重庆市第七中学校2025~2026学年八年级上册第二次月考数学试题【附解析】

这是一份重庆市第七中学校2025~2026学年八年级上册第二次月考数学试题【附解析】，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列四个实数、π、、中，无理数的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，，若，，则等于（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
4．估计的值在（ ）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
5．如图是我市某景点6月份内日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天中，气温出现的频率是（ ）

A．3B．0.5C．0.4D．0.3
6．已知，求的值是（ ）
A．9B．8C．6D．5
7．在勾股定理的证明中，小云用与全等的三角形拼出了如图所示的弦图，若正方形的面积为16，正方形的面积为4，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．5
9．如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（ ）

A．B．C．D．
10．若，其中均为自然数，为正整数，满足，且对于任意的正整数，均有，则下列说法正确的个数是（ ）
①若，则n的最小值与最大值的和为6；
②若不仅为自然数，也可以为负整数，当时， ，当为奇数时， 当为偶数时，，则；
③若M满足，则这样的整式有个．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．用科学记数法表示： ．
12．因式分解： ．
13．如图，，点B和点D，点C和点E是对应顶点，点D在边上，且，，则的度数是 ．
14．如图，平分，于D，连接．若的面积为8，则的面积为 ．
15．已知关于的分式方程的解为正数，关于的不等式有且仅有3个整数解，则符合条件的整数的个数为 ．
16．一个各位数字都不为且互不相等的四位自然数，若千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数为“均衡数”，最大的均衡数是 ；将“均衡数”的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数n．记，，，均为整数，则满足条件的m的最大值为 ．
三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）．
18．（1）计算：．
（2）解方程：．
19．高新区某中学为推动“学校安全教育”校园主题活动，计划开展五项活动：A：安全知识竞赛，B：安全主题演讲，C：应急技能比拼，D：安全情景模拟，E：安全主题创作，校团委为了调查学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生调查，并将调查结果绘制成图1，图2两幅不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
根据以上信息解答下列问题：
（1）本次共调查了________名学生；将图2的条形统计图补充完整；
（2）在图1中项目D所在扇形的圆心角等于________；
（3）若该校共有2400名学生参加本次活动，请通过计算估计学生喜爱活动“C：应急技能比拼”的人数．
20．如图，在中，．
（1）基本作图：作的角平分线交于点，在上取一点，使，连接．（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作的图形中，求证：．请完成下面的证明过程：
证明：平分，
________，
在与中
，________，
，且
________，
________，
21．先化简，再求值：，其中．
22．端午节食粽是我国的传统习俗，新世纪超市根据顾客口味，上架了蜜枣粽和咸肉粽两种类型的粽子．已知顾客购买5个蜜枣粽和6个咸肉粽需要122元，购买10个蜜枣粽和15个咸肉粽需要280元．
（1）求超市蜜枣粽和咸肉粽的单价分别是多少元？
（2）为了吸引顾客，超市对两种粽子降价销售．降价后，咸肉粽单价是蜜枣粽单价的1.25倍，小北花了120元购买蜜枣粽，180元购买咸肉粽，并且购买的蜜枣粽比咸肉粽少3个，则蜜枣粽的单价降低了多少元？
23．如图，在四边形中，，为四边形的对角线，已知，，，．
（1）请判断的形状，并说明理由；
（2）过点D作于点E，求线段的长．
24．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：．
例如：求代数式的最小值．
原式．
，
当时，有最小值是2．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用配方法）：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知，，是的三边长，且满足，求的周长．
25．（一）猜测探究
在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________；
（2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
（二）拓展应用
如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长．
答案
1．【正确答案】B
【分析】由于开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，根据无理数定义来即可判定选择项．
【详解】解：=3
在四个实数、π、、中，无理数是π、，共2个，
故选B．
2．【正确答案】B
【分析】本题主要考查的是因式分解的概念，利用因式分解的概念（把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解）进行判定是解题的关键．根据因式分解的概念，逐项判断，即可解题．
【详解】解：A、是多项式的乘法运算，不是因式分解，不符合题意；
B、符合因式分解的定义，符合题意；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、是多项式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故选B．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选B．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查无理数的估算，根据无理数的估算方法得到即可求解．
【详解】解：∵，
∴，则，
故选C．
5．【正确答案】D
【分析】通过折线统计图和频率的知识求解．
【详解】解：由图知10天的气温按从小到大排列为：22.3，24，24，26，26，26，26.5，28，30，30，
26有3个，
因而26出现的频率是：=0.3.
