2023-2024学年河南省郑州市高新区九年级（上）期末数学试卷含答案

这是一份2023-2024学年河南省郑州市高新区九年级（上）期末数学试卷含答案，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）2024年1月，河南省农业农村厅发布信息，我省小麦越冬期苗情好于常年，全省一类苗平均亩群体73.34万，数据“73.34万”用科学记数法表示为（ ）
A．73.34×104B．73.34×105C．7.334×104D．7.334×105
4．（3分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2+4a2＝7a4B．4a2÷a＝4a
C．（a2）3＝a5D．（﹣3ab）2＝6a2b2
6．（3分）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
7．（3分）关于x的一元二次方程x2+x﹣m2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
8．（3分）科技承载梦想，创新始于少年，某校科技社团的学生制作了一艘轮船模型，实验过程中他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引力F（N）是其速度v（m•s﹣1）的反比例函数，其图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．该船航行过程中，F随v的增大而减小
B．F＞10N时，v＞2m•s﹣1
C．该段航行过程中，函数表达式为
D．v＝8m•s﹣1时，F＝2.5N
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（﹣1，0），下列结论中正确的是（ ）
A．ac＞0B．a﹣b+c＜0C．a+b+c＞0D．4a+2b+c＝0
10．（3分）如图①，在菱形ABCD中，垂直于AB的直线EF（直线EF与菱形ABCD的两边分别交于E、F两点，且点E在点F的上方）沿AB方向从点A出发到点B停止运动，设直线EF平移距离为x，△AEF的面积为y，若y与x之间的函数图象如图②所示，则m+n的值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 ．
12．（3分）如图，若一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点．则方程kx+b＝0的解为 ．
13．（3分）郑州是华夏文明的重要发祥地，是非遗文化传承的魅力名城，某校举行超化吹歌、小相狮舞、少林功夫、荣阳笑伞四个专题活动，小智、小慧两位同学各自参加其中一个活动，每位同学参加各个活动的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个活动的概率为 ．
14．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝8，点F在AC上且AF＝1，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，作直线MN交BC于点E，连接EF，则EF＝ ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点D是斜边AB上的动点且不与点A和点B重合，连接CD，点B'与点B关于直线CD对称，连接B'D，当B'D垂直于Rt△ABC的直角边时，BD的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
17．（9分）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，AI的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下：
a．信息处理速度（满分10分）
b．信息识别准确度（满分10分）
c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中a＝ ，b＝ ，S甲2 S乙2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）若某市共有20.4万人使用甲款AI软件，请你估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数；
（3）综合上表中的统计量，你认为哪款AI软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）．
18．（9分）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数的图象在第一象限的交点A横坐标为1，直线l⊥x轴于点N（a，0），且与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B和点C，且点B在点C上方．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形ODBC是平行四边形，求a的值．
19．（9分）河南新密伏羲山小马高原风景秀丽，成为新晋河南打卡景区，景区为旅游旺季的到来做物资准备，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共70顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？
