2024-2025学年河南省郑州市巩义市九年级（上）期末数学试卷含答案

这是一份2024-2025学年河南省郑州市巩义市九年级（上）期末数学试卷含答案，共26页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）方程x2＝2025x的解是（ ）
A．x＝0B．x＝2025
C．x1＝0，x2＝2025D．无实数根
2．（3分）第14届国际数学教育大会（简称ICME﹣14）于2021年7月在上海举办，会徽的主题图案（图1）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，其右下方的“卦”（图2）是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．则图2中的四个八卦符号，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
3．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2+1
C．y＝（x﹣1）2+1D．y＝（x﹣1）2+2
4．（3分）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率P（W）的值为（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠BCD＝35°，则∠ABD度数为（ ）度．
A．45B．50C．55D．60
6．（3分）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y2＜0＜y1B．y1＜0＜y2C．y1＜y2＜0D．0＜y1＜y2
7．（3分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝30cm，CD＝5cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．20cmB．25cmC．30cmD．35cm
8．（3分）2024年巩义市职工篮球联赛已落下帷幕，比赛采用单循环制，任意两个参赛队伍之间都要进行一场比赛，该联赛共进行了153场比赛．若共有x支队伍报名参赛，则根据题意可列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝153B．x（x+1）＝153
C．D．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，三角形OAB是等腰三角形，OA＝AB，三角形OAB与三角形O'A'B'是位似图形，其中对应点A和A′坐标分别是（1，2），（7，﹣4），则位似中心坐标是（ ）
A．（3，0）B．（4，0）C．D．
10．（3分）如图平面直角坐标系中，A（0，7）、，C为线段OA上一个动点．以CB为边作直角三角形BCD，∠BCD＝90°且∠CBD＝60°，连接AD，当AD有最小值时，点D的坐标为（ ）
A．（0，3）B．C．D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）二次函数y＝ax2+8x﹣6（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为 ；
12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ．
13．（3分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的8个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到黑球的频率约为0.6，估计袋中黑球有 个．
14．（3分）如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，将半圆O绕点A逆时针旋转45°，点B的对应点为B′，则阴影部分的面积为 ．
15．（3分）如图，正三角形ABC和ADE的边长分别是3、7，点F是BC中点，将正三角形ABC绕点A旋转，在旋转过程中，△DEF的面积S的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解方程：
（1）x2﹣8x+5＝0；
（2）x2﹣5x+6＝0．
17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（8，3），（4，7），（﹣2，7），（2，3）．
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）直接写出以A，C，A1，C1为顶点的四边形的面积；
（3）若△ABC外接圆的圆心为点E，请直接写出点E的坐标．
18．如图所示，李老师设计的一个电路图，有S1，S2，S3，S4四个开关，一个灯泡，一个电源，若干连接电线组成．所有电子元件都能正常工作，电路连通，灯泡正常发光．请解答下列数学问题．
（1）下列说法正确的有 （多选）．
A．闭合其中的一个开关灯泡发光是随机事件；
B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件；C．闭合其中的三个开关灯泡发光是随机事件；
D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件；
（2）当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率．
19．列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝﹣x+b与y＝部分自变量与函数值的对应关系：
（1）求a、b的值，并补全表格；
（2）结合表格，当y＝﹣x+b的图象在y＝的图象上方时，直接写出x的取值范围．