故选D.
6．【正确答案】A
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方法则和同底数幂的除法法则，进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴；
故选A．
7．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质、二元一次方程组的应用等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
设，根据正方形的性质得到，然后根据勾股定理列方程组求得a、b，最后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：设，
∵正方形的面积为16，正方形的面积为4，
∴，
由题意可得：，解得：，
∴．
故选C．
8．【正确答案】D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选D．
9．【正确答案】D
【分析】根据看垂直平分线的性质可得，和可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可．
【详解】∵，，，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
故选D．
10．【正确答案】D
【分析】根据多项式的定义，代数式求值，整式的规律探索，不等式的定义，熟练掌握题中多项式的关键信息是解题的关键．根据定义分别得出最小值与最大值即可判断①；分别令，，即可求出和，即可判断②；利用最小为，此时最小为，最小为，结合，得最小为，即，又（因为系数 ），得，则，，，再分别讨论和即可．
【详解】解：要使最小，
则，此时多项式为；
要使最大，
∵对于任意的正整数，均有，
∴相邻系数的差取最小值，
∵，
从开始，依次取，，，，，
∴此时多项式为，；
∴的最小值与最大值的和为，
故说法①正确；
对于，
首先，令，将其代入多项式中，
得，
∴．
∴ ．
令，代入多项式中，
得到 ．
当为奇数时，，
∴，
∴；
当为偶数时，，
∴，
∴ ．
最后，计算的值为，故说法②正确；
∵最小为，对于任意的正整数n，均有，
∴最小为，最小为，
∵，
∴最小为，即，
∵（因为系数 ），
∴，
∴，，，
则当时，
∵，，
∴，
共个；
当时，
∵，，
∴，
共个；
当时，
∵，，
∴，
共个；
当时，
∵，，
∴，
共个；
∴共有（个），
故命题③正确．
故选D．
11．【正确答案】
【分析】为负整数，其绝对值等于原数中第一个非零数字是小数点后第几位；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．
本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
【详解】解：∵.
12．【正确答案】
【分析】本题考查的是因式分解，掌握提公因式法与公式法的综合运用是解题的关键．先提取公因式，再利用平方差公式对余下的多项式继续分解．
【详解】解：．
13．【正确答案】/40度
【分析】本题考查全等三角形的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形中的等量关系是解题的关键．
结合，可知，且，由等边对等角可得，最后计算出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴.
14．【正确答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．
延长交于点，证明，得到，进而得到．
【详解】解：延长交于点，
∵平分，于D，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
15．【正确答案】1/1个
【分析】根据分式方程的解、增根的定义确定m的取值范围，再根据一元一次不等式组的整数解的个数进一步确定m的取值范围，进而确定整数m的值即可．本题考查解一元一次不等式组，分式方程的解，掌握一元一次不等式组的解法，分式方程的解法，理解整数解的定义是正确解答的关键．
【详解】解：解分式方程，去分母，得：，
解得，
方程的解为正数，
∴
解得：，
当时是方程的增根，
，
解得，
且；
解不等式组，由，
解得，
由，
解得，
此不等式组有且仅有3个整数解，
，
，
综上，；
所有符合条件的整数的值为5，共1个
16．【正确答案】；
【分析】本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，二元一次方程的解，整数被某数整除时求字母的值，难度比较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键．设的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，根据题意，表示出和，再表示出和，根据和均为整数来确定，，，的值．
【详解】解：设的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，则有，且各位数字都不为0且互不相等，
∴当这个均衡数最大时，，则，
∴最大的均衡数为；
∵的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数，
∴，，
，
不妨设，
则，
当，即时，为整数；
，
当被整除时为整数，可得最大等于，
∵各位数字都不为0且互不相等，且，
∴排除，为和，只能是和，
再根据均衡数的定义，求得，，
∴满足条件的的最大值是.