20．（9分）黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点O处，三片扇叶两两所成的角为120°，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点C处安放测角仪（测角仪高度AC＝1米），当扇叶a恰好与塔杆重合时，测得扇叶b的末端点B的仰角为54.5°，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．（参考数据sin54.5°≈0.81，cs54.5°≈0.58，tan54.5≈1.40，≈1.73）
21．（9分）如图，△ABC的外接圆是以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，在BD上截取EC＝CD，连接AE并延长交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：CF＝CA；
（2）若AC＝2，，求BE的长．
22．（10分）如图1，某喷泉公司生产的可升降式喷头，喷出的水柱形状呈抛物线，如图2，以圆形水池中心O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为（0，1）．
（1）当水柱满足到水池中心水平距离为3米时，即OB＝3时，水柱达到最大高度5米，求第一象限内水柱的函数表达式；
（2）若圆形水池的半径为7米，在（1）的条件下喷出的水柱是否会落在水池外（不考虑水柱落到水面后造成的进溅），请通过计算说明．
23．（10分）综合实践课上，数学老师带领学生探究矩形的旋转．
【动手操作】
如图1，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB＝8，AD＝5．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为N′，N'C所在直线与DN所在直线交于点G．
【探究发现】
（1）连接MG，∵∠N'＝∠N＝90°，MN'＝MN，MG＝MG，根据 （填选项），证得△MN'G≌△MNG，∴N'G＝NG；
A．SAS
B．HL
C．AAS
D．ASA
（2）数学老师让学生动手操作后提出问题：
①“勤奋”组发现，如图2，当点N'落在AD边上时，BC边恰好经过点N，提出问题：求两个矩形重叠部分四边形MN'GN的面积；请你直接写出四边形MN′GN的面积 ；
②“好学”组提出问题：如图3，当N'落在MD上时，连接DC，NN'，发现NN'∥DC，请你尝试证明NN'∥DC；
【引申探究】
（3）当点N'落在矩形AMND中∠AMN的平分线所在直线上时，请直接写出线段GN的长．
2023-2024学年河南省郑州市高新区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据相反数的定义直接得到﹣的相反数是．
【解答】解：﹣的相反数是．
故选：B．
【点评】本题考查了相反数．解题的关键是明确相反数的意义：a的相反数为﹣a．
2．（3分）如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：图②“堑堵”从上面看，是一个矩形，
故选：C．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
3．（3分）2024年1月，河南省农业农村厅发布信息，我省小麦越冬期苗情好于常年，全省一类苗平均亩群体73.34万，数据“73.34万”用科学记数法表示为（ ）
A．73.34×104B．73.34×105C．7.334×104D．7.334×105
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：73.34万＝733400＝7.334×105．
故选：D．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB，ED∥AB，经使用发现，当∠DCB＝140°时，台灯光线最佳．则此时∠EDC的度数为（ ）
A．130°B．120°C．110°D．100°
【分析】过C作CK∥AB，得到CK∥ED，由BC⊥AB，推出BC⊥CK，由垂直的定义得到∠BCK＝90°，求出∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝50°，由平行线的性质推出∠EDC+∠DCK＝180°，即可求出∠EDC＝130°．
【解答】解：过C作CK∥AB，
∵ED∥AB，
∴CK∥ED，
∵BC⊥AB，
∴BC⊥CK，
∴∠BCK＝90°，
∵∠DCB＝140°，
∴∠DCK＝∠DCB﹣∠BCK＝50°，
∵CK∥DE，
∴∠EDC+∠DCK＝180°，
∴∠EDC＝130°．
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是过C作CK∥AB，得到CK∥ED，由平行线的性质来解决问题．
5．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．3a2+4a2＝7a4B．4a2÷a＝4a
C．（a2）3＝a5D．（﹣3ab）2＝6a2b2
【分析】利用合并同类项、单项式除以单项式、幂的乘方、积的乘方法则，逐个计算得结论．
