重庆市开州区德阳初中教育集团2025~2026学年上册第三次学业水平测试九年级数学试题【附解析】

这是一份重庆市开州区德阳初中教育集团2025~2026学年上册第三次学业水平测试九年级数学试题【附解析】，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
3．若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）
A．201B．202C．203D．205
4．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．任意买一张电影票，座位号是偶数
B．13个人中至少有2人的出生月份相同
C．掷一枚骰子，向上一面的点数是7
D．抛掷一枚硬币，正面朝上
6．如图，点在中，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．若，则旋转角的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆160人次，第三个月进馆450人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在正方形中，为边上靠近点的三等分点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，使得，连接和，令，则为（ ）
A．B．C．D．
10．已知均为正数，为正整数．规定，下列说法：①若，则关于的方程有两个不相同的实数根；②若均为从小到大排列的连续正整数，且，则；③若，且，则中，小于2的数最多只有两个．其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是
12．某校运动会有米、跳远、实心球、跳高四个运动项目，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项运动的概率是
13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为
14．在矩形中，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，则图中阴影部分的面积为
15．如图，是的外接圆，，是的切线，，点E是弧的中点，连接，，若，，则 ，
16．如果一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差的绝对值为1，那么称为“明德数”，那么最小的“明德数”是 ；若把的千位数字的2倍与个位数字的和记为，百位数字的2倍与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称为“整明德数”．若（其中，，，且、y均为整数，M是“整明德数”，则满足条件的的最大值与最小值的和为 ．
三、解答题
17．解答下列各题：
（1）解方程：．
（2）计算：．
18．四边形是菱形，连接．用尺规过点作的垂线，交于点，延长交直线于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）；若试探究四边形的形状，并按下列思路完成填空．
证明：四边形是菱形，
，
①___________，
，
是等边三角形．
②___________．
又，
③___________．（三线合一）
在和中，
四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
．
平行四边形是菱形．（邻边相等的平行四边形是菱形）
19．今年12月学校组织学生进行安全教育竞赛，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：；；；），下面给出了部分信息：
八年级20名学生竞答成绩在B组中的数据是：81，85，85，85，85，86，88，89．
九年级20名学生竞答成绩是：65，67，72，79，83，85，87，87，88，89，89，89，89，90，91，94，97，99，100，100．
八年级所抽取学生竞答成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中___________，___________，___________；
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生安全教育竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级有学生600人，九年级有学生700人，请估计该校八、九年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生人数共是多少？
20．如图，为的直径，点在上，，， 是的切线且，交的延长线于点
（1）求的半径．
（2）求的长．
21．今年巫山文旅推出爬龙脊赏红叶活动，开州区徒步协会组织前往巫山龙脊山徒步．巫山文旅以每个30元的价格购进该款纪念币，以每个58元的价格出售．经统计，9月份的销售量为400件，11月份的销售量为625件．
（1）求该款纪念币9月份到11月份销售量的月平均增长率？
（2）经市场预测，12月份的销售量将与11月份持平，现商店为了增加销量，采用降价促销方式，调查发现，该纪念币每降价1元，月销售量就会增加25件．当该纪念币售价为多少元时，月销售利润达17500元？
22．如图1，在矩形中，，点以每秒1个单位的速度从点出发，沿运动到点后停止．连接，设点的运动时间为的面积为．
（1）直接写出关于的函数关系式，并注明自变量的取值范围：
（2）在图2中画出（1）中函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质；
（3）若直线与（2）中的函数图象有两个交点，直接写出的取值范围．
23．小陶和小乐计划周末去体育馆进行体能训练．两人约定同时从超市出发，从不同的道路到体育馆点，点在点的正东方向，点在点的西北方向，点在点的正西方向且在点的北偏西方向．米，米．（参考数据：）
（1）求的长度；（结果保留根号）
（2）小陶从出发沿方向慢跑，小陶速度均为90米每分，小乐也从出发沿方向慢跑．小乐速度均为80米每分，请计算说明两人谁先到达点．（结果精确到）
24．抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图1，点P是直线下方抛物线上的一个动点，轴交于点E，轴交y轴于点F；点M为x轴上的一个动点，连接，当最大时．求点P的坐标及的最小值；
（3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线沿射线的方向平移3个单位得到新抛物线，点Q为点P平移后的对应点，连接，，点M为抛物线上的一个动点，当时，直接写出符合条件的所有M点的坐标．
25．在中，，，绕点逆时针旋转角度得到．
（1）如图1，若，连接交于点，若，求的长；
（2）如图2，若，平分交于点，连接，过点作，在射线上取点使得，连接，请用等式表示线段、、之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若，点是直线上一动点，将绕点顺时针旋转得到，连接、，当取得最小值时，点是直线上一动点将沿翻折得到，连接、，当同时取得最小值时，请直接写出的面积．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题考查轴对称图形与中心对称图形的概念辨析，解决本题的关键在于准确理解并区分两种图形的概念．
根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形和中心对称图形的定义；中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；逐个选项分析即可．
【详解】解：选项A：既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
选项B：既是轴对称图形，也是中心对称图形；
选项C：是轴对称图形，不是中心对称图形；
选项D：不是轴对称图形，是中心对称图形．
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），判断各选项是否符合.
