千米）．
答：超市和外公家相距7千米．
【小问3详解】
解：，
（升），
答：乐乐一家从出发到返回家时小轿车的耗油量为升．
24. 如图，点在线段上，点、分别是线段、上的点．

（1）若点、分别是线段、的中点，猜想线段和线段之间的数量关系，并说明理由；
（2）若，求线段的长度．
【答案】（1），理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了线段的计算问题，掌握线段中点的性质是解题的关键．
（1）根据线段中点的性质，可得，再根据线段的和差可得答案；
（2）根据，把代入整理可得答案．
【小问1详解】
解： ．
理由：因为点、分别是线段、的中点．
所以，
故．
【小问2详解】
解：因为．
所以
，
即，
所以．
25. 问题背景：陕西苹果，分为渭北南部、渭北北部和陕北山地三大产业带，凭借其卓越的品质和响亮的名声，不仅在国内市场占据一席之地，在国际上也享有盛誉．某实践活动小组对某水果店某天甲、乙两种苹果的购进和销售情况进行了调查分析．
信息获取：
信息一：这一天该水果店用1100元购进甲、乙两种苹果共150千克；
信息二：这两种苹果的进价、售价如下表所示：
问题解决：
（1）该水果店这一天购进甲、乙两种苹果各多少千克？
（2）若该水果店按售价销售完甲种苹果和部分乙种苹果，剩余乙种苹果按其售价的六折出售，共获利636元，则按原售价售出乙种苹果多少千克？
【答案】（1）该水果店这一天购进甲种苹果100千克，乙种苹果50千克
（2）按原售价售出乙种苹果40千克
【解析】
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．
（1）设该水果店这一天购进甲种苹果千克，则购进乙种苹果千克，利用购进甲、乙两种苹果共用1100元列方程求解即可；
（2）设按原售价售出乙种苹果千克，利用卖出后共获利元列式求解即可．
【小问1详解】
解：设该水果店这一天购进甲种苹果千克，则购进乙种苹果千克，
根据题意得，
解得，
所以，
答：该水果店这一天购进甲种苹果100千克，乙种苹果50千克；
【小问2详解】
解：设按原售价售出乙种苹果y千克．
根据题意得，
解得．
答：按原售价售出乙种苹果40千克．
26. 【定义新知】
从一个锐角顶点出发在角的内部引一条射线，把分成两个角，若其中一个角与之和为，则这条射线叫做锐角的巧分线，这个角叫做锐角的巧分角．
【理解运用】
（1）如图1，，，请判断是否为的巧分线，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图2，是平角，是的巧分角，，试说明；
（3）如图3，在（2）的条件下，若是的平分线，，求的度数．
【答案】（1）为的巧分线，理由见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义及角的数量关系，正确理解题意准确计算并注意分类讨论思想的运用是解题关键．
（1）根据巧分线的定义求解，即可证明结论成立；
（2）根据巧分角的定义可得，根据题意可得，从而利用同角的余角相等可以得到结论；
（3）根据上一问的结论可得，然后利用巧分角和角平分线的定义求得角的数量关系，从而求解．
【详解】解：（1）是的巧分线，理由如下：
∵，，
∴，
∴，
∴是的巧分线；
（2）∵是的巧分角，
∴，
∵是平角，，
∴，
∴；
（3）∵，，
∴，
∵是的巧分角，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
参与活动次数（次）
0
1
2
3
4次及以上
人数（人）
7
13
10
3
等级
次数
频数
百分比
A
15
B
C
60
D
45
进价/（元/千克）
售价/（元/千克）
甲
7
10
乙
8
16