【解答】解：A．3a2+4a2＝7a2≠7a4，故选项A运算错误；
B．4a2÷a＝4a，故选项B运算正确；
C．（a2）3＝a6≠a5，故选项C计算错误；
D．（﹣3ab）2＝9a2b2≠6a2b2，故选项D计算错误．
故选：B．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解决本题的关键．
6．（3分）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ）
A．测量两条对角线是否相等
B．度量两个角是否是90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意；
B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；
C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定是否为矩形，故选项C符合题意；
D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟记“对角线互相平分的四边形为平行四边形”是解题的关键．
7．（3分）关于x的一元二次方程x2+x﹣m2＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【分析】先求出Δ的值，再判断出其符号即可．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×1×（﹣m2）＝1+4m2＞0，
∴方程有两个不等实根．
故选：A．
【点评】本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．
8．（3分）科技承载梦想，创新始于少年，某校科技社团的学生制作了一艘轮船模型，实验过程中他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引力F（N）是其速度v（m•s﹣1）的反比例函数，其图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．该船航行过程中，F随v的增大而减小
B．F＞10N时，v＞2m•s﹣1
C．该段航行过程中，函数表达式为
D．v＝8m•s﹣1时，F＝2.5N
【分析】根据图象和反比例函数的性质，逐项判断各项的正误即可．
【解答】解：A、根据图象可知，F•V是定值，F随v的增大而减小，选项正确，不符合题意；
B、当F＞10N时，V＜2m•s﹣1，选项错误，符合题意；
C、根据图表信息，函数表达式为F＝，选项正确，不符合题意；
D、当V＝8m•s﹣1时，F＝＝2.5N，选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．
9．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（﹣1，0），下列结论中正确的是（ ）
A．ac＞0B．a﹣b+c＜0C．a+b+c＞0D．4a+2b+c＝0
【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性和增减性即可解决问题．
【解答】解：由函数图象可知，
a＜0，b＞0，c＞0，
所以ac＜0．
故A选项错误．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
所以a﹣b+c＝0．
故B选项错误．
因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，
所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．
因为抛物线的开口向下，
所以当x＝1时，其函数值大于零，
即a+b+c＞0．
故C选项正确．
由上述过程可知，
当x＝2时，其函数值大于零，
即4a+2b+c＞0．
故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
10．（3分）如图①，在菱形ABCD中，垂直于AB的直线EF（直线EF与菱形ABCD的两边分别交于E、F两点，且点E在点F的上方）沿AB方向从点A出发到点B停止运动，设直线EF平移距离为x，△AEF的面积为y，若y与x之间的函数图象如图②所示，则m+n的值为（ ）
A．9B．8C．7D．6
【分析】图②中有点（2，4），结合图①，表示点E移动到点D时，AF＝2，S△AEF＝4，那么DC与AB之间的距离为：＝4．直线EF继续向右平移，结合图②，让6×2÷4即可得到m的值，让12×2÷4即可得到n的值，计算m+n即可．
【解答】解：∵点（2，4）在两段函数上，
∴点E移动到点D时，AF＝2，S△AEF＝4．
∴EF＝＝4．
EF继续向右移动．
∵S△AEF＝6，
∴AF＝m＝6×2÷4＝3．
同理可得：n＝12×2÷4＝6，
∴m+n＝3+6＝9．
故选：A．
【点评】本题考查动点问题的函数图象．根据图象获取关键点的信息是解决本题的关键．用到的知识点为：三角形的高＝2×面积÷底边；三角形的底边＝2×面积÷高．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠4 ．
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：∵代数式有意义，