【详解】选项A：含两个未知数和，故不符合题意；
选项B：含两个未知数和，故不符合题意；
选项C：分母含未知数，不是整式方程，故不符合题意；
选项D：只含未知数，最高次数为，且为整式方程，符合题意．
故选D．
3．【正确答案】D
【分析】该题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用方程根的定义，将所求表达式变形后代入求值．
【详解】解：∵a是方程的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选D．
4．【正确答案】A
【分析】本题考查了二次函数的对称轴，属于基础题，熟练掌握二次函数对称轴的公式是解题的关键．根据二次函数对称轴的公式可直接求解出结果．
【详解】解：A、对称轴；
B、对称轴；
C、对称轴；
D、对称轴．
∴只有选项A的对称轴为．
故选A．
5．【正确答案】B
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A、任意买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，故A不符合题意；
B、13个人中至少有2人的出生月份相同是必然事件，故B符合题意；
C、掷一枚骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故C不符合题意；
D、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故D不符合题意；
故选B．
6．【正确答案】C
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质和三角形内角和定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半；等腰三角形中，等边对等角；三角形内角和等于，熟练掌握以上性质和定理是解题的关键．
由圆周角定理得，由得，最后根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选C．
7．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．根据旋转的性质可得，再由等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：由旋转的性质得：，
∴，
∴．
故选D
8．【正确答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设进馆人次的月增长率为，根据进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆160人次，第三个月进馆450人次，列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设进馆人次的月增长率为，
由题意得，．
故选A．
9．【正确答案】B
【分析】本题考查了正方形的性质，图形旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理解三角形，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，解决本题的关键是求解出点H为的中点，进而得到为等腰三角形．
作辅助线，延长交于点H，连接，先使用边角边的判定方法证明与全等，即可得，，再证明与全等，再证明为等腰三角形，再结合三角形内角和为即可求解度数．
【详解】解：延长交于点H，连接，如图，
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，使得，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵点为边上靠近点的三等分点，
设，，
则，，
∴，
在中，，
即，
整理可得，，
∴，
∴点H为中点，
∴，
即为等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
在中，
则为
故选B．
10．【正确答案】D
【分析】①根据题意求出关于的方程，利用判别式确定根的情况即可；②根据题意可知，，⋯，，则，再计算即可；③利用反证法推理即可．本题考查判别式，数字的变化规律，反证法的应用，熟练掌握一元二次方程判别式与根的关系，反证法的定义是解题的关键．
【详解】解：①当时，，
∴，
∵，
∴关于的方程有两个不相同的实数根；
故①符合题意；
②均为从小到大排列的连续正整数，且，
∴，
∴
，
故②符合题意；
③假设中，小于2的数至少有三个，不妨设，，，，，⋯，，
∴，，，，⋯，，
∴，
这与矛盾，
∴中，小于2的数最多只有两个，
故③符合题意．
故选D．
11．【正确答案】
【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是．
12．【正确答案】
【分析】本题考查概率的计算，通过列举法分析所有可能结果是解题关键．
列出所有可能的选择结果，找出“选择同一项目”的结果数，代入概率公式计算．
【详解】解：如图，为所有可能的选择结果．
根据上表由种不同的情况，甲、乙选择同一种项目的情况为种，
他们选择同一项目的概率为：．
13．【正确答案】，
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，涉及一元二次方程与二次函数的关系．先求出抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性可知，关于直线的对称点为，因此一元二次方程的根为1与；
【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为，
∴关于直线的对称点为，
一元二次方程的根为与；
即，．
14．【正确答案】
【分析】本题考查扇形的面积，矩形的性质，锐角三角函数的应用等知识，解题的关键是证明．证明，再利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
.
15．【正确答案】10；
【分析】连接，与交于点G，过点D作交延长线于点F，连接，根据垂径定理得出，通过勾股定理求出的值，设的半径为r，则，利用三角形中位线定理得出的表达式，进而利用勾股定理列出方程求解r的值，从而得出的值；根据已知条件证明出，利用相似三角形对应边成比例的性质得出和的值，再证明得出和的值，最后利用勾股定理求出的值．
【详解】解：如图，连接，与交于点G，过点D作交延长线于点F，连接，
∵点E为中点，
∴由垂径定理可知，，
∴，
在中，，
由勾股定理得，，
设的半径为r，则，
∵，O为中点，G为中点，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，解得，
∴，，
∵是切线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
在中，.
