北京市石景山区2025~2026学年八年级上册期末数学试题【附解析】

这是一份北京市石景山区2025~2026学年八年级上册期末数学试题【附解析】，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列汽车标志图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．7的算术平方根是（ ）
A．B．7C．D．
3．在中，作出边上的高，正确的是（）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．“掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上”是不可能事件
B．“今天是周一，明天是周三”是随机事件
C．“将三个球放进两个盒子里，至少有一个盒子中有球”是必然事件
D．“若x是任意实数，则”是随机事件
6．已知（其中，且a，b都不为0），下列与M的值相等的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，点在上，，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在等腰中，．以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点．分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在右侧交于点，作直线交于点．若，则的长为（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10．有9张卡片，上面分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9．抽取一张，该卡片上的数是3的倍数的可能性大小为 ．
11．化简的结果是 ．
12．如图，在和中，，，在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件使得，这个条件可以是 （写出一个即可）．
13．如图，在等边中，D为的中点，E为延长线上一点，且，则的大小为 ．
14．已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为 ．
15．如图，在中，，点，，在边，，上，沿直线折叠，点落在边上的点处，连接，，恰有．则的大小为 ；若，，，则的长为 ．
16．如图，在中，，，的面积为．边的垂直平分线分别交，于点，．若为边的中点，为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．计算：．
19．计算：．
20．如图，为线段上一点，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．已知，求代数式的值．
22．解方程：．
23．已知：如图，，点在边上．
求作：点，使得射线平分，且．
作法：①作的角平分线；
②以为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接．点即为所求作的点．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形；（保留作图痕迹）
（2）判断与的位置关系，并证明．
24．2024年12月4日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，乙种春联的单价比甲种春联的单价多2元，用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同．求甲、乙两种春联的单价分别是多少元？
25．如图，在和中，，，，，．求证：．
26．小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．
下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）具体运算，发现规律．
第1个等式；
第2个等式；
第3个等式；
第4个等式；
第5个等式_________（根据规律填空）
（2）观察、归纳、得出猜想．
第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数）
（3）证明你的猜想；
（4）应用运算规律．
若（a，b均为正整数），则的值为_________．
27．在中，，．作射线，（）．点关于射线的对称点为点，连接，直线交射线于点．
（1）如图，射线位于线段左侧．
①在图中补全图形；
②直接写出的大小；
③求证：；
（2）如图2，射线位于线段右侧，直接写出线段，，之间的数量关系．
28．如图，在正方形网格中，小正方形的边长为单位1，网格线的交点为格点．直线l与水平网格线重合，点Q为网格中一点．直线l向上（）或向下（）平移个单位得到直线，点Q向右（）或向左（）平移个单位得到点，点关于直线的对称点记为，则称点是点Q的“关联点”．例如，图中点是点P的“2-关联点”．
图中A，B，C，D，E，F，，，是格点．
（1）图中，在点，，中，点_________是点A的“1-关联点”；
（2）点B是点A的“关联点”，则_________；
（3）直线上有一点T，点T的“关联点”为．若在长方形上或其内部时，m的取值范围是_________，此时点T与直线l的距离的最大值为_________．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可．
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选B．
2．【正确答案】D
【分析】本题考查了求算术平方根，根据算术平方根的计算方法计算即可得解，熟练掌握算术平方根的计算方法是解此题的关键．
【详解】解：7的算术平方根是，
故选D．
3．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了三角形高的定义，熟练掌握“从三角形的一个顶点向对边（或对边的延长线）作垂线，顶点和垂足之间的线段即为该边上的高”是解题的关键．
根据三角形高的定义，判断从顶点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上的图形．
【详解】解：A选项：所作垂线不是从点出发，故A项错误；
B选项：所作垂线是从点出发，不是从点出发，故B项错误；
C选项：所作垂线不是从点出发，故C项错误；
D选项：所作垂线是从点出发，且垂足在的延长线上，符合边上高的定义，故D项正确
故选D．
4．【正确答案】C
【分析】本题考查平方根的运算性质，包括除法、乘法、加法和完全平方公式．通过直接计算每个选项，判断其正确性．
【详解】选项A：∵，∴A错误；
选项B：∵，∴B错误；
选项C：∵，∴C正确；
选项D：∵，∴D错误；
故选C．
5．【正确答案】C
【分析】本题考查事件类型的判断，包括不可能事件、随机事件和必然事件．根据每个选项的描述，分析事件是否一定发生、可能发生或不可能发生．
【详解】解：∵ 选项A：掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生，是随机事件，不是不可能事件，∴ A错误．
∵ 选项B：今天是周一，明天必是周二，不可能是周三，是不可能事件，不是随机事件，∴ B错误．
∵ 选项C：三个球放进两个盒子，至少有一个盒子有球，是必然事件，∴ C正确．
∵ 选项D：对于任意实数x，，永不成立，是不可能事件，不是随机事件，∴ D错误．
故选C．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，通过分式的基本性质，判断各选项是否能化简为即可．
【详解】解：∵，
选项 B：，
∴选项 B 与 M 的值相等．
对于选项 A、C、D，均不可化简，与 M 的值不相等，
故选 ：B．
7．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形等边对等角的性质，并用方程思想结合三角形内角和定理建立等式是解题的关键．
通过设未知数表示各角的度数，利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形外角性质和内角和定理，建立方程求解的大小．
【详解】解：设，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得
故选．
8．【正确答案】A
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质与尺规作图，熟练掌握等腰直角三角形的边角关系以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
先根据作图得到以及垂直平分，从而推出，，；再结合等腰直角的性质得到，进而判断为等腰直角三角形，求出的长度；最后设，利用等腰直角三角形的边长关系建立方程，求解得到的长．
【详解】解：∵作图可知，，垂直平分，
∴，，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
设，
则，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，解得，
∴，
故选A．
9．【正确答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式．
根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得.
