陕西省西安市金太阳多校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题-自定义类型

这是一份陕西省西安市金太阳多校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题-自定义类型，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列是关于的二次函数的是（ ）．
A. B. C. D.
2.如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ）
A. B. C. D.
4.三根等高的木杆竖直立在平地上，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在太阳光下的影子合理的是（）
A. B.
C. D.
5.矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点，且，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，若和的面积分别为，，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在正方形网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上．过点，且与交于点，是上的一点，则（ ）
A. B. C. D.
8.二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②m为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
9.抛物线的顶点坐标为 ．
10.如图，在中，，半径，则所对的长为 cm．
11.如图，某堤坝的横截面是梯形，若坝顶，坝高，且，斜坡的坡度，则坝底的长为 ．
12.大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，为线段的黄金分割点．若，则的长为 ．
13.如图，是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为为轴上的一点，连接，则的面积为 ．
14.如图，在正方形中，点 E为延长线上的一点，取的中点 M，连接和．若，则的最大值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
15.解方程：．
16.计算：．
四、解答题：本题共10小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
在中，，求的度数．
18.(本小题5分)
如图，在中，，．在图中，以延长线上一点为圆心作圆，使该圆经过点，．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
19.(本小题6分)
如图，在的正方形网格中，点是格点（网格线的交点），是格点三角形（顶点在格点的三角形），且是点以点为位似中心的对应点．
(1) 画出以点为位似中心的位似图形．
(2) 与的相似比是 ．
20.(本小题6分)
如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光．
(1) 求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率．
(2) 求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率．
21.(本小题6分)
已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求：
(1) 线段的长；
(2) 的值．
22.(本小题5分)
如图，学校后山坡上有一棵山楂树，小明和同学准备利用所学知识测量山楂树顶到山脚下的垂直距离，即点到所在直线的距离，方案及测量报告如下．
请根据以上测量报告中的数据，帮助小明求出山楂树顶到山脚下的垂直距离．（结果保留整数．参考数据：）
23.(本小题6分)
如图，这是将窗户抽象成的几何图形，它的上半部分是两个正方形组成的矩形，下半部分是两个长方形组成的矩形．图中所有线段的总长为，设的长为．
(1) 直接用含的式子表示出矩形窗户和矩形窗户的面积．
(2) 当窗户的总面积为时，求的长．
24.(本小题6分)
如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
(1) 试判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2) 若的半径为3，求的长．
25.(本小题7分)
某公园计划修建一个如图1所示的以为半径的圆形喷水池，喷水池中心处立着一个高为的实心石柱，喷水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合．为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，与池面的距离为．在距离池面的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．
(1) 求圆形喷水池的半径．
(2) 为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少？
26.(本小题10分)
​​​​​​​
(1) 问题提出：如图1，在中，，点是的外接圆的圆心，则的长为 ．
(2) 问题探究如图2，矩形为的中点，以为直径作半圆为半圆上一动点，则点之间的最大距离为 ．
(3) 问题解决某地有一块如图3所示的果园，果园是由四边形和弦与其所对的劣弧组成的，果园主人现要从入口到上的一点修建一条笔直的小路．已知，米，米，过弦的中点作交于点，又测得米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】3
14.【答案】 /
15.【答案】解：，
，
，
，
，
故或，
∴，．

16.【答案】解：原式
．

17.【答案】解：，
，
，
，
．

18.【答案】解：如图所示．

19.【答案】【小题1】
解：根据题意，得，
故，
画图如下：
，
则即为所求．
【小题2】


20.【答案】【小题1】
解：共有四个开关，，，，
当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，
∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是；
【小题2】
解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示，
共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种，
∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是．

21.【答案】【小题1】
解：∵是边上的高，和是，
在中，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小题2】
解：在中，
∵E为斜边的中点，
∴，
∴，
∴．

22.【答案】解：如图，过点作，交的延长线于点，交于点．
​​​​​​​，
．
，
，
四边形是矩形，
米．
设米，
在中，，
（米），
米，米．
，
，
，
即，
解得，
（米）．
答：山楂树顶到山脚下的垂直距离约为8米．

23.【答案】【小题1】
解：由题意，可得，，
．
所有线段总长为，，
，，
．
【小题2】
解：由（1），可得，
解得，．
当时，，不合题意，舍去；
当时，，
的长为．

24.【答案】【小题1】
解：直线与相切，理由如下：
连接，则：，

∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴直线与相切；
【小题2】
解：∵，的半径为3，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设：，
则：，
∴，
∴．

25.【答案】【小题1】
解：以为原点建立平面直角坐标系，则第一象限抛物线的顶点的坐标为．
设第一象限抛物线的函数表达式为．
将点代入，得，解得．
．
令，则，
解得或（不符合题意，舍去），
圆形喷水池的半径为．
【小题2】
解：令，则，
解得或（不符合题意，舍去），
为了不影响水流，小水池的半径不能超过．

26.【答案】【小题1】

【小题2】
9
【小题3】
如图，作射线交于点．
​​​​​​​是劣弧，
所在圆的圆心在射线上，假设圆心为点，半径为，
连接，则（米）．
在中，，
解得（米），（米）．
过点作，垂足为．
，．
在中，（米）．
在中，（米），
，点在内部．
连接并延长，交于点，在上任取一点异于点的点，连接．
，即，
为入口到上一点的最大距离．
过点作，垂足为，
则（米），（米），
（米），
（米），
修建这条小路最多要花费元．
测量对象
山楂树
测量工具
平面镜、皮尺、测倾器
测量方案
①小明站在点处，让同学移动平面镜至点处，此时小明在平面镜内可以看到山楂树顶点，并测量米．眼睛到地面的距离米；②测量平面镜至山脚下的距离米；③小明又站在点处，利用测倾器测得山楂树顶的仰角．（测倾器的高度米，点在同一水平线上，）
测量示意图