16．【正确答案】1182；10789
【分析】本题主要考查整式的加减运算、分式的值及消元思想，熟练掌握整式的加减运算、分式的值及消元思想是解题的关键；设“明德数”的千位数字是e，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，由题意得，则可得最小“明德数”；由可知数M的千位数字是，百位数字是n，十位数字是x，个位数字是y，然后可得，进而分类进行求解即可．
【详解】解：设“明德数”的千位数字是e，百位数字是b，十位数字是c，个位数字是d，由题意得：
，
要使这个“明德数”为最小，则，
∴最小的“明德数”是1182；
∴，
∴，
∵
∴数M的千位数字是，百位数字是n，十位数字是x，个位数字是y，
∴，，
∴或，
当时，则，
∵x、y、m、n均为整数，且M是“明德整数”，，，，，
∴当或或或时，均符合题意；
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，则，
同理可得：当时，；
当时，；
当是，；
当时，；
当时，；
综上所述：满足条件的M的最大值为7627，最小值为3162，
∴的最大值与最小值的和为：．
17．【正确答案】（1）
（2）
【分析】本题主要考查了解一元二次方程和分式的运算，熟练掌握配方法和因式分解的方法是解本题的关键．
（1）对一元二次方程进行配方，求解即可；
（2）根据公式法分解因式化简后进行运算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
．
（2），
，
，
，
．
18．【正确答案】图形见详解；；；；
【分析】本题主要考查了垂线的画法，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先根据过已知点作已知直线的垂线的方法画出图形；再证明，可得，即可解答．
【详解】解：如图，即为所求；
证明：四边形是菱形，
，
，
，
是等边三角形．
．
又，
．（三线合一）
在和中，
四边形是平行四边形．（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
．
平行四边形是菱形．（邻边相等的平行四边形是菱形）
19．【正确答案】（1）87，89，15
（2）九年级学生安全教育竞赛的成绩较好，理由见详解
（3）485人
【分析】本题考查了众数、中位数的计算，统计量的意义及用样本估计总体．
（1）根据众数、中位数的定义及扇形统计图的相关知识来求解即可；
（2）通过比较两个年级成绩的中位数来判断哪个年级成绩更好；
（3）利用样本中不低于90分的人数比例来估计总体中优秀的人数即可．
【详解】（1）解：在八年级所抽取学生中，成绩中位数为第10、11位学生成绩之和的平均数，
∴八年级A组成绩人数为：（人），
∴第10、11位学生成绩分别为：88分、86分，
∴，
在九年级学生成绩中，出现成绩次数最多的是89分，共4次，
∴，
在八年级所抽取学生中，B组成绩人数占比为：，
∴C组成绩人数占比为：，即.
（2）解：九年级学生安全教育竞赛的成绩较好，
理由：因为两个年级的平均数相同，但九年级学生的中位数大于八年级，所以九年级学生的安全教育竞赛成绩较好．
（3）解：在九年级中成绩不低于90分的人数占比为：，
∴该校九年级成绩不低于90分的学生人数为：（人），
该校八年级成绩不低于90分的学生人数为：（人），
∴总人数为：（人）．
20．【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）过点作于点F．则，连接，证明四边形是正方形，则，求出，即可得到；
（2）求出，证明，根据相似的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：过点作于点F．则，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴
即的半径为；
（2）∵四边形是正方形，
∴,
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
∴
解得
21．【正确答案】（1）
（2）55元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．
（1）该款纪念币9月份到11月份销售量的月平均增长率为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设该款纪念币售价为元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：该款纪念币9月份到11月份销售量的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）
答：该款纪念币9月份到11月份销售量的月平均增长率为．
（2）解：设该款纪念币售价为元，则每件的销售利润为元，
根据题意得：，
解得：，
∵采用降价促销方式，
（舍去），
故，
答：该款纪念币售价为55元时，月销售利润达17500元．
22．【正确答案】（1）
（2）见详解；当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小
（3）
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．
（1）分两段分别写出函数关系式及其自变量取值范围即可；
（2）用两点法画出函数图象，写出性质即可；
（3）根据图象进行解答即可．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
∴关于的函数关系式为；
（2）解：当时，；
当时，；
当时，；
∴函数图象过点，
