江西省赣州市经开区2025-2026学年第一学期九年级数学期末测试卷（原卷版+解析版）

这是一份江西省赣州市经开区2025-2026学年第一学期九年级数学期末测试卷（原卷版+解析版），共32页。
2．请将答案写在答题卷上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 两个正数的和是正数B. 抛掷一枚硬币，正面朝上
C. 任意画一个三角形，内角和为D. 在一个只装有红球的袋中摸出白球
3. 如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（ ）
A B. C. D.
4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）

A. B. C. 2D. 4
5. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ）
A. B.
C. D.
6. 定义：“系列抛物线簇”通常指的是一组由参数变化生成的抛物线集合，这些抛物线共享某种几何或代数关系．下列结论不一定成立的是（ ）
A. 二次函数由于a取不同值时生成一系列抛物线可组成“系列抛物线簇”．
B. 二次函数与两个“系列抛物线簇”经过同一点．
C. 二次函数“系列抛物线簇”，当时y随x的增大而增大．
D. 二次函数的“系列抛物线簇”一定经过两个定点．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
8. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____．
9. 如图，在中，弦、相交于点，，，则的大小为______（度）．
10. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，O在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D，测得，则树高_____．
11. 俗话说“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”学习过的东西不及时复习就会被遗忘．假设平均每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则平均每天“遗忘”的百分比约为______．（参考数据）
12. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将边AD绕它的端点旋转，当另一端点恰好落在边BC所在直线的点E处时，线段DE的长为__________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解方程：；
（2）如图，已知D，E分别是边上的点，，，求的长度．
14. 已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）该函数图形向左边平移两个单位再向下平移3个单位后解析式是．
15. 2025年是中国动漫市场快速发展的关键一年，以下是2025年中国新出的动漫《哪吒之魔童闹海》《熊出没重启未来》《喜羊羊与灰太狼大电影5》《灶王传》

（1）小乐选择《哪吒之魔童降世》观看是 事件（选填随机，必然，不可能）．
（2）小乐和小欢分别从这四部电影中随机选择一部观看，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一部电影观看的概率．
16. 如图，在网格中，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中，作，且相似比为；
（2）在图②中，以D为位似中心，将缩小得到，使得对应边的比为．
17. 如图，扇形的圆心角为，其弧长是．
（1）求此弧所在圆的半径长；
（2）若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在中，，将逆时针旋转一定角度后得到，点E在上，连接．
（1）指出旋转中心为点_______；
（2）若，则旋转角是_______°，的度数；
（3）若，，求的长。
19. 如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点与点B．

（1）求a的值与反比例函数关系式；
（2）连接OA，OB，求；
（3）若，请结合图象直接写出x的取值范围．
20. 某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为120元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间支出20元的各种费用．
（1）若每个房间每天的定价增加50元时，则宾馆这天的利润是_______元；
（2）如宾馆某一天的利润为8000元时，房价定为多少元？
（3）房价定为多少时，宾馆的利润最大？
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F．
（1）点O是的_______心；
（2）如图1，若，，．设，求的值；
（3）如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）．
22. 跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
六、解答题（本大题12分）
23. 初中几何模型有时候是解决几何问题的“金钥匙”，它能提供高效且精准的解题思路和方法．几何模型在学习中确实包含识别、理解、运用、构建等不同层次，这些层次反映了从基础感知到高级应用的认知过程．
【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点E在边上，F是的中点且．
①求证：；
②则_______．
【类比探究】
（2）如图2，在菱形中，，点E，F分别在上，求证：．
小兵同学证法是：先在的延长线上取一点H，使得，连接，…
请完成小兵同学的作图，并完成证明．
【拓展延伸】
（3）如图3，是的中位线，E是的中点，，请直接写出的值．
运动时间
0
4
8
12
16
20
…
运动快慢
12
10
8
6
4
2
…
运动路程
0
44
80
108
128
140
…
赣州经开区2025-2026学年第一学期九年级数学期末测试卷
说明：1．全卷满分120分，考试时间120分钟．
2．请将答案写在答题卷上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 两个正数的和是正数B. 抛掷一枚硬币，正面朝上
C. 任意画一个三角形，内角和为D. 在一个只装有红球的袋中摸出白球
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了随机事件、必然事件、不可能事件的识别，正确理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是解题的关键．根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析各选项，即可得出结论．
【详解】解： A．两个正数的和一定是正数，是必然事件；
B．抛掷一枚硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，随机事件；
C．任意三角形的内角和一定是，是必然事件；
D．只装有红球的袋中摸出白球是不可能的，是不可能事件．
故选：B．
3. 如图，五边形是的内接正五边形，则正五边形中心角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查求正多边形的中心角的度数，根据中心角的计算公式进行计算即可．
【详解】解：；
故选D．
4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A、B、C都在横线上，若线段，则线段的长是（ ）

