2024-2025学年河南省郑州市管城区、二七区九年级（上）期末数学试卷

这是一份2024-2025学年河南省郑州市管城区、二七区九年级（上）期末数学试卷试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）一元二次方程3x2+4x+2＝0一次项的系数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣3B．y=3xC．y=35xD．y＝﹣5x2
3．（3分）河南博物院珍藏一个钧窑蓝灰釉大碗，金代，1978年长葛石固遗址窖藏出土，圆唇，直口，深弧腹，平底，圈足．通体施蓝灰釉，内壁釉色匀净，外壁有流釉痕迹，细小开片、胎呈浅灰色，胎质坚固细密，如图是这个钧窑蓝灰釉大碗的图片，关于该碗的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三视图都相同
4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么AC的值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
5．（3分）新郑红枣又名鸡心大枣、鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某综合实践小组跟踪调查了新郑红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计新郑红枣移栽成活的概率约为（ ）
A．0.8B．0.85C．0.9D．0.95
6．（3分）一元二次方程x2﹣x+2025＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
7．（3分）若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
8．（3分）如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为（ ）
A．6.4mB．8mC．9.6mD．12.5m
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与双曲线y=kx的图象如图所示，其中A（1，8），B（4，2），C（﹣2，﹣4），若ax2+bx+c＞kx，则x的取值范围为（ ）
A．﹣2＜x＜1或x＞4B．﹣2＜x＜0、0＜x＜1或x＞4
C．x＞﹣2或1＜x＜4D．﹣2＜x＜0或1＜x＜4
10．（3分）如图，等边三角形OAB中，点O为原点，点A的坐标为（1，0），点B在第一象限，进行以下操作：①第一次，以A为旋转中心，将△OAB顺时针旋转30°得到△O1A1B1；第二次，以A为旋转中心，将△O1A1B1顺时针旋转30°得到△O2A2B2⋯⋯；②当点B落在x轴上时，以B为旋转中心延续前面的操作；③当点O落在x轴上时，以O为旋转中心延续前面的操作……当操作延续时，则经过点A21的反比例函数的表达式为（ ）
A．y=3xB．y=4xC．y=5xD．y=6x
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式 ．
12．（3分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cs∠BAC的值为 ．
13．（3分）1995年11月10日，为了展现中华山河的壮美风貌，邮电部发行了一套名为《嵩山》的特种邮票，全套共4枚．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《嵩山》特种邮票，上面分别绘有“中岳古庙”“嵩门待月”“少林晴雪”和“嵩山如卧”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率是 ．
14．（3分）如图，矩形ABOC的顶点A和正方形ECFD的顶点D都在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点A的坐标为（2，4），则点D的坐标为 ．
15．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点M为AD上一点，且AM＝3，点P为AB上一个动点，将△AMP沿MP折叠得到△QMP，点A的对应点为点Q，连接DQ，当点Q落在菱形ABCD的对角线上时，DQ的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（12分）（1）计算：2cs30°+2sin45°−tan60°；
（2）已知xy=13，求x+2y2x−y的值；
（3）解方程：x2﹣5x+5＝0．
17．（8分）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
（1）请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图；
（2）该几何体的表面积（含下底面）是 cm2；
（3）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加 个小立方块．
18．（9分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于（﹣3，0），（1，0）两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求该抛物线的对称轴；
（3）若﹣4＜x＜3，求函数值y的取值范围．
