重庆市第十一中学校2024-2025学年八年级上学期12月月考 数学试题（含解析）

这是一份重庆市第十一中学校2024-2025学年八年级上学期12月月考 数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．有下列各数：，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，其中是无理数的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．5，6，7
3．估计的值在哪两个数之间（ ）
A．4与5B．5与6C．6与7D．7与8
4．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
5．在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（ ）
A．B．1C．D．5
6．我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿各有多长？”设绳长x尺，竿长y尺，根据题意得（ ）（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托尺）
A．B．C．D．
7．一次函数与的图象在同一坐标系中，能满足条件的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①，两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，或，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，依次为，，，，，，…，根据这个规律，可得第55个点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，等腰中，，D、E分别在线段上，，和交于点N，交于点F，交于点M，交的延长线于点G．下列说法：①；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①③⑤B．①②⑤C．①②③D．①③④
二、填空题（本大题共8小题）
11．的算术平方根是 ．
12．二次根式中的取值范围是 ．
13．数据、、、、、的平均数为，则 ．
14．已知点、、在数轴上表示的数、、的位置如图所示，化简： ．
15．如图，直线，含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则= ．
16．如图，一次函数的图象与y=kx+bk≠0的图象相交于点，则关于x，y的方程组的解是 ．
17．如图，将长方形纸片沿折叠，使点落在边的延长线上的处，经过的中点，其中，，则 ．
18．对任意一个四位数，若满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“砺新数”．将一个“砺新数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．根据定义： ；若“砺新数”（，，都是正整数），也是“砺新数”，且能被整除．则 ．
三、解答题（本大题共8小题）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．解下列方程组：
(1)；
(2)．
21．2024年3月28日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校八、九年级进行了校园安全知识竞赛，并从八、九年级各随机抽取了20名学生的竞赛成绩，进行了整理和分析（竞赛成绩用x表示，总分100分，80分及以上为优秀，共分为四个等级：A：，B：，C：，D：），部分信息如下：
八年级20名学生的竞赛成绩为：30，40，50，55，60，60，65，70，70，70，70，72，75，78，85，87，90，93，100，100．
九年级20名学生的竞赛成绩中B等级包含的所有数据为：
80，80，80，80，82．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)请填空：______，______，______；
(2)根据上述数据，你认为该校八、九年级的校园安全知识竞赛哪个年级的学生成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校八、九年级参加本次竞赛活动的共有1000人，请估计该校八、九两个年级共有多少人成绩为优秀．
22．如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．
（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？
23．在中，，，，点沿以每秒个单位长度速度运动．点运动时间为秒，的面积记为，回答下列问题：
(1)请直接写出与之间的函数表达式并写出自变量的取值范围；
(2)在平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质；
(3)结合函数图象，若直线与函数图象有2个交点，请直接写出t的取值范围．
24．麦麦蛋糕店准备促销“葡式蛋挞”和“香草泡芙”，已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元．
(1)求第一天这两种蛋糕的销量分别是多少份；
(2)经过第一天的销售后，这两种蛋糕的库存发生了变化，为了更好的销售这两种蛋糕，店主决定把“葡式蛋挞”的售价在原来的基础上减少，“香草泡芙”的售价在原来的基础上增加，“葡式蛋挞”的销量在原来的基础上减少了12份，“香草泡芙”的销量在原来的基础上增加了31份，但两种蛋糕的成本不变，结果获利比第一天多254元．求的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于点、，C是线段上一点，将沿着折叠，点O落在点D，连接．
(1)求直线的函数解析式；
(2)若，求点D的坐标；
(3)点P是平面内一点，若，请直接写出直线的函数解析式．
26．在中，D为边上一点，连接，E为上一点，连接，．
(1)如图1，若，，，求的面积；
(2)如图2，连接，若，，点G为的中点，连接，求证：；
(3)如图3，若是等边三角形，，D为直线上一点，将绕点A逆时针方向旋转到，连接，M为线段上一点，，P为直线上一点，分别连接，，请直接写出的最小值．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据无理数的定义“无理数是无限不循环小数”即可得．
【详解】解：，，
即在，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，中，是无理数的有，…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）， ，共有3个，
故此题答案为C．
2．【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理（如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2， 那么这个三角形就是直角三角形）对各选项依次计算后即可解答．
【详解】选项A，因为12+22≠32，不能组成直角三角形；
选项B，因为22+32≠42，不能组成直角三角形；
选项C，因为32+42=52，能组成直角三角形；
选项D，因为52+62≠72，不能组成直角三角形.