20．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，以边AB为直径作⊙O，点E在边CD上，连接BE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点G．
（1）求证：；
（2）若∠BEC＝65°，求的长．（结果保留π）
21．元旦节日期间，某儿童游乐场每天运营成本为1000元，该游乐场每天售出的门票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（15≤x≤40，且x是整数），部分数据如下表所示：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）设该游乐场每天的利润（利润＝门票收入﹣运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；
（3）该游乐场将门票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
22．【问题情境】
如图1，正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到BE＝GD，BE与GD的夹角为90°；
将正方形AEFG绕点A旋转，如图2，连接BE，DG．我们利用旋转的性质，通过证明△ABE≌△ADG，仍然可以得到BE＝DG，BE与GD的夹角为90°．
【变式思考】
如图3，将正方形AEFG绕点A旋转，连接CF，DG．
（1）用等式表示线段CF与DG之间的数量关系为 ，直线CF与DG的夹角为 ；
（2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论；
【拓展运用】
（3）在图2的基础上，若AB＝2，AE＝1，连接CG，在正方形AEFG绕点A旋转一周的过程中，请直接写出CG的最小值是 ．
23．如图，一次函数y＝x+m的图象与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交于点A（﹣2，0）和点B（3，n），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点，且满足x2＝x1+3．
（1）求此一次函数和二次函数的表达式；
（2）如图1，若点Q在直线AB的上方，过点Q作QC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接BC，DP，PQ．求证：的值为定值；
（3）如图2，若点P在x轴的上方移动，点M为线段PQ的中点，求点M纵坐标的取值范围．
2024-2025学年河南省郑州市巩义市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）方程x2＝2025x的解是（ ）
A．x＝0B．x＝2025
C．x1＝0，x2＝2025D．无实数根
【分析】利用因式分解法即可求得方程的解．
【解答】解：x2＝2025x
提取公因式x得x（x﹣2025）＝0
∴x1＝0或x2＝2025．
故选：C．
【点评】利用因式分解法解一元二次方程式是解题的关键．
2．（3分）第14届国际数学教育大会（简称ICME﹣14）于2021年7月在上海举办，会徽的主题图案（图1）有着丰富的数学元素，展现了中国古代数学的灿烂文明，其右下方的“卦”（图2）是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745．则图2中的四个八卦符号，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：第二个和第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，
第一个和第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
综上所述，既是轴对称图形又是中心对称图形的有2个，所以只有选项B正确，符合题意，
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，关键是相关定义的熟练掌握．
3．（3分）将抛物线y＝x2﹣2x向上平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．y＝（x+1）2+2B．y＝（x+1）2+1
C．y＝（x﹣1）2+1D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】根据上加下减先得到解析式，再化为顶点式即可得到答案；
【解答】解：∵y＝x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x向上平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣1+2，即y＝（x﹣1）2+1，
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象与几何变换．二次函数的三种形式，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
4．（3分）在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率P（W）的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】分别求出区域C和最大的圆的面积，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：由图可知区域C的面积为22×π＝4π，
最大的圆的面积为（2+2+2）2×π＝36π，
∴“豆子落在C中”的概率．
故选：D．
【点评】本题考查几何概率，掌握概率公式是解题关键．
5．（3分）如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠BCD＝35°，则∠ABD度数为（ ）度．
A．45B．50C．55D．60