∴4﹣x≠0，
解得x≠4．
故答案为：x≠4．
【点评】本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零的条件是解题的关键．
12．（3分）如图，若一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点．则方程kx+b＝0的解为 x＝﹣2 ．
【分析】直接利用图象得出答案．
【解答】解：如图所示：不等式kx+b＝0的解为：x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，正确数形结合分析是解题关键．
13．（3分）郑州是华夏文明的重要发祥地，是非遗文化传承的魅力名城，某校举行超化吹歌、小相狮舞、少林功夫、荣阳笑伞四个专题活动，小智、小慧两位同学各自参加其中一个活动，每位同学参加各个活动的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个活动的概率为 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及这两位同学恰好参加同一个活动的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将超化吹歌、小相狮舞、少林功夫、荣阳笑伞四个专题活动分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中这两位同学恰好参加同一个活动的结果有4种，
∴这两位同学恰好参加同一个活动的概率为＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
14．（3分）如图，在等边△ABC中，AB＝8，点F在AC上且AF＝1，分别以点B和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，作直线MN交BC于点E，连接EF，则EF＝ ．
【分析】过点F作FG⊥BC于点G，由作图痕迹可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，则可得BE＝CE．根据等边三角形的性质以及锐角三角函数的定义可求出CG，FG的长，进而可得EG的长，再利用勾股定理可得答案．
【解答】解：过点F作FG⊥BC于点G，
由作图痕迹可知，直线MN为线段BC的垂直平分线，
∴BE＝CE．
∵△ABC为等边三角形，AB＝8，
∴BC＝AC＝AB＝8，∠C＝60°，
∴BE＝CE＝4．
∵AF＝1，
∴CF＝7，
∴CG＝CF•cs60°＝＝，FG＝CF•sin60°＝7×＝，
∴EG＝CE﹣CG＝4﹣＝．
在Rt△EFG中，由勾股定理得，EF＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质、勾股定理是解答本题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，点D是斜边AB上的动点且不与点A和点B重合，连接CD，点B'与点B关于直线CD对称，连接B'D，当B'D垂直于Rt△ABC的直角边时，BD的长为 1或3 ．
【分析】分两种情形分别证明AC＝AD，BC＝BD即可解决问题．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，
∴BC＝，
①如图1中，当B′D⊥BC时，设B′D交BC于E，可得CD平分∠ADE，
∴∠ADC＝∠CDE，
∵AC∥B′E，
∴∠ACD＝∠CDE＝∠ADC，
∴AD＝AC＝4，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣4＝1．
②当DB′⊥AC于E时，同法可证BC＝BD＝3，
综上所述，满足条件的BD的值为1或3．
故答案为：1或3．
【点评】本题考查直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（10分）（1）计算：；
（2）化简：．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）
＝3﹣4﹣1
＝﹣2；
（2）
＝•
＝•
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（9分）从文本生成到语音识别，从绘画到编程，AI的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款AI软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取20名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下：
a．信息处理速度（满分10分）
b．信息识别准确度（满分10分）
c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中a＝ 7.5 ，b＝ 9 ，S甲2 ＜ S乙2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）若某市共有20.4万人使用甲款AI软件，请你估计对本款软件信息识别准确度打分超过7分的人数；
（3）综合上表中的统计量，你认为哪款AI软件使用效果更好？请说明理由（列出两条即可）．
【分析】（1）根据中位数、众数与方差的定义即可求解；
（2）用样本估计总体即可；