19．（9分）如图，小明在高度为24米的楼顶C处观测到楼后一棵树AB的最高点A的俯角为45°，小红在高4米的二楼窗户D处观测到树AB的最高点A的仰角为37°，已知他们的观测点C，D和楼底E在一条直线上，求树AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P，Q分别为AD，BC上一个动点，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动；点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动．两点同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，连接AQ，BP，交点为点E，连接DQ，CP，交点为点F，设点P的运动时间为t秒．
（1）求证：四边形PEQF为平行四边形；
（2）当四边形PEQF为矩形时，求t的值；
（3）试判断四边形PEQF能否为菱形和正方形，若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
21．（9分）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B（0，3），交双曲线y=mx于点C（2，n）．
（1）求直线和双曲线的表达式；
（2）点P为线段AB上一个动点，过点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q．当四边形PQOB为平行四边形时，求点P的横坐标a的值．
22．（9分）阅读：
注：扔沙包时可有进攻和防守两种选择，若进攻，沙包的运行路线可近似看作是一条直线；若防守，可将沙包高抛给另一名同组玩家伺机进攻，这时沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线．
大课间活动中，小明、小亮和小红玩砸沙包游戏，小明和小亮扔沙包，小红接沙包．如图，以地面为x轴，以小明站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，小明一开始准备进行防守，他跳起在A（0，2）处高抛，将沙包传给小亮，小亮在横坐标为7的B处接到沙包．其运行路线可以看作是抛物线y＝a（x﹣3）2+3的一部分．
（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）小红在小明和小亮之间运动，选择合适的方式躲避沙包和接住沙包，已知小红跳起后的最大高度为2m，请求出小红接住沙包的运动范围；
（3）小明跳起后发现，小红在距离自己4m处未动，他决定选择进攻，若设沙包的运行路线的解析式为y＝mx+2，小红的身高为1.5m，求能砸中小红时，m的取值范围．
23．（10分）在学习《等腰三角形》后，刘老师带领数学兴趣小组的同学对等腰三角形的拓展进行研究．
【特例分析】
（1）如图1，等边三角形ABC中，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则AMCN的值为 ，∠MCN的度数为 ；
【变形探究】
（2）如图2，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则AMCN的值与∠MCN的度数是否变化？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN．若AB＝8，BM＝7，请直接写出点N到AC的距离．
2024-2025学年河南省郑州市管城区、二七区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内。
1．（3分）一元二次方程3x2+4x+2＝0一次项的系数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据一元二次方程的一般形式，找出一元二次方程的一次项，即可得系数值，解题关键是在找一次项系数时，要带着前面的符号．
【解答】解：∵一元二次方程3x2+4x+2＝0一次项是4x，
∴一次项的系数是4．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
2．（3分）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y＝x﹣3B．y=3xC．y=35xD．y＝﹣5x2
【分析】根据反比例函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，函数y＝x﹣3不符合反比例函数的定义，
∴该选项中的函数不是反比例函数；
对于选项B，函数y=3x符合反比例函数的定义，
∴该选项中的函数是反比例函数；
对于选项C，函数y=35x不符合反比例函数的定义，
∴该选项中的函数不是反比例函数；
对于选项D，函数y＝5x2不符合反比例函数的定义，
∴该选项中的函数不是反比例函数．
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，理解反比例函数的定义是解决问题的关键．
3．（3分）河南博物院珍藏一个钧窑蓝灰釉大碗，金代，1978年长葛石固遗址窖藏出土，圆唇，直口，深弧腹，平底，圈足．通体施蓝灰釉，内壁釉色匀净，外壁有流釉痕迹，细小开片、胎呈浅灰色，胎质坚固细密，如图是这个钧窑蓝灰釉大碗的图片，关于该碗的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同D．三视图都相同
【分析】根据简单几何体三视图的画法画出它的三视图即可．
【解答】解：这个瓷碗的主视图、左视图形状相同，俯视图与主视图、左视图不同，
故选：A．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的画法是正确解答的关键．
4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，如果AD＝3，BD＝6，AE＝2，那么AC的值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算求出EC，结合图形计算得到答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ADDB=AEEC，即36=2EC，