故此题答案为C．
3．【答案】C
【分析】先估算的范围，然后再确定的范围即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故此题答案为C．
4．【答案】C
【分析】根据平行线的性质、平行公理、对顶角、点到直线的距离的定义逐项判断即可得．
【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，则此项是假命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，则此项是假命题，不符合题意；
C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，则此项是真命题，符合题意；
D、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，则此项是假命题，不符合题意；
故此题答案为C．
5．【答案】D
【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：∵点和点关于x轴对称，
∴，
∴，
故此题答案为D．
6．【答案】A
【分析】根据若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺列方程组即可．
【详解】解：由题意得
故此题答案为A．
7．【答案】A
【分析】先根据一条直线得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，即可得出答案．
【详解】解：A、设过一、三、四象限直线为，得，，则过二、三、四象限直线为，得，，故本选项符合题意；
B、设过一、二、四象限直线为，得，，则过一、三、四象限直线为，得，，故本选项不符合题意；
C、设过二、三、四象限直线为，得，，则过一、二、三象限直线为，得，，故本选项不符合题意；
D、设过二、三、四象限直线为，得，，则过二、三、四象限直线为，得，，故本选项不符合题意．
故此题答案为A．
8．【答案】B
【分析】由函数图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案．
【详解】解：由函数图象可知A、B两城市之间的距离为300km，故①正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，
把（5，300）代入可求得k＝60，
∴y甲＝60t，
把y＝150代入y甲＝60t，可得：t＝2.5，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，
把（1，0）和（2.5，150）代入可得：
，
解得，
∴y乙＝100t﹣100，
把y＝300代入y乙＝100t﹣100，可得：
t＝4，5﹣4＝1，
∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时，故②正确；
令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，
此时距乙车出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；
令|y甲﹣y乙|＝40，可得|60t﹣100t+100|＝40，即|100﹣40t|＝40，
当100﹣40t＝40时，可解得，
当100﹣40t＝﹣40时，可解得，
又当时，y甲＝40，此时乙还没出发，
当时，乙到达B城，y甲＝260；
综上可知当t的值为或或或时，两车相距40千米，故④不完全正确；
故此题答案为B．
9．【答案】C
【分析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，…依此类推横坐标为n的有n个点，通过加法计算算出第55个点是第10列最上面一个数，，然后对应得出坐标规律求解即可．
【详解】解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点．…第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，
∵，
∴第55个点是第10列最上面一个数，
∵第10列有10个数，y轴上方比下方多一个，
∴x轴上方有5个，x轴上有1个，x轴下方有4个，
∵x轴上的点的坐标为
∴最上面的点的坐标为．
故此题答案为C．
10．【答案】A
【分析】如图1，根据同角的余角相等，即可判断①； 通过证明得 进而得出从而可以判断②； 由再证，进而可以判断③；利用线段的等量代换可以判断④； 通过证明 即可判断⑤.
【详解】解：设于， 于，如图所示，
，
，
∴，
故①正确；
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
若， 则为等边三角形，
∴，
但题目中没有条件得到，
故②不一定成立；
如图2所示，连接，
由可得，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又，
∴垂直平分，
∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故③正确；
∵，
∴的周长为：，
∵，
∴，
∴，
∴的周长，故④错误；
如图所示，过点作于，过点作于，
，
，
，
，
，即，
，
；
故⑤正确；
故此题答案为 A．
11．【答案】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：的算术平方根是
12．【答案】且
【分析】二次根式中被开方数必须大于等于0，否则二次根式无意义．根据二次根式有意义的条件分式有意义的条件即可求出的取值范围．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且．
13．【答案】
【分析】根据平均数的公式计算出的值即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：x=2．
14．【答案】
【分析】根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简．
【详解】根据数轴可知，则可知，，
15．【答案】
【分析】如图，过点作的平行线，则有，进而根据平行线的性质及平角的意义可进行求解
【详解】解：如图，过点作的平行线，
，，
．
∵，
，
，
．
∵，，
∴；
16．【答案】
【分析】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
两直线的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，据此即可求解．
【详解】解：关于的方程组的解，
即为一次函数的图象与的图象的交点坐标，
将代入得：，
，
故关于的方程组的解是．
17．【答案】3
【分析】由矩形的性质得出AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，先证明≌（AAS），由全等三角形的性质得出D＝CF，M＝MF，设CF＝x，则D＝x，得出AD＝BC＝16﹣x，CM＝4，由勾股定理得出x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝5，则可得出答案．
【详解】解：∵M为CD的中点，
∴CM＝DM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DM＝∠MFC，