（3）根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可．
【解答】解：（1）共20个数据，乙组数据第10个，第11个数据分别为7、8，
所以中位数a＝＝7.5，
甲组数据中9出现的次数最多，
故b＝9，
由信息识别准确度的折线图可知，S甲2＜S乙2．
故答案为：7.5，9，＜；
（2）204000×＝51000（人），
估计对本款软件信息识别准确度打分超过（7分）的人数为51000人；
（3）甲款AI软件使用效果更好（答案不唯一），理由如下：
∵信息识别准确度得分的平均数甲高于乙，而且甲的方差小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴甲款AI软件使用效果更好．
【点评】本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
18．（9分）如图，一次函数y＝x+1与反比例函数的图象在第一象限的交点A横坐标为1，直线l⊥x轴于点N（a，0），且与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B和点C，且点B在点C上方．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形ODBC是平行四边形，求a的值．
【分析】（1）先求出A点坐标，再求反比例函数解析式即可；
（2）先确定B（a，a+1），C（a，），分别求出BC＝a+1﹣，OD＝1，再由平行四边形的性质得到方程a+1﹣＝1，求出a的值即可．
【解答】解：（1）∵点A横坐标为1，且在一次函数y＝x+1上，
∴A（1，2），
将点A代入y＝，可得k＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）由题可知B（a，a+1），C（a，），
∵点B在点C上方，
∴BC＝a+1﹣，
当x＝0时，y＝1，
∴D（0，1），
∴OD＝1，
∵四边形ODBC是平行四边形，
∴OD＝BC，即a+1﹣＝1，
解得a＝±，
∵反比例函数中x＞0，
∴a＝．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键．
19．（9分）河南新密伏羲山小马高原风景秀丽，成为新晋河南打卡景区，景区为旅游旺季的到来做物资准备，需要购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元．
（1）求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格；
（2）若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共70顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？
【分析】（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，根据若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元得：，即可解得答案；
（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，由购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，可得x≤5，而w＝600x+1000（20﹣x）＝﹣400x+20000，根据一次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）设每顶A种型号帐篷m元，每顶B种型号帐篷n元，
根据题意得：，
解得：，
∴每顶A种型号帐篷600元，每顶B种型号帐篷1000元；
（2）设购买A种型号帐篷x顶，总费用为w元，则购买B种型号帐篷（70﹣x）顶，
∵购买A种型号帐篷数量不超过购买B种型号帐篷数量的，
∴x≤（70﹣x），
解得x≤17.5，
根据题意得：w＝600x+1000（70﹣x）＝﹣400x+70000，
∵﹣400＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝17时，w取最小值，最小值为﹣400×17+70000＝63200（元），
∴70﹣x＝70﹣17＝53，
答：购买A种型号帐篷17顶，购买B种型号帐篷53顶．
【点评】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
20．（9分）黄河滚滚流，风车悠悠转，一批批风力发电设备给黄河岸边增添了一道别样的风景．如图，风力发电机舱在点O处，三片扇叶两两所成的角为120°，某中学九年级数学兴趣小组携带皮尺、测角仪进行了实地测量，他们在距离塔杆65米的点C处安放测角仪（测角仪高度AC＝1米），当扇叶a恰好与塔杆重合时，测得扇叶b的末端点B的仰角为54.5°，经查阅资料知此型号的发电机每片扇叶长26米，结合当地气候条件，当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高．请你判断该发电机机舱的高度是否合适．（参考数据sin54.5°≈0.81，cs54.5°≈0.58，tan54.5≈1.40，≈1.73）