【分析】连接AD，由同弧所对的圆周角相等可得∠BCD＝∠BAD，再由直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，利用三角形内角和180°即可得到答案．
【解答】解：连接AD，
∵∠BCD＝35°，＝，
∴∠BAD＝35°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝90°﹣35°＝55°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理的推论和三角形的内角和定理，掌握根据题意作辅助线是解题关键．
6．（3分）已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在反比例函数的图象上，若x1＜0＜x2，则有（ ）
A．y2＜0＜y1B．y1＜0＜y2C．y1＜y2＜0D．0＜y1＜y2
【分析】根据反比例函数所在的象限即可判断．
【解答】解：由条件可知反比例函数的图象在二，四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴y2＜0＜y1，
故选：A．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．
7．（3分）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝30cm，CD＝5cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．20cmB．25cmC．30cmD．35cm
【分析】连接OA，设圆的半径为r，在Rt△OAD中，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：由题意，圆心O在CD所在直线上，连接OA，设圆的半径为r，则：OA＝OC＝rcm，OD＝（r﹣5）cm，，
由勾股定理，得：r2＝152+（r﹣5）2，
整理得250﹣10r＝0，
∴r＝25cm；
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．
8．（3分）2024年巩义市职工篮球联赛已落下帷幕，比赛采用单循环制，任意两个参赛队伍之间都要进行一场比赛，该联赛共进行了153场比赛．若共有x支队伍报名参赛，则根据题意可列出方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝153B．x（x+1）＝153
C．D．
【分析】根据场数列式求解即可得到答案．
【解答】解：根据场数列式求解即可得：
，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是关键．
9．（3分）如图，在平面直角坐标系中，三角形OAB是等腰三角形，OA＝AB，三角形OAB与三角形O'A'B'是位似图形，其中对应点A和A′坐标分别是（1，2），（7，﹣4），则位似中心坐标是（ ）
A．（3，0）B．（4，0）C．D．
【分析】先确定位似中心为点P，然后用待定系数法求出直线AA′的解析式为：y＝﹣x+3，再求出直线与x轴的交点坐标，即可得出答案．
【解答】解：设AA′与x轴交于点P，
∵A与A′是对应点，B与B′为对应点，
∴AA′与BB′的交点P为位似中心，
∵B与B′都在x轴上，
∴点P在x轴上，
设直线AA′的解析式为：y＝kx+b（k≠0），
∵点A和A′坐标分别是（1，2），（7，﹣4），
∴，
解得：，
∴直线AA′的解析式为：y＝﹣x+3，
把y＝0代入得：﹣x+3＝0，
解得：x＝3，
∴位似中心的坐标是（3，0），
故选：A．
【点评】本题主要考查了位似变换，待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形性质，熟知以上知识是解题的关键．
10．（3分）如图平面直角坐标系中，A（0，7）、，C为线段OA上一个动点．以CB为边作直角三角形BCD，∠BCD＝90°且∠CBD＝60°，连接AD，当AD有最小值时，点D的坐标为（ ）
A．（0，3）B．C．D．
【分析】过点D作DE⊥y轴于点E，设OC＝m，证明△EDC∽△OCB得出，，勾股定理求得AD2，根据二次函数的性质得出m＝1时，AD取得最小值，进而求得D点的坐标，即可求解．
【解答】解：平面直角坐标系中，A（0，7）、，∠BCD＝90°且∠CBD＝60°，如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
∴∠DEC＝∠COB＝∠DCB＝90°，
∴∠EDC＝90°﹣∠ECD＝∠OBC，
∴△EDC∽△OCB，
∴，
设OC＝m，
∵，
∴，
∴，，
∵AE＝AO﹣EC﹣OC＝7﹣3﹣m＝4﹣m，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2＝ED2+AE2＝3m2+（7﹣3﹣m）2＝4m2﹣8m+16，
∴时，AD2取得最小值，即AD有最小值，
∴，EO＝EC+CO＝1+3＝4，
∴，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，垂线段最短，勾股定理，切线的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）二次函数y＝ax2+8x﹣6（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，则a的值为 2 ；
【分析】根据对称轴的计算公式计算即可得到答案．
【解答】解：根据对称轴的计算公式可知：抛物线对称轴为，
解得：a＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了二次函数的对称轴公式，熟记公式并代入计算是解题的关键．
12．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 ﹣4 ．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4k＝0，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣k）＝0，