∵∠DMB'＝∠FMC，
∴≌（AAS），
∴D＝CF，M＝MF，
设CF＝x，
则D＝x，
∵A＝16，AB＝8，
∴AD＝BC＝16﹣x，CM＝4，
∴BF＝16﹣x﹣x＝16﹣2x，
∵将长方形纸片ABCD沿EF折叠，点B落在边AD的延长线上的B'处，
∴BF＝F＝16﹣2x，
∴MF＝F＝8﹣x，
在RtMFC中，CF2+CM2＝MF2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CF＝3
18．【答案】 595 198
【分析】根据定义即可计算；确定的值，利用能被整除确定的值即可．
【详解】解：；
∵，
∴去掉千位：；去掉百位：；去掉十位：；去掉个位：；
，
∵能被整除，
∴能被整除，
∵为“砺新数”，
∴，
∵，，x、y为整数，
∴x=1，或，
当时，（舍去），
当时，，
则．
19．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简绝对值，零指数幂，二次根式的除法，然后合并即可求解；
（2）根据完全平方公式和平方差公式展开，然后合并即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
．
20．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）采用加减消元法进行求解即可；
（2）先化简原方程组，再利用加减消元法进行求解即可．
【详解】（1）解：，
得，
将代入得，
解得，
∴方程组的解为：；
（2）解：
原方程组化简为：
得：，
解得，
将代入得，
解得，
∴方程组的解为：．
21．【答案】(1)70，80，55；
(2)九年级成绩相对更好，理由见解析
(3)425人
【分析】(1)根据众数、中位数和优秀率的定义进行计算即可；
(2)可以从众数、中位数以及优秀率三个方面进行判断即可解答；
(3)根据样本估计总体的方法进行计算即可．
【详解】（1）解：八年级抽取的学生竞赛成绩出现最多的是70分，故众数；
九年级20名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为80、81，
故中位数为，
九年级的优秀率为．
（2）解：九年级成绩相对更好，理由如下：
九年级测试成绩的众数、中位数和优秀率大于八年级．
（3）解： (人)，
答：估计该校八、九两个年级大约共有425人成绩为优秀．
22．【答案】（1）梯子距离地面的高度为米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米．
【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．
（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑0.5米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．
【详解】解：（1）根据勾股定理：
所以梯子距离地面的高度为：AO米；
（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2﹣0.5）＝1.5米，
根据勾股定理：OB′＝2米，
所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，
答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．
23．【答案】(1)
(2)性质：当时，随的增大而增大；图见解析
(3)
【分析】（1）分两种情况讨论：在上和在AB上，根据勾股定理和面积法即可求解；
（2）根据题意画出图象即可解答；
（3）结合函数图象即可求解．
【详解】（1）如图，当时，点在上，
在中利用勾股定理，得，
∵，
∴，
如图，当时，点在上，
过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
综上，；
（2）
由图象可知，当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而减小；
当时，有最大值；
（3）如图：
若直线与函数图象有个交点，则直线在直线与之间，
直线过点，则；
直线过点，则；
∴的取值范围为．
24．【答案】(1)97份，39份
(2)
【分析】（1）先设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，根据“已知“葡式蛋挞”的成本为10元/份，售价为20元/份，“香草泡芙”的成本为12元/份，售价为24元/份，第一天销售这两种蛋糕共136份，获利1438元”，进行列二元一次方程组，再解得，即可作答．
（2）依题意，列出一元一次方程，再解出，即可作答．
【详解】（1）解：设第一天这两种蛋糕的销量分别是x份，y份，由题意得
解得；
∴第一天这两种蛋糕的销量分别是97份，39份，
（2）解：由题意得, ，
∴
解得．
25．【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）若，即，则，设点，由翻折得：，即，即，利用消元思想求解即可．
（3）分点P在上方与下方两种情况，添加辅助线，构造全等三角形，利用全等三角形的性质得出相关线段的长度，即可求解．
【详解】（1）解：将、代入直线得：
，
解得： ，
∴；
（2）解：若，即，则，
设点，
由翻折得：，
即，
即，
即，
上述两式相减并整理得：，
则，
解得：，
则，
即点；
（3）解：分两种情况：
若点P在直线的上方，令，轴于点M，如图，
，，
是等腰直角三角形，，
，
又，
，
又，，
，
，，
，
，
设直线的函数解析式为，
将和代入，得：，
解得，
直线的函数解析式为；
同理，若点P在直线的下方，构造，如图，
可得，直线的函数解析式为．
综上可知，直线的函数解析式为或．
26．【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据题意证明，根据，推出，求出，的长度，已知，再根据三角形的面积公式，即可解题．
（2）根据题意延长到点F，使，连接，在上截取，连接，证明，由等边三角形的判定，证明是等边三角形，得出，再根据已知，证明，得到，即可解题．
（3）根据题意，分析点的运动轨迹是垂直于的直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小，最小值为．求出的值，即可解题．
【详解】（1）解： ，
，
又，
，
在中，，
，
，
又，
，
，
．
（2）证明：延长到点F，使，连接，在上截取，连接，如图所示：
G为的中点，
，
在和中，
，
，，
，
即，
又，，
是等边三角形，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
．
（3）解：过A作于H，，且，连接，
则，
∴，，
又，，
∴，
∴，
∴点的运动轨迹是垂直于的直线，直线分别交、的延长线于点、，作点关于的对称点，过作直线的垂线分别交于点P、交直线于点，此时的值最小，最小值为．过点B作的垂线，垂足为点I，
则，
是等边三角形，，
，，
∴
由旋转性质可得，当点D与C重合时，K与重合，则，，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，，，
∴，，
， ，
，
，
由对称性质得，，
∴，
∴是等边三角形，
，，则，
，
的最小值是．年级
平均数
众数
中位数
优秀率
八年级
71
a
70
30%
九年级
71
80
b