解得，EC＝4，
∴AC＝AE+EC＝2+4＝6，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．（3分）新郑红枣又名鸡心大枣、鸡心枣，是河南省郑州市新郑市的特产，素有“灵宝苹果潼关梨，新郑大枣甜似蜜”的盛赞．某综合实践小组跟踪调查了新郑红枣的移栽成活情况，得到如图所示的统计图，由此可估计新郑红枣移栽成活的概率约为（ ）
A．0.8B．0.85C．0.9D．0.95
【分析】由图可知，新郑红枣移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9．
【解答】解：新郑红枣移栽成活的棵数占比稳定在0.9，故成活的概率估计值为0.9．
故选：C．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
6．（3分）一元二次方程x2﹣x+2025＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【分析】求出判别式的值即可判断．
【解答】解：x2﹣x+2025＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2025＜0，
∴方程没有实数根．
故选：C．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
7．（3分）若点A（﹣6，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）在二次函数y＝2x2﹣4x+m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1
【分析】先把A，B，C三点的坐标代入二次函数解析式y＝2x2﹣4x+m，分别求出y1，y2，y3，再进行比较大小即可．
【解答】解：当x＝﹣6时，y1=2×(−6)2−4×(−6)+m=m+96，
当x＝﹣2时，y2=2×(−2)2−4×(−2)+m=m+16，
当x＝2时，y3=2×22−4×2+m=m，
∵m＜m+16＜m+96，
∴y3＜y2＜y1，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握二次函数图象上点的坐标能够让函数解析式左右两边相等．
8．（3分）如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小明同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小明的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小明与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为12m，则旗杆高度为（ ）
A．6.4mB．8mC．9.6mD．12.5m
【分析】根据镜面反射性质，可求出∠ACB＝∠ECD，再利用垂直求∠ABC＝∠EDC＝90°，得出△ACB∽△ECD，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案．
【解答】解：如图，由题意得，AB＝1.6m，BC＝2m，CD＝12m，
根据镜面反射可知：∠ACB＝∠ECD，
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∴△ACB∽△ECD，
∴ABED=CBCD，即1.6ED=212，
∴ED＝9.6（m），
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与双曲线y=kx的图象如图所示，其中A（1，8），B（4，2），C（﹣2，﹣4），若ax2+bx+c＞kx，则x的取值范围为（ ）
A．﹣2＜x＜1或x＞4B．﹣2＜x＜0、0＜x＜1或x＞4
C．x＞﹣2或1＜x＜4D．﹣2＜x＜0或1＜x＜4
【分析】直接结合图象可得答案．
【解答】解：由图象可得，当ax2+bx+c＞kx时，x的取值范围为﹣2＜x＜0或1＜x＜4．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数与不等式（组），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10．（3分）如图，等边三角形OAB中，点O为原点，点A的坐标为（1，0），点B在第一象限，进行以下操作：①第一次，以A为旋转中心，将△OAB顺时针旋转30°得到△O1A1B1；第二次，以A为旋转中心，将△O1A1B1顺时针旋转30°得到△O2A2B2⋯⋯；②当点B落在x轴上时，以B为旋转中心延续前面的操作；③当点O落在x轴上时，以O为旋转中心延续前面的操作……当操作延续时，则经过点A21的反比例函数的表达式为（ ）
A．y=3xB．y=4xC．y=5xD．y=6x
【分析】首先求出A1～A13的坐标，探究规律，利用规律即可求得A21坐标为（6，1），利用待定系数法解决问题即可．
【解答】解：由题意，A1（1，0），A2（1，0），A3（1，0），A4（1，0），A5（2−32，12），A6（32，32），A7（2，1），A8（2+32，12），A9（3，1），A10（72，32），A11（3+32，12），A12（4，0），A13（4，0），•••，
发现12次一个循环，
∵21÷12＝1⋯⋯9，
∴旋转21次时，顶点A21的纵坐标与A9相同，其坐标为（6，1），
∴经过点A21的反比例函数的表达式为y=6x，
故选：D．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数的解析式，坐标与图形变化﹣旋转，规律型：点的坐标，等边三角形的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）请写出一个开口向下，经过原点的二次函数的表达式 y＝﹣x2 ．