A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例可得，进而可求解，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
【详解】五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成，
，即：，
解得：，
，
故选C．
5. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，在下面四个选项中，能正确说明方程解法的构图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键．
根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【详解】解：方程，即的拼图如图所示；
中间小正方形的边长为，其面积为，
大正方形的面积：，其边长为7，
因此，A选项所表示的图形符合题意，
故选：A．
6. 定义：“系列抛物线簇”通常指的是一组由参数变化生成的抛物线集合，这些抛物线共享某种几何或代数关系．下列结论不一定成立的是（ ）
A. 二次函数由于a取不同值时生成一系列抛物线可组成“系列抛物线簇”．
B. 二次函数与两个“系列抛物线簇”经过同一点．
C. 二次函数的“系列抛物线簇”，当时y随x的增大而增大．
D. 二次函数的“系列抛物线簇”一定经过两个定点．
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质与系列抛物线簇的共性，解题关键是抓住抛物线的对称轴、开口方向及定点问题；
逐一分析各选项中抛物线簇的共性与函数性质，通过确定定点、求解对称轴、分类讨论开口方向及增减性、因式分解求零点的方法，判断各结论是否一定成立，最终选出不一定成立的选项．
【详解】A．二次函数，当取不同值时，所有抛物线的顶点都在原点，对称轴都是轴，满足“共享某种几何或代数关系”，可组成“系列抛物线簇”．一定成立，故该选项不符合题意；
B．抛物线：令，得，恒过点．
抛物线：令，得，也恒过点．
两个“系列抛物线簇”都经过同一点．一定成立，故该选项不符合题意；
C．二次函数，其对称轴为，
当时，抛物线开口向上，在对称轴右侧（）随增大而增大；
当时，抛物线开口向下，在对称轴右侧（）随增大而减小．
因此，“当时随增大而增大”不一定成立，故该选项符合题意；
D．二次函数，提取公因式：
，
令，解得或，即无论取何非零值，抛物线都恒过定点和．一定成立，故该选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变换-中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
8. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案．
【详解】解： 关于一元二次方程有实数根，
∴， 即
解得： ．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
9. 如图，在中，弦、相交于点，，，则的大小为______（度）．
【答案】30
【解析】
【详解】欲求的度数，需求出同弧所对的圆周角的度数；中，已知了及外角的度数，可由三角形的外角性质求出的度数，由此得解．本题主要考查了三角形的外角性质和圆周角，熟练掌握同弧所对的圆周角相等是解题的关键．
【解答】解：∵是的外角，
∴；
∵，，
∴；
∴．
故答案为：30．
10. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，O在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D，测得，则树高_____．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解．
【详解】解：和均为直角，
，
，
，
，，，
．
故答案为：8．
11. 俗话说“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”学习过的东西不及时复习就会被遗忘．假设平均每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则平均每天“遗忘”的百分比约为______．（参考数据）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每天遗忘的百分比为 ，则两天后剩余知识为 ，根据“两天不练丢一半”，有 ，然后解方程并检验即可，读懂题意，列出方程是解题的关键，
【详解】解：设每天遗忘的百分比为 ，则两天后剩余知识为 ，
由题意得，
，
解得：，（舍去），
故答案为：．
12. 在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，将边AD绕它的端点旋转，当另一端点恰好落在边BC所在直线的点E处时，线段DE的长为__________．
【答案】或或5
【解析】
【分析】分两种情形：绕A旋转或绕D旋转，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=5，∠ABC=∠DCB=90°，
当AD绕A旋转，AD==5时，，
∴C=1，C=9，
∴，，
当AD绕D旋转时，，
综上所述，满足条件的DE的值为或3或5，
故答案为：或3或5．
【点睛】本题考查旋转变换，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）解方程：；
（2）如图，已知D，E分别是的边上的点，，，求的长度．
【答案】（1）；（2）6
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程和相似三角形的判定与性质，熟练掌握一元二次方程的解法和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）运用因式分解法求解即可；
（2）由，得，再根据相似比列出比例式即可得出结果．
【详解】解：（1），
，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
14. 已知抛物线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）该函数图形向左边平移两个单位再向下平移3个单位后解析式是．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的平移，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解．
【小问1详解】
解：把点分别代入得，
，
解得，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：，
将二次函数的图象向左边平移两个单位，得到，
再向下平移3个单位，则所得图象的函数解析式为：，即．
故答案为：
15. 2025年是中国动漫市场快速发展的关键一年，以下是2025年中国新出的动漫《哪吒之魔童闹海》《熊出没重启未来》《喜羊羊与灰太狼大电影5》《灶王传》