如图，即为所求，

当时，随着x的增大而增大；当时，随着x的增大而减小；
（3）解：如图，当直线过点时，；
当直线过点时，；
∴当，直线与（2）中的函数图象有两个交点．
23．【正确答案】（1）
（2）小陶先到达点
【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形和矩形，利用三角函数求出相关线段长度，进而求得．先作、，利用和求，再结合矩形性质得，最后在中用三角函数求．
（2）分别计算小陶和小乐到达点的路程与时间，路程依据图形线段关系确定，时间路程速度，比较时间判断谁先到达即可．
本题主要考查了解直角三角形的实际应用（方向角问题）、矩形的判定与性质，熟练掌握三角函数的定义、矩形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：过点作交延长线于，过点作于．
在中，米，，，
米．
由题意可得，，
四边形中，、，与方向关系（在正东、在正西），
∴，
四边形是矩形，
米．
在中，，即．
∴米；
（2）解：∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由（）得四边形是矩形，
∴，
∵在中，，即．
∴，
∴，
∴小陶所用时间为（分钟），
小乐所用时间为（分钟），，
∴小陶先到达点．
24．【正确答案】（1）
（2），
（3）或
【分析】（1）将已知点代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C坐标，设点，利用待定系数法求出直线的解析式，再根据已知条件设，将通过含t的关系式表示出来，此时为开口向下的二次函数，有最大值，求得t值，再将t值代入点P坐标即可得出，延长交x轴于点H，作直线绕点A逆时针旋转的直线l，过点P作，交x轴于点M，当点Q，M，P三点共线时，的值最小，利用解含30°的特殊直角三角形的性质及勾股定理即可求得最小值；
（3）先求出平移后的抛物线解析式，再分析题中已知条件，将角度进行转化，此时分情况讨论：①当点M在下方时：过点A作的平行线，交于点，设直线表达式，得到其k值，再设直线表达式为，求出后联立即可得到点的坐标；②当点M在上方时：过点作，证明出，设，利用相似三角形对应边成比例关系列出含m的方程并求解，随即得出点的坐标．
【详解】（1）解：∵点A，点B在抛物线上，
∴，解得，
∴．
（2）解：当时，，
∴点，
设点，直线的解析式为，
∵直线经过点，，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵轴交于点E，
∴，
∴，
∵轴交y轴于点F，
∴，
∴，
当时，有最大值，
∴点，此时点C与点F重合，
如图，延长交x轴于点H，作直线绕点A逆时针旋转的直线l，过点P作，交x轴于点M，
在中，，
∴，
∴当点Q，M，P三点共线时，的值最小，，
∵轴，
∴，点，
在中，，则，
设，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，
解得，，
∵点M在点H左侧，
∴，即，，
∴，则，
∴．
（3）解：如图，将抛物线沿着射线方向平移3个单位长度，相当于向下平移个单位，向左平移个单位，
∴新抛物线表达式为，
∵，
∴，
∵，，
∴在中，，则，
∵，
∴，
∵点Q为点P平移后的对应点，
∴在点P平移的过程中，与平移的方向一致，且平移单位均为3，
∴，
∴，
∴，
∴，
①当点M在下方时：
过点A作的平行线，交于点，
设直线的解析式为，将点P，点O代入得，
，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴，
设直线表达式为，
代入点A得，，解得，
∴直线表达式为，
联立得，，
解得，（舍去），
∴点坐标为；
②当点M在上方时：
过点作，
∵，，
∴，
∴，
设，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上所述，点M的坐标为或．
25．【正确答案】（1）
（2），见详解
（3）
【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查旋转的性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，轴对称与最小值，勾股定理，含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
（1）根据旋转的性质得出相等边，求出相关角的度数，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解；
（2）连接，与交于点，根据旋转表示出相关角的度数，证明，得出相等角和边，利用角的和差得出和是等腰直角三角形，然后利用勾股定理得出边的关系，即可求解；
（3）由，得点、、、四点共圆，则，可得点在过点且垂直于的直线上，过点作的垂线，当时，最小，由折叠得，，由，得当点在上时，最小，即可求出的面积．
【详解】（1）解：由旋转的性质得：，，
，．
．
，．
在中，由勾股定理得：，
．
（负值舍去）．
．
（2）．
证明：如图2，连接，与交于点，
由旋转的性质得：，，
，．
平分，
．
在和中，
，
．
，
，
，
，．
．
．
是等腰直角三角形．
由勾股定理得：，
整理得：．
，
．
．
，，，
，，三点共线，且是等腰三角形．
．
∴
．
（3），，
．
，，
．
．
∴点、、、四点共圆．
．
∴点在过点且垂直于的直线上．
过点作的垂线，当时，最小．
由折叠得：，
，
∴当点在上时，最小，如图所示．
，，
．
，
．
，,
．
，
为等腰直角三角形．
．
．
．
年级
平均数
中位数
众数
八年级
87
a
85
九年级
87
88
b