【分析】根据开口向下，可知a＜0，再根据经过原点，可知c＝0，从而可以写出一个符合要求的二次函数解析式，本题得以解决，注意本题答案不唯一．
【解答】解：开口向下，经过原点的二次函数的表达式是y＝﹣x2，
故答案为：y＝﹣x2．
【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．（3分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cs∠BAC的值为 35 ．
【分析】根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：过B作BH⊥AC交AC的延长线于H，
∴AB=AH2+BH2=32+42=5，AH＝3，
∴cs∠BAC=AHAB=35，
故答案为：35．
【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
13．（3分）1995年11月10日，为了展现中华山河的壮美风貌，邮电部发行了一套名为《嵩山》的特种邮票，全套共4枚．小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《嵩山》特种邮票，上面分别绘有“中岳古庙”“嵩门待月”“少林晴雪”和“嵩山如卧”的图案．这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．初中毕业之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率是 16 ．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将这四枚邮票分别记为A，B，C，D，
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的结果有：（A，C），（C，A），共2种，
∴小亮抽到的邮票正好是“中岳古庙”和“少林晴雪”的概率为212=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（3分）如图，矩形ABOC的顶点A和正方形ECFD的顶点D都在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，点A的坐标为（2，4），则点D的坐标为 （4，2） ．
【分析】根据点A的坐标为（2，4）及矩形的性质得OC＝2，AC＝4，再根据正方形的性质设EC＝CF＝FD＝DE＝a，则OF＝2+a，进而得点D（2+a，a），然后根据点A（2，4），D（2+a，a）均在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上得k＝2×4＝a（a+2），由此解出a＝2，进而可得点D的坐标．
【解答】解：∵点A（2，4），四边形ABOC是矩形，
∴OC＝2，AC＝4，
∵四边形ECFD是正方形，
∴设EC＝CF＝FD＝DE＝a，
∴OF＝OC+CF＝2+a，
∴点D（2+a，a），
∵点A（2，4），D（2+a，a）均在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k＝2×4＝a（a+2），
∴a2+2a﹣8＝0，
解得：a＝2，a＝﹣4（不合题意，舍去），
∴2+a＝4，
∴点D的坐标为（4，2）．
故答案为：（4，2）．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，矩形的性质，正方形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质和正方形的性质是解决问题的关键．
15．（3分）如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，点M为AD上一点，且AM＝3，点P为AB上一个动点，将△AMP沿MP折叠得到△QMP，点A的对应点为点Q，连接DQ，当点Q落在菱形ABCD的对角线上时，DQ的长为 1+332或7 ．
【分析】分两种情形：如图1中，当点Q落在对角线BD上时，设DQ＝x，PB＝y．利用相似三角形的性质构建方程组求解；如图2中，当点Q落在对角线AC上时，设AC，BD交于点O，AC交PM于点J．求出OD，OQ，再利用勾股定理求解．
【解答】解：连接AC，BD．如图1中，当点Q落在对角线BD上时，设DQ＝x，PB＝y．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝∠ABD＝60°，AD＝DB＝AB＝4，BQ＝4﹣x，PQ＝AP＝4﹣y，
由翻折变换的性质可知∠MAP＝∠MQP＝60°，MA＝MQ＝3，
∴∠MQD+∠PQB＝120°，
∵∠MQD+∠DMQ＝120°，
∴∠PQB＝∠QMD，
∴△PBQ∽△QDM，
∴PBQD=BQDM=PQMQ，
∴yx=4−x1=4−y3，
解得x=1+332，y=333−132（负值已经舍去），
经检验x=1+332，y=333−132是分式方程的解，
∴DQ=1+332；
如图2中，当点Q落在对角线AC上时，设AC，BD交于点O，AC交PM于点J．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
由题意，△APM，△PQM都是等边三角形，
∵AM＝AP＝MP＝MQ＝PQ＝3，
∴AJ＝JQ=332，
∵OD＝2，AO＝23，
∴OJ＝AO﹣AJ=123，
∴OQ＝JO﹣OJ=322−123=3，
∴DQ=OD2+OQ2=7．
综上所述，DQ的长为1+332或7．
【点评】本题考查翻折变换，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（12分）（1）计算：2cs30°+2sin45°−tan60°；
（2）已知xy=13，求x+2y2x−y的值；
（3）解方程：x2﹣5x+5＝0．