解得k＝﹣4，
所以k的值为﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13．（3分）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的8个红球和若干个黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到黑球的频率约为0.6，估计袋中黑球有 12 个．
【分析】由题意可知摸到黑球的概率为0.6，进而根据概率计算公式列分式方程求解即可．
【解答】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到黑球的频率约为0.6，
∴摸到黑球的概率为0.6，
设袋中黑球有x个，
由题意得：，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原分式方程的解，
即估计袋中黑球有12个，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了用频率估计概率，分式方程的应用，掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率是解题关键．
14．（3分）如图，AB是半圆O的直径，AB＝4，将半圆O绕点A逆时针旋转45°，点B的对应点为B′，则阴影部分的面积为 2+π ．
【分析】记AB′与半圆O交于点C，连接OC，图中阴影部分的面积＝S△OAC+S扇形OBC，根据三角形面积公式算出S△OAC，再根据圆周角定理和扇形面积公式算出S扇形OBC，即可解题．
【解答】解：记AB′与半圆O交于点C，连接OC，

由条件可知两个半圆面积相等，∠OAC＝45°，则∠BOC＝90°，
∴S阴影＝S△OAC+S扇形OBC，
∵AB＝4，
∴OA＝OC＝2，
∴，，
∴S阴影＝2+π，
故答案为：2+π．
【点评】本题考查了求不规则图形的面积及旋转的性质，熟练掌握相关性质定理并灵活运用是关键．
15．（3分）如图，正三角形ABC和ADE的边长分别是3、7，点F是BC中点，将正三角形ABC绕点A旋转，在旋转过程中，△DEF的面积S的取值范围是 ．
【分析】连接AF，先利用等边三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求出AF长，可确定点F的轨迹为以点A为圆心，半径长为的圆，过点A作AG⊥DE于点G，利用直线到圆上一点的距离可知，当A、F、G依次共线时，FG最小，此时点F为如图的点F′；当F、A、G依次共线时，FG最大，此时点F为如图的点F″，再计算最大值和最小值即可．
【解答】解：如图，连接AF，
∵△ABC是等边三角形，点F是BC中点，
∴AF⊥BC，，
∴，，
∴点F的轨迹为以点A为圆心，半径长为的圆，
过点A作AG⊥DE于点G，
由直线到圆上一点的距离可知，
当A、F、G依次共线时，FG最小，此时点F为如图的点F′；
当F、A、G依次共线时，FG最大，此时点F为如图的点F″；
∵△ADE是等边三角形，AG⊥DE，
∴，
∴，，
∴，
，
∴点F到DE的距离h的取值范围，
∵△DEF的面积，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，二次根式，圆的定义，直线和圆的位置关系，熟练掌握利用定点定长确定轨迹圆是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．解方程：
（1）x2﹣8x+5＝0；
（2）x2﹣5x+6＝0．
【分析】（1）用求根公式解方程即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣8x+5＝0，
∵a＝1，b＝﹣8，c＝5，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×5＝44，
∴，
∴，；
（2）∵x2﹣5x+6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3．
【点评】本题主要考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和公式法是解题的关键．
17．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点（网格线的交点）A，B，C，D的坐标分别为（8，3），（4，7），（﹣2，7），（2，3）．
（1）以点D为旋转中心，将△ABC旋转180°得到△A1B1C1，画出△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）直接写出以A，C，A1，C1为顶点的四边形的面积；
（3）若△ABC外接圆的圆心为点E，请直接写出点E的坐标．
【分析】（1）按照画旋转图形的方法画出△A1B1C1并写出点A1，B1，C1的坐标即可；
（2）利用三角形的面积公式求出以A，C，A1，C1为顶点的四边形的面积即可；
（3）在图中找到边AB与边BC的垂直平分线的交点，然后写出其坐标即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，
由图可得：点A1的坐标为A1（﹣4，3），点B1的坐标为（0，﹣1），点C1的坐标为（6，﹣1）；
（2）；
（3）由图可得：△ABC外接圆圆心点E的坐标为：E（1，0）．
【点评】本题主要考查了画旋转图形，写出直角坐标系中点的坐标，三角形的面积公式，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质及画旋转图形的方法是解题的关键．
18．如图所示，李老师设计的一个电路图，有S1，S2，S3，S4四个开关，一个灯泡，一个电源，若干连接电线组成．所有电子元件都能正常工作，电路连通，灯泡正常发光．请解答下列数学问题．