（1）小乐选择《哪吒之魔童降世》观看是 事件（选填随机，必然，不可能）．
（2）小乐和小欢分别从这四部电影中随机选择一部观看，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中同一部电影观看的概率．
【答案】（1）不可能 （2）
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，列表法求出概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据事件的分类作答即可；
（2）列出表格，利用概率公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：小乐从这四部电影中选到《哪吒之魔童降世》是不可能事件；
故答案为：不可能；
【小问2详解】
解：设《哪吒之魔童闹海》为A，《熊出没重启未来》为B，《喜羊羊与灰太狼大电影5》为C，《灶王传》为D
列表如下，
共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一部动漫电影观看的结果有种，
两人恰好选中同同一部动漫电影观看的概率为．
16. 如图，在网格中，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．
（1）在图①中，作，且相似比为；
（2）在图②中，以D为位似中心，将缩小得到，使得对应边的比为．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形和位似中心图形的相关知识，
（1）取格点D、G并连接，交于点E，结合矩形的性质可得点E为中点，且为中点，即为的中位线，可得，即有，且相似比为，即为所求；
（2）连接，利用格点作图取的中点，顺次连接，即可获得答案．
小问1详解】
解：如下图，即为所求作图形；
【小问2详解】
解：如下图，即为所求作图形．
17. 如图，扇形的圆心角为，其弧长是．
（1）求此弧所在圆的半径长；
（2）若将这个扇形制作成圆锥的侧面，则该圆锥的高是_______．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了弧长公式、求圆锥的高、勾股定理等知识，
（1）设此弧所在圆的半径长为，根据弧长公式可得，求解即可；
（2）结合（1）可知，设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，根据圆的周长公式解得的值，进而可得，然后根据勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：设此弧所在圆的半径长为，
根据题意，可得，
解得；
【小问2详解】
如图，结合（1）可知，
设这个扇形制作成的圆锥底面半径为，
则有，解得，即，
∴．
故答案为：．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在中，，将逆时针旋转一定角度后得到，点E在上，连接．
（1）指出旋转中心为点_______；
（2）若，则旋转角是_______°，的度数；
（3）若，，求的长。
【答案】（1）B （2）54，
（3）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据旋转的概念可得旋转中心；
（1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：将逆时针旋转一定角度后得到，
∴旋转中心是点B，
故答案为：B；
【小问2详解】
解：在中，，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
，旋转角是，
故答案为：54；
【小问3详解】
解：，，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
，
．
19. 如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点与点B．

（1）求a的值与反比例函数关系式；
（2）连接OA，OB，求；
（3）若，请结合图象直接写出x的取值范围．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）把点代入一次函数求得的值，然后利用待定系数法即可求得反比例函数关系式；
（2）解析式联立成方程组，解方程组即可求得、的坐标，设一次函数 与轴交于点，利用三角形面积公式，根据求得即可；
（3）根据图象即可求解．
【小问1详解】
将 代入 中，得；
将代入 中，得，
所以反比例函数关系式；
【小问2详解】
由，
解得 或，
所以，，
设一次函数 与轴交于点，
如图，连接，