【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值得到原式＝2×32+2×22−3，然后进行二次根式的混合运算；
（2）先利用内项之积等于外项之积得到y＝3x，再把y＝3x代入所求的代数式中，然后进行分式的化简计算；
（3）先计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解．
【解答】解：（1）原式＝2×32+2×22−3
=3+1−3
＝1；
（2）∵xy=13，
∴y＝3x，
∴原式=x+6x2x−3x
=7x−x
＝﹣7；
（3）∵a＝1，b＝﹣5，c＝5，
∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×5＝5，
∴x=5±52×1，
∴x1=5−52，x2=5+52．
【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键．也考查了特殊角的三角函数值和解一元二次方程．
17．（8分）如图是由一些棱长都为1cm的小正方体组合成的简单几何体．
（1）请在如图的方格中画出该几何体的俯视图和左视图；
（2）该几何体的表面积（含下底面）是 30 cm2；
（3）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以再添加 3 个小立方块．
【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出它的左视图和俯视图即可；
（2）根据简单组合体三视图的面积以及被遮挡面积即可；
（3）在俯视图的相应位置标注所能添加的最多的小正方体的个数即可．
【解答】解：（1）该几何体的俯视图和左视图如图所示：
（2）该几何体的俯视图的面积是4cm2，左视图的面积是4cm2，主视图的面积为6cm2，
所以该几何体的表面积为（6+4+4）×2+2＝30（cm2），
故答案为：30；
（3）如图，在左视图的相应位置标注所能添加最多时的个数，
所以最多可添加1+2＝3（个），
故答案为：3．
【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的定义，掌握简单组合体三视图的画法是正确解答的关键．
18．（9分）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于（﹣3，0），（1，0）两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求该抛物线的对称轴；
（3）若﹣4＜x＜3，求函数值y的取值范围．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），再把解析式化为一般式得y＝ax2+2ax﹣3a，所以﹣3a＝3，然后求出a，从而确定抛物线解析式；
（2）利用配方法把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的对称轴；
（3）由于﹣（x+1）2+4，则当x＝﹣1时，y有最大值，最大值为4，再计算出当x＝﹣4时，y＝﹣5，当x＝3时，y＝﹣12，然后写出当﹣4＜x＜3，函数值y的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
即y＝ax2+2ax﹣3a，
∴﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
（3）当x＝﹣1时，y有最大值，最大值为4，
∵当x＝﹣4时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣5，
当x＝3时，y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣12，
∴当﹣4＜x＜3，函数值y的取值范围为﹣12＜x≤4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的性质．
19．（9分）如图，小明在高度为24米的楼顶C处观测到楼后一棵树AB的最高点A的俯角为45°，小红在高4米的二楼窗户D处观测到树AB的最高点A的仰角为37°，已知他们的观测点C，D和楼底E在一条直线上，求树AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】过点A作AF⊥CD于点F，设DF＝x，则CF＝24﹣4﹣x＝20﹣x．根据tan∠DAF=DFAF列出方程，解出x的值即可．
【解答】解：如图，过点A作AF⊥CD于点F，
∴AB＝EF．
设DF＝x，则CF＝24﹣4﹣x＝20﹣x．
由题意可得，∠ACF＝45°，∠DAF＝37°，
在△AFC中，AF＝CF＝20﹣x．
在△AFD中，tan∠DAF=DFAF，
∴AF=DFtan∠DAF≈x0.75=43x，
∴20−x=43x，
解得x≈8.57（米），
则AB＝EF＝DF+DE＝8.57+4＝12.57≈12.6（米）．
【点评】此题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确构造直角三角形并熟练掌握锐角的三角函数概念是解题关键．
20．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P，Q分别为AD，BC上一个动点，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动；点Q从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向点B运动．两点同时出发，当点P到达点D时，两点同时停止运动，连接AQ，BP，交点为点E，连接DQ，CP，交点为点F，设点P的运动时间为t秒．
（1）求证：四边形PEQF为平行四边形；
（2）当四边形PEQF为矩形时，求t的值；