（1）下列说法正确的有BD （多选）．
A．闭合其中的一个开关灯泡发光是随机事件；
B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件；C．闭合其中的三个开关灯泡发光是随机事件；
D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件；
（2）当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率．
【分析】（1）根据题意以及事件的分类即可求解．
（2）列表法得出共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有8种，进而根据概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）A．闭合其中的一个开关灯泡发光是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；
B．闭合其中的两个开关灯泡发光是随机事件，故该选项正确，符合题意；
C．闭合其中的三个开关灯泡发光是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；
D．闭合四个开关灯泡发光是必然事件，故该选项正确，符合题意；
故选：BD；
（2）根据题意，列表表示出所有可能出现的结果如下：
由表格可知共有12种等可能的结果，其中能使灯泡发光的结果有8种，
∴P（能使灯泡发光）＝．
【点评】本题主要考查了事件的分类，画出树状图或列表法来求一个事件的概率是解题的关键．
19．列表法、解析式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝﹣x+b与y＝部分自变量与函数值的对应关系：
（1）求a、b的值，并补全表格；
（2）结合表格，当y＝﹣x+b的图象在y＝的图象上方时，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）根据表格信息建立方程组求解a、b的值，再求解表格中其它的值，再补全表格即可；
（2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图象可得答案．
【解答】解：（1）依题意把点，代入直线解析式得：，
解得：，
∴一次函数为，
∵把（6，﹣1）代入，得k＝﹣6，
∴反比例函数为：，
当时，，当x＝4时，，
补全表格如下：
（2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为：，
∴x的取值范围为：或0＜x＜6．
【点评】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图象法写自变量的取值范围，熟练掌握该知识点是关键．
20．如图，四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝3，以边AB为直径作⊙O，点E在边CD上，连接BE交⊙O于点F，连接AF并延长交BC于点G．
（1）求证：；
（2）若∠BEC＝65°，求的长．（结果保留π）
【分析】（1）证△BAG∽△CBE即可；
（2）根据题意求出∠BOF＝180°﹣∠ABF﹣∠OFB＝50°即可求解．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠ABF＝90°，
∵∠ABG＝90°，
∴∠GBF+∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝∠GBF．
∵∠ABG＝∠BCE＝90°，
∴△BAG∽△CBE．
∴．
（2）解：连接OF，如图所示．
∵∠BEC＝65°，
∴∠FBG＝90°﹣∠BEC＝25°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣∠FBG＝65°．
∵OF＝OB，
∴∠ABF＝∠OFB＝65°．
∴∠BOF＝180°﹣∠ABF﹣∠OFB＝50°．
∴的长为：．
【点评】本题考查了直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质、弧长的求解等知识点，熟记相关几何结论是解题关键．
21．元旦节日期间，某儿童游乐场每天运营成本为1000元，该游乐场每天售出的门票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（15≤x≤40，且x是整数），部分数据如下表所示：
（1）请求出y与x之间的函数关系式；
（2）设该游乐场每天的利润（利润＝门票收入﹣运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式；
（3）该游乐场将门票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式；
（2）根据“利润＝门票收入﹣运营成本”即可得出二次函数解析式；
（3）先将（2）中解析式化成顶点式，然后求二次函数的最值即可．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b，
由表格可得，，解得，
即y与x之间的函数关系式是y＝﹣4x+236（15≤x≤40，且x是整数）；
（2）由题意可得，w＝x（﹣4x+236）﹣1000＝﹣4x2+236x﹣1000，
即w与x之间的函数关系式是w＝﹣4x2+236x﹣1000（15≤x≤40）；
（3）由（2）知：，
∵15≤x≤40，且x是整数，
∴当x＝29或30时，w取得最大值，此时w＝2480，
答：该影院将门票售价x定为29元或30元时，每天获利最大，最大利润是2480元．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），实际问题与二次函数（销售问题），二次函数的最值等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出二次函数解析式是解题的关键．