故；
【小问3详解】
观察图象，若，则或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
20. 某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为120元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间支出20元的各种费用．
（1）若每个房间每天的定价增加50元时，则宾馆这天的利润是_______元；
（2）如宾馆某一天的利润为8000元时，房价定为多少元？
（3）房价定为多少时，宾馆的利润最大？
【答案】（1）
（2）房价定为220元或420元
（3）房价定为320元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．
（1）根据“每个房间每天的定价增加10元时，就会有一个房间空闲”求出入住房间数，进而乘以每个房间利润即可；
（2）设房价定为x元，则入住房间数为间，每个房间利润为元，根据“宾馆某一天的利润为8000元”列方程求解即可；
（3）设房价定为a元，则入住房间数为间，每个房间利润为元，设利润为y，求出y关于a的函数解析式，进而根据二次函数的性质作答即可．
【小问1详解】
解：定价增加50元，新定价为元，
入住房间数为个，
每个房间利润为元，
总利润为元．
故答案为：；
【小问2详解】
解：设房价定为x元，则入住房间数为间，每个房间利润为元，
∵宾馆某一天的利润为8000元，
∴，
整理得，
，
∴，
解得：，
答：房价定为220元或420元；
【小问3详解】
解：设房价定为a元，则入住房间数为间，每个房间利润为元，
设利润为y，
则
，
∵二次项系数，
∴当时，利润y有最大值，
即房价定为320元时，宾馆的利润最大．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，的内切圆与分别相切于点D，E，F．
（1）点O是的_______心；
（2）如图1，若，，．设，求的值；
（3）如图2，若，的长分别是a，b，c，则半径是_______（用含a，b，c的式子表示）．
【答案】（1）内 （2）5
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形内心、切线长定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据内心的定义，即可获得答案；
（2）根据切线长定理可得，设，则有，进而可得，解得的值，然后计算的值；
（3）连接，设半径为，证明四边形为正方形，易得，进而可得，，结合，即可获得答案．
【小问1详解】
解：∵是的内切圆，
∴点O是的内心．
故答案为：内；
【小问2详解】
解：∵的内切圆与分别相切于点D，E，F，
∴，
∵，，，设，
∴，
∴，
∴，解得，
∴；
【小问3详解】
解：如下图，连接，
∵的内切圆与分别相切于点D，E，F，
∴，，
设半径为，
∴，
∵，
∴四边形矩形，
又∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
22. 跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用．
【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据．
【收集整理数据】
【数学建模探究】
【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用______________函数表示，与之间的关系可以近似地用______________函数表示．（选填：一次、二次、反比例）
【检验】根据猜想求出与与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证．
【应用】当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？
【答案】【猜想】：图见解析，一次，二次；【检验】：，，验证见解析；【应用】：最大为
【解析】
【分析】本题考查一次函数，二次函数的实际应用，正确求出函数解析式，是解题的关键：
猜想：描点，连线，画出函数图象，根据图象形状，判断函数类型即可；
检验：待定系数法求出函数解析式，再代入另外一组数据进行验证即可；
应用：设，由题意，得到，得到，根据二次函数求最值即可．
【详解】解：【猜想】：描点，连线，画图如下：
猜想：与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示；
故答案为：一次，二次；
【检验】：设，把代入，得，
解得：，
∴，
验证：当时，，符合题意；
设，把点，代入，得，
解得，
∴，
验证：当时，，符合题意；
【应用】：∵，设，
由题意，得：，
∴，
∴当时，最大为；
故最大为．
六、解答题（本大题12分）
23. 初中几何模型有时候是解决几何问题的“金钥匙”，它能提供高效且精准的解题思路和方法．几何模型在学习中确实包含识别、理解、运用、构建等不同层次，这些层次反映了从基础感知到高级应用的认知过程．
【特例感知】
（1）如图1，在正方形中，点E在边上，F是的中点且．
①求证：；
②则_______．
【类比探究】
（2）如图2，在菱形中，，点E，F分别在上，求证：．
小兵同学证法是：先在的延长线上取一点H，使得，连接，…
请完成小兵同学的作图，并完成证明．
【拓展延伸】
（3）如图3，是的中位线，E是的中点，，请直接写出的值．
【答案】（1）①见解析；②2；（2）见解析；见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）①根据题意可得，即可求证；②根据相似三角形的性质解答即可；
（2）在的延长线上取一点H，使得，连结，证明，可得，即可解答；
（3）证明，可得，过点E作于点K，则为等腰直角三角形，可得到，再结合勾股定理可求出，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②解：∵F是的中点，
∴，
∵，
∴．
故答案为：2
（2）如图，在的延长线上取一点H，使得，连接，
在菱形中，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
∵是的中位线，E是的中点，
∴，，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，过点E作于点K，则为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线性质，正方形的性质，三角形的外角性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键．
A
B
C
D
A
B
C
D
运动时间
0
4
8
12
16
20
…
运动快慢
12
10
8
6
4
2
…
运动路程
0
44
80
108
128
140
…