（3）试判断四边形PEQF能否为菱形和正方形，若能，请求出t的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由矩形的性质得出AD＝BC，AD∥BC，由题意知AP＝CQ，得出四边形AQCP是平行四边形，则AQ∥PC，同理PB∥DQ，则可得出结论；
（2）由矩形的性质及勾股定理可得出答案；
（3）由菱形的判定与性质及正方形的判定可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
由题意知AP＝CQ，
∴四边形AQCP是平行四边形，
∴AQ∥PC，
同理PB∥DQ，
∴四边形PEQF是平行四边形；
（2）若四边形PEQF为矩形，
∴∠BPC＝90°，
∴PB2+PC2＝BC2，
∴32+t2+（8﹣t）2+32＝82，
∴t=8±272=4±7，
∴t＝4±7时，四边形PEQF为矩形；
（3）若P，Q分别是AD，BC的中点时，四边形PEQF是菱形，
∴AP＝BQ，
∵∠BAP＝∠ABQ＝90°，BA＝AB，
∴△ABQ≌△BAP（SAS），
∴AQ＝BP，∠BAQ＝∠ABP，
∴AE＝BE，
∴PE＝EQ，
由（1）知四边形PEQF为平行四边形，
∴四边形PEQF是菱形，
∴t＝8﹣t，
∴t＝4，
即t＝4时，四边形PEQF为菱形；
四边形PEQF不可能为正方形．
理由：∵t＝4时，四边形PEQF为菱形，t＝4±7时，四边形PEQF为矩形，
∴不存在t的值使四边形PEQF为正方形．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形、正方形的判定是解题的关键．
21．（9分）如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B（0，3），交双曲线y=mx于点C（2，n）．
（1）求直线和双曲线的表达式；
（2）点P为线段AB上一个动点，过点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q．当四边形PQOB为平行四边形时，求点P的横坐标a的值．
【分析】（1）把点A（﹣4，0），点B（0，3）代入y＝kx+b得解方程组得到直线的表达式为y=34x+3；把x＝2代入y=34x+3得得到C（2，92），把C（2，92）代入y=mx求得双曲线的表达式为y=9x；
（2）设P（a，34a+3），则Q（a，9a），由点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q，得到PQ∥OB，根据平行四边形的性质得到PQ＝OB，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）把点A（﹣4，0），点B（0，3）代入y＝kx+b得，−4k+b=0b=3，
解得k=34b=3，
∴直线的表达式为y=34x+3；
把x＝2代入y=34x+3得y=34×2+3=92，
∴C（2，92），
把C（2，92）代入y=mx得m＝9，
∴双曲线的表达式为y=9x；
（2）如图，设P（a，34a+3），则Q（a，9a），
∵点P作x轴的垂线，交双曲线于点Q，
∴PQ∥OB，
∵四边形PQOB为平行四边形，
∴PQ＝OB，
∴34a+3−9a=3，
解得a＝﹣23（正值舍去），
∴点P的横坐标a的值为﹣23．
【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键．
22．（9分）阅读：
注：扔沙包时可有进攻和防守两种选择，若进攻，沙包的运行路线可近似看作是一条直线；若防守，可将沙包高抛给另一名同组玩家伺机进攻，这时沙包的运行路线可近似看作是一条抛物线．
大课间活动中，小明、小亮和小红玩砸沙包游戏，小明和小亮扔沙包，小红接沙包．如图，以地面为x轴，以小明站立的位置为y轴建立平面直角坐标系，小明一开始准备进行防守，他跳起在A（0，2）处高抛，将沙包传给小亮，小亮在横坐标为7的B处接到沙包．其运行路线可以看作是抛物线y＝a（x﹣3）2+3的一部分．
（1）求抛物线的表达式和点B的坐标；
（2）小红在小明和小亮之间运动，选择合适的方式躲避沙包和接住沙包，已知小红跳起后的最大高度为2m，请求出小红接住沙包的运动范围；
（3）小明跳起后发现，小红在距离自己4m处未动，他决定选择进攻，若设沙包的运行路线的解析式为y＝mx+2，小红的身高为1.5m，求能砸中小红时，m的取值范围．
【分析】（1）把点A的坐标代入所给的抛物线解析式中，可求得a的值，取x＝7，求得y的值即为点B的坐标；
（2）取y＝2，求得相应的x的值，结合函数图象及小红的运动范围可得小红接住沙包的运动范围；
（3）能砸到小红，沙包的运行路线最低应经过点（4，0），最高应经过点（4，15），代入所给函数解析式可得m的值，即可求得能砸中小红时，m的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+3过点A（0，2），
∴2＝a（0﹣3）2+3，
解得：a=−19，
∴y=−19（x﹣3）2+3，
当x＝7时，y=119，
∴点B的坐标为：（7，119）；
（2）当y＝2时，−19（x﹣3）2+3＝2，
整理得：（x﹣3）2＝9，
x﹣3＝3或x﹣3＝﹣3，
∴x1＝6，x2＝0，
∵小红在小明和小亮之间运动，
∴小红接住沙包的运动范围为：6≤x≤7；
（3）①沙包运行路线经过点（4，0），
0＝4m+2，
解得：m=−12，
②沙包运行路线经过点（4，1.5），
1.5＝4m+2，
解得：m=−18，
∴能砸中小红时，m的取值范围为−12≤m≤−18．
【点评】本题考查二次函数的应用．结合函数图象得到小红接住沙包时x的取值范围是解决本题的易错点；判断出砸中小红时直线经过点的坐标是解决本题的难点．
23．（10分）在学习《等腰三角形》后，刘老师带领数学兴趣小组的同学对等腰三角形的拓展进行研究．
【特例分析】
（1）如图1，等边三角形ABC中，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则AMCN的值为 1 ，∠MCN的度数为 60° ；