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负指数次幂、幂的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
（1）先用零次幂、负整数次幂、立方根化简，然后再计算加减即可；
（2）先用同底数幂乘法、同底数幂除法、积的乘方、幂的乘方化简，然后再合并同类项即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
18．【正确答案】（1）（2）
【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项，即可作答．
（2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答．
【详解】解：（1）
；
解：（2），
，
，
则，
∴，
解得，
经检验：当时，则，
故是原分式方程的解．
19．【正确答案】（1）200，作图见详解
（2）
（3）480人
【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的结合，圆心角的计算及用样本估计总体．
（1）根据项目A的人数及所占百分比即可求得总人数，再用总人数减去A，B，D，E的人数即为项目C的人数并补全条形图即可；
（2）用项目D的人数除以总人数再乘即可得出答案；
（3）根据项目C调查的人数除以总人数得出频率不变，再用该校总人数乘频率即可得出项目C在该校的人数．
【详解】（1）解：由题意知，项目A有50人喜欢，且占比为，
∴调查的总人数为（人）.
∴项目C的人数为：（人），
补充的条形统计图如下：
（2）解：项目D所在扇形的圆心角为：．
（3）解：由（1）知，项目C调查的人数为40人，频率为，
∴该校学生喜爱活动C的人数为：（人）．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）；；；
【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、等角对等边．
（1）根据角平分线的作图方法作图可得的角平分线，以点B为圆心，的长为半径画弧，交于点E，连接即可；
（2）根据角平分线的定义、全等三角形的判定与性质，结合题目上下步骤的逻辑关系填空即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）证明：平分，
，
在与中
，
，
，，
，且，
，
，
，
，
，
.
21．【正确答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后将代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
22．【正确答案】（1）蜜枣粽单价为10元，咸肉粽单价为12元
（2）蜜枣粽的单价降低了2元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程（组）是解题的关键．
（1）设超市蜜枣粽单价为x元，咸肉粽的单价是y元，根据题意得，然后解方程组即可；
（2）设降价后蜜枣粽的单价为a元，则咸肉粽单价是元，根据题意得，然后解方程并检验即可．
【详解】（1）解：设超市蜜枣粽单价为x元，咸肉粽的单价是y元，
根据题意得，，
解得：，
答：超市蜜枣粽单价为10元，咸肉粽的单价是12元；
（2）解：设降价后蜜枣粽的单价为a元，则咸肉粽单价是元，
根据题意得，，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴蜜枣粽的单价降低了元，
答：蜜枣粽的单价降低了2元．
23．【正确答案】（1）是直角三角形．理由见详解
（2）线段的长为6
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是利用勾股定理求出对角线长度，再结合逆定理判断三角形形状；利用面积法与勾股定理求线段长度．
（1）先在中用勾股定理求的长；再计算与的关系，判断的形状；
（2）利用的面积法求，再结合勾股定理求的长．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴
又∵，，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
（2）∵是直角三角形，，，
∴，
即，
化简得，即，
∴
在中，，
∴．
答：线段的长为6．
24．【正确答案】（1）
（2）
（3）12
【分析】本题主要考查了因式分解的应用、乘法公式，熟练掌握利用配方法分解因式是解题关键．
（1）先原式配方为，再利用完全平方公式可得，然后利用平方差公式分解因式即可得；
（2）利用配方法和完全平方公式可得，再求出，由此即可得；
（3）先利用配方法和完全平方公式可得，则可得，求出的值，由此即可得．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，是的三边长，
∴的周长为．
25．【正确答案】（一）猜测探究：（1）；（2）不成立，见详解；
（二）拓展应用：10
【分析】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
（一）猜测探究：
（1）结合旋转的性质可得是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论；
（2）结合旋转的性质可得是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明，可得结论；
（二）拓展应用：
在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质可得，，进而证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得，然后由求解即可．
【详解】解：（一）猜测探究：
（1）∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）不成立，应为，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
即；
（二）拓展应用：
在上取一点，使，
由题意得，，，
∴，
∴，，
由题意得，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
即线段的长为10．