【分析】过点A作AE⊥OD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，过点O作OG⊥BF，垂足为G，根据题意可得：DE＝AC＝1米，AE＝CD＝65米，OG＝EF，OE＝GF，∠BOD＝120°，∠DOG＝90°，从而可得∠BOG＝30°，然后在Rt△BOG中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BG＝13米，OG＝13米，从而可得EF＝OG＝13米，进而可得AF＝（65﹣13）米，再在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出GF的长，最后利用线段的和差关系求出OD的长，即可解答．
【解答】解：该发电机机舱的高度合适，
理由：如图：过点A作AE⊥OD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，过点O作OG⊥BF，垂足为G，
由题意得：DE＝AC＝1米，AE＝CD＝65米，OG＝EF，OE＝GF，∠BOD＝120°，∠DOG＝90°，
∴∠BOG＝∠BOD﹣∠DOG＝30°，
在Rt△BOG中，OB＝26米，
∴BG＝OB＝13（米），OG＝BG＝13（米），
∴EF＝OG＝13米，
∴AF＝AE﹣EF＝（65﹣13）米，
在Rt△ABF中，∠BAF＝54.5°，
∴BF＝AF•tan54.5°≈（65﹣13）×1.4＝（91﹣18.2）米，
∴OE＝GF＝BF﹣BG＝（78﹣18.2）米，
∴OD＝OE+DE＝79﹣18.2≈47.514（米），
∵当发电机舱的高度在45米到50米之间时，发电机的工作效率最高，
∴该发电机机舱的高度合适．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21．（9分）如图，△ABC的外接圆是以AB为直径的⊙O，过点A作⊙O的切线，与BC的延长线交于点D，在BD上截取EC＝CD，连接AE并延长交⊙O于点F，连接CF．
（1）求证：CF＝CA；
（2）若AC＝2，，求BE的长．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，则AC垂直平分DE，所以AE＝AD，由等腰三角形的“三线合一”得∠CAF＝∠CAD，由切线的性质证明∠BAD＝90°，则∠B＝∠CAD＝90°﹣∠BAC，所以∠B＝∠CAF＝∠F，则CF＝CA；
（2）由＝tan∠CAD＝tanB＝＝，且AC＝2，求得CD＝AC＝1，BC＝2AC＝4，则EC＝CD＝1，所以BE＝BC﹣EC＝3．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵EC＝CD，
∴AC垂直平分DE，
∴AE＝AD，
∴∠CAF＝∠CAD，
∵AD与⊙O相切于点A，
∴AD⊥OA，
∴∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝90°﹣∠BAC，
∴∠B＝∠CAF，
∵∠B＝∠F，
∴∠CAF＝∠F，
∴CF＝CA．
（2）解：∵∠ACD＝∠ACB＝90°，∠B＝∠CAD，AC＝2，
∴＝tan∠CAD＝tanB＝＝，
∴CD＝AC＝1，BC＝2AC＝4，
∴EC＝CD＝1，
∴BE＝BC﹣EC＝4﹣1＝3，
∴BE的长是3．
【点评】此题重点考查直径所对的圆周角等于90°、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”、切线的性质、圆周角定理、“等角对等边”、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明AC垂直平分DE，并且推导出∠B＝∠CAF是解题的关键．
22．（10分）如图1，某喷泉公司生产的可升降式喷头，喷出的水柱形状呈抛物线，如图2，以圆形水池中心O为原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，喷头A的坐标为（0，1）．
（1）当水柱满足到水池中心水平距离为3米时，即OB＝3时，水柱达到最大高度5米，求第一象限内水柱的函数表达式；
（2）若圆形水池的半径为7米，在（1）的条件下喷出的水柱是否会落在水池外（不考虑水柱落到水面后造成的进溅），请通过计算说明．
【分析】（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（3，5），点A（0，1），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+5，待定系数法求出解析式即可；
（2）令y＝0，解方程求出x的值与7比较即可．
【解答】解：（1）由题意得抛物线的顶点坐标为（3，5），点A（0，1），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+5，
将点A坐标代入，得9a+5＝1，
解得a＝﹣，
∴第一象限内水柱的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+5；
（2）令y＝0，则﹣（x﹣3）2+5＝0，
解得x1＝3+，x2＝3﹣（舍去），
∵3+＜7，
∴在（1）的条件下喷出的水柱是不会落在水池外．
【点评】此题考查了二次函数的实际应用以及二次函数的性质，理解题意，利用数形结合思想解题是关键．
23．（10分）综合实践课上，数学老师带领学生探究矩形的旋转．
【动手操作】