【变形探究】
（2）如图2，等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN，则AMCN的值与∠MCN的度数是否变化？请说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点M为射线CA上一个动点，连接MB，将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，得到线段MN，连接BN，CN．若AB＝8，BM＝7，请直接写出点N到AC的距离．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，求得∠BAM＝120°，根据旋转的性质得到MB＝MN，∠BMN＝∠BAC＝60°，推出△BMN是等边三角形，得到BM＝BN，∠MBN＝60°，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝45°，求得∠BAM＝90°，根据旋转的性质得到BM＝MN，∠BMN＝90°，求得∠MBN＝∠MNB＝45°，根据全等三角形的性质得到∠MAB＝∠BCN，AMCN=ABBC=22；求得∠MCN＝45°；
（3）过A作AH⊥BC于H，根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAM＝60°，BH=32AB＝43，求得BC＝83，根据旋转的性质得到BM＝MN，∠BMN＝120°，求得∠MBN＝∠MNB＝30°，根据相似三角形的性质得到AMCN=ABBC=33，∠BAM＝∠BCN＝60°，过M作MF⊥AB，过N作NE⊥AC于E，设AM=3x，CN＝3x，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠BAM＝120°，
∵将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，
∴MB＝MN，∠BMN＝∠BAC＝60°，
∴△BMN是等边三角形，
∴BM＝BN，∠MBN＝60°，
∴∠ABM＝∠CBN，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴AM＝CN，∠BAM＝∠BCN＝180°﹣∠BAC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠MCN＝120°﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°；
∴AMCN=1，
故答案为：1，60°；
（2）变化，AMCN=22，∠MCN＝45°；
理由：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAM＝90°，
∵将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等边三角形顶角∠BAC的度数，
∴BM＝MN，∠BMN＝90°，
∴∠MBN＝∠MNB＝45°，
∴∠ABM＝∠CBN，
∵BMBN=ABBC=22，
∴△ABM∽△CBN，
∴∠MAB＝∠BCN，AMCN=ABBC=22；
∴∠MCN＝45°；
（3）过A作AH⊥BC于H，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝8，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠BAM＝60°，BH=32AB＝43，
∴BC＝83，
∵将MB绕点M逆时针旋转，旋转角为等腰三角形顶角∠BAC的度数，
∴BM＝MN，∠BMN＝120°，
∴∠MBN＝∠MNB＝30°，
∵BM＝7，
同理得BN＝73，
∴∠MBN＝∠ABC∠BMN＝∠BAC，
∴∠MBA＝∠CBN，
∴△MBN∽△ABC，
∴BMBN=ABBC=33，
∴△ABM∽△CBN，
∴AMCN=ABBC=33，∠BAM＝∠BCN＝60°，
过M作MF⊥AB，过N作NE⊥AC于E，
设AM=3x，CN＝3x，
∵∠MAB＝60°，
∴AF=12AM=32x，FM=32AM=32×3x=32x，
∴BF＝8−32x，
∵BF2+FM2＝BM2，
∴（8−32x）2+（32x）2＝72，
解得x=3或x=533，
∴CN＝33或53，
∵∠ACB＝30°，∠BCN＝60°，
∴∠ACN＝30°，
当CN＝33时，EN=12CN=323，
当CN＝53时，EN=12CN=532，
∴点N到AC的距离为332或532．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，旋转的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/29 17:25:17；用户：微信用户；邮箱：rFmNt8ZNwLm3Gct5X_SbEQdJsXc@；学号：45580799砸沙包游戏：通常涉及两组玩家，一组负责扔沙包，另一组负责躲避沙包．游戏规则如下：
扔沙包：扔沙包的玩家轮流将沙包从肩上方投出，试图击中躲沙包的玩家．
躲避：躲沙包的玩家需要躲避沙包，如果被沙包击中，则退出游戏；如果接住沙包，则可以多一条命或让本方被击中的玩家“复活”．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
B
C
C
D
C
D
D
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
砸沙包游戏：通常涉及两组玩家，一组负责扔沙包，另一组负责躲避沙包．游戏规则如下：
扔沙包：扔沙包的玩家轮流将沙包从肩上方投出，试图击中躲沙包的玩家．
躲避：躲沙包的玩家需要躲避沙包，如果被沙包击中，则退出游戏；如果接住沙包，则可以多一条命或让本方被击中的玩家“复活”．