22．【问题情境】
如图1，正方形ABCD和正方形AEFG按如图所示位置放置，我们通过观察可以得到BE＝GD，BE与GD的夹角为90°；
将正方形AEFG绕点A旋转，如图2，连接BE，DG．我们利用旋转的性质，通过证明△ABE≌△ADG，仍然可以得到BE＝DG，BE与GD的夹角为90°．
【变式思考】
如图3，将正方形AEFG绕点A旋转，连接CF，DG．
（1）用等式表示线段CF与DG之间的数量关系为 ，直线CF与DG的夹角为 45° ；
（2）按照图3的旋转位置，证明（1）所得出的结论；
【拓展运用】
（3）在图2的基础上，若AB＝2，AE＝1，连接CG，在正方形AEFG绕点A旋转一周的过程中，请直接写出CG的最小值是 ．
【分析】（1）连接AF，AC，延长CF，DG交于点M，证明△FAC∽△GAD，即可得到线段CF与DG之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线CF与DG的夹角；
（2）连接AF，AC，延长CF，DG交于点M，证明△FAC∽△GAD，即可得到线段CF与DG之间的数量关系；再利用相似三角形的性质，进行角度的转换可得直线CF与DG的夹角；
（3）根据当A，G，C三点共线，且点G在线段AC上时，CG最小，即可解答．
【解答】（1）解：正方形ABCD和正方形AEFG按如图3所示位置放置，连接AF，AC，延长CF，DG交于点M，
∴△ADC，△AGF为等腰直角三角形，
∴，∠CAD＝∠FAG＝45°，
∴∠CAD﹣∠CAG＝∠FAG﹣∠CAG，
∴∠FAC＝∠GAD，
∴△FAC∽△GAD，
∴，∠FCA＝∠GDA，
∴，
∴∠FCA+∠ACD+∠CDE＝∠GDA+∠ACD+∠CDM＝∠ACD+∠ADC＝135°，
∴∠CMD＝180°﹣（∠FCA+∠ACD+∠CDE）＝45°，
∴直线CF与DG的夹角为45°，
故答案为：；45°；
（2）证明：见（1）；
（3）解：CG的最小值是；理由如下：
∵AB＝2，AE＝1，
∴，AG＝AE＝1，
∵正方形AEFG绕点A旋转一周，
∴当A，G，C三点共线，且点G在线段AC上时，CG最小，
此时，
故答案为：．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，点到圆的距离的最值，正确作出辅助线是解题的关键．
23．如图，一次函数y＝x+m的图象与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交于点A（﹣2，0）和点B（3，n），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的两个动点，且满足x2＝x1+3．
（1）求此一次函数和二次函数的表达式；
（2）如图1，若点Q在直线AB的上方，过点Q作QC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接BC，DP，PQ．求证：的值为定值；
（3）如图2，若点P在x轴的上方移动，点M为线段PQ的中点，求点M纵坐标的取值范围．
【分析】（1）将点A（﹣2，0）的坐标代入一次函数y＝x+m表达式得一次函数的表达式为：y＝x+2；将点B（3，n）坐标代入一次函数y＝x+2得出B的坐标，进而待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据题意可得B（3，5），，，D（x2，x2+2），C（x2，0）；求得S△PDQ和S△BCD的表达式，进而求比值，即可求解；
（3）根据中点坐标公式得出M点的纵坐标，根据﹣2＜x1＜4，结合二次函数的性质，即可求解．
【解答】（1）解：一次函数y＝x+m的图象与二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象交于点A（﹣2，0）和点B（3，n），将点A的坐标代入一次函数y＝x+m得：
0＝﹣2+m，
解得：m＝2，
∴一次函数的表达式为y＝x+2；
将点B的坐标代入一次函数y＝x+2得：
n＝5，
将点A，点B的坐标代入二次函数y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）证明：点B（3，n），点P（x1，y1），Q（x2，y2）是此二次函数的图象上的点，
∴B（3，5），，，D（x2，x2+2），C（x2，0），
则S△PDQ＝QD•（x2﹣x1）
＝
＝
＝，
同理可得：S△BCD＝CD•（3﹣x2）
＝
＝，
则＝3为定值；
（3）解：点P，Q的两点的坐标分别为：，，
点M纵坐标可表示为yM＝
＝
＝
＝
＝，
当y＝0，即﹣x2+2x+8＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝4
∴二次函数y＝﹣x2+2x+8的图象与x轴的交点（﹣2，0）和点（4，0），
又∵若点P在x轴的上方移动，
∴﹣2＜x1＜4，
当时，；
当x＝4时，y＝＝；
故yM的取值范围：．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数以及一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解答此题的关键．x
﹣
a
6
y＝﹣x+b
a

y＝


﹣1
门票售价x（元/张）
20
25
售出门票数量y（张）
156
136
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
C
A
B
C
A
C
S1
S2
S3
S4
S1
（S1，S2）
（S1，S3）
（S1，S4）
S2
（S2，S1）
（S2，S3）
（S2，S4）
S3
（S3，S1）
（S3，S2）
（S3，S4）
S4
（S4，S1）
（S4，S2）
（S4，S3）
x
﹣
a
6
y＝﹣x+b
a
﹣1
y＝
4
﹣
﹣1
x
4
6
4
﹣1
4
﹣1
门票售价x（元/张）
20
25
售出门票数量y（张）
156
136