如图1，四边形ABCD是一张矩形纸片，AB＝8，AD＝5．先将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，沿MN剪开得到两个矩形．矩形AMND保持不动，将矩形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为N′，N'C所在直线与DN所在直线交于点G．
【探究发现】
（1）连接MG，∵∠N'＝∠N＝90°，MN'＝MN，MG＝MG，根据 B （填选项），证得△MN'G≌△MNG，∴N'G＝NG；
A．SAS
B．HL
C．AAS
D．ASA
（2）数学老师让学生动手操作后提出问题：
①“勤奋”组发现，如图2，当点N'落在AD边上时，BC边恰好经过点N，提出问题：求两个矩形重叠部分四边形MN'GN的面积；请你直接写出四边形MN′GN的面积 ；
②“好学”组提出问题：如图3，当N'落在MD上时，连接DC，NN'，发现NN'∥DC，请你尝试证明NN'∥DC；
【引申探究】
（3）当点N'落在矩形AMND中∠AMN的平分线所在直线上时，请直接写出线段GN的长．
【分析】（1）根据三角形全等的条件即可解答；
（2）①由折叠得AM＝DN＝AB＝4，MN＝AD＝5，由旋转得：MN′＝MN＝5，运用勾股定理可得AN′＝3，再证得△AMN′∽△DN′G，可得DG＝，再由S四边形MN′GN＝S矩形AMND﹣S△AMN′﹣S△DN′G，即可求得答案；
②连接MC，利用SAS可证得△MDN≌△MCN′，进而得出＝，即可推出NN'∥DC；
（3）分两种情况：当点N′落在矩形AMND内部时，过点N′作N′E⊥MN于点E，N′F⊥DN于点F，可证得△EMN′是等腰直角三角形，四边形EN′FN是矩形，△N′FG是等腰直角三角形，即可求得线段GN的长；当点N′落在矩形AMND外部时，同理运用等腰直角三角形的性质即可求得线段GN的长．
【解答】（1）解：连接MG，在△MN'G和△MNG中，∵∠N'＝∠N＝90°，MN'＝MN，MG＝MG，
∴△MN'G≌△MNG（HL），
∴N'G＝NG；
故答案为：B．
（2）①解：∵将矩形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为MN，
如图，
∴AM＝DN＝AB＝4，MN＝AD＝5，
由旋转得：MN′＝MN＝5，
在Rt△AMN′中，AN′＝＝＝3，
∴DN′＝AD﹣AN′＝5﹣3＝2，
由题意得四边形AMND和四边形BCN′M是矩形，
∴∠A＝∠MN′C＝∠D＝90°，
∴∠AMN′+∠AN′M＝∠DN′G+∠AN′M＝90°，
∴∠AMN′＝∠DN′G，
∴△AMN′∽△DN′G，
∴＝，即＝，
∴DG＝，
∴S四边形MN′GN＝S矩形AMND﹣S△AMN′﹣S△DN′G＝4×5﹣×4×3﹣×2×＝，
故答案为：；
②证明：如图，连接MC，
在△MDN和△MCN′中，
，
∴△MDN≌△MCN′（SAS），
∴∠DMN＝∠CMN′，MD＝MC，
∴MC与MN重合，
∵＝，
∴NN'∥DC；
（3）当点N′落在矩形AMND内部时，如图，过点N′作N′E⊥MN于点E，N′F⊥DN于点F，
∵点N'落在矩形AMND中∠AMN的平分线所在直线上，
∴∠EMN′＝∠MN′E＝∠AMN＝45°，
∴△EMN′是等腰直角三角形，
∴ME＝N′E＝MN′＝，
∴EN＝MN﹣ME＝5﹣，
∵∠N′EN＝∠ENF＝∠N′FN＝90°，
∴四边形EN′FN是矩形，
∴N′F＝EN＝5﹣，FN＝N′E＝，∠EN′F＝90°，
∵∠MN′E+∠EN′C＝∠EN′C+∠FN′G＝90°，
∴∠FN′G＝∠MN′E＝45°，
∵∠N′FG＝90°，
∴△N′FG是等腰直角三角形，
∴FG＝N′F＝5﹣，
∴GN＝FN﹣FG＝﹣（5﹣）＝5﹣5；
当点N′落在矩形AMND外部时，如图，N'C所在直线与DN所在直线交于点G．
∵点N'落在矩形AMND中∠AMN的平分线所在直线上，
∴∠NMH＝∠AMH＝∠AMN＝45°，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∴MN＝NH＝5，MH＝MN＝5，
由旋转得：MN′＝MN＝5，
∴HN′＝MN′+MH＝5+5，
∵∠GN′H＝90°，∠H＝45°，
∴△GN′H是等腰直角三角形，
∴GH＝HN′＝（5+5）＝5+10，
∴GN＝GH﹣NH＝5+10﹣5＝5+5；
∴线段GN的长为5﹣5或5+5．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠变换的性质，旋转变换的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．项目
统计量
AI软件
信息处理速度得分
信息识别准确度得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.3
7
b
5.6
S甲2
乙
7.65
a
7
4.9
S乙2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
B
C
A
B
C
A
项目
统计量
AI软件
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众数
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甲
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