10．【正确答案】
【分析】本题主要考查了简单事件的概率计算，熟练掌握概率公式符合条件的结果数总结果数是解题的关键．
先确定总结果数和符合条件（是3的倍数）的结果数，再根据概率公式计算可能性大小．
【详解】解：∵共有9张卡片，
∴总结果数为9，
∵卡片上的数是3的倍数的有3，6，9，
∴符合条件的结果数为3，
∴该卡片上的数是3的倍数的可能性大小为.
11．【正确答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质化简即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
12．【正确答案】（答案不唯一）．
【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．题目已知两个直角三角形和中，，且斜边．根据全等三角形的判定添加一个角的条件使两三角形全等即可．
【详解】解：添加条件：，
∵在和中，
，，，
∴（）
13．【正确答案】/度
【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，等边对等角，等边三角形的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
先根据中点的意义得出，结合等边三角形的性质得出，再利用三角形外角的性质求得．
【详解】解：∵点D为的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
又是的一个外角，
∴，
∴，
∴.
14．【正确答案】
【分析】本题考查了分式无意义的条件及分式的值为零的条件，根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），分别求出和的值，再计算．
【详解】解：当时，分式无意义，则，即，解得．
当时，分式的值为0，则分子，即，解得．
所以．
15．【正确答案】；
【分析】本题主要考查了折叠的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理构造方程是解题的关键．利用等腰三角形性质（）得，由折叠性质得，．在中，故，进而推出，可得．设，则，．先求，连接，在和中，由勾股定理得和，联立方程求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵沿折叠得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
设，则，，
连接，
在中，，
在中，，
∴，
展开得，
化简得，
解得.
16．【正确答案】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质及最短路径问题，熟练掌握“利用垂直平分线的性质将线段进行转化，结合两点之间线段最短求最小值”是解题的关键．
先利用等腰三角形性质和面积公式求出的长度，再根据垂直平分线的性质将转化为，从而把的周长转化为，求出最小值．
【详解】解：连接，，
∵，为中点，
∴，
∵的面积为，，
∴，
解得，
∵为中点，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵的周长，
∵（两点之间线段最短），
∴当、、三点共线时，，
∴周长的最小值.
17．【正确答案】4
【分析】本题考查了求立方根，二次根式的化简及加减运算，依次进行化简，最后进行加减运算即可．
【详解】解：
．
18．【正确答案】
【分析】本题考查了分式的减法运算，会进行通分是解题的关键．对异分母分式先进行通分，再进行减法运算并化简即可．
【详解】解：
．
19．【正确答案】11
【分析】本题考查了二次根式的混合运算及完全平方公式，熟知运算法则和运算顺序是解题的关键．
根据运算法则和运算顺序计算即可．
【详解】解：
．
20．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）及利用全等三角形对应边相等进行线段计算是解题的关键．
（1）先由平行线性质得到一组角相等，再结合已知的边和角相等，利用判定三角形全等．
（2）由（1）的全等结论得到对应边相等，通过线段的和差关系求出的长度．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，，，
∴（）
（2）解：∵，
∴，，
∵，
∴．
21．【正确答案】
【分析】本题考查了分式的混合运算的化简求值，熟知分式的各运算法则是解题的关键．先对代数式进行化简，再根据化简结果，可以把转化为，故可求的值，问题即可解决．
【详解】解：
，
∵，
∴，即，
∴原式．
22．【正确答案】
【分析】本题考查了解分式方程，通过寻找公分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验分母是否为零，确保解的有效性即可．
【详解】解：方程两边同乘，得，
去括号，得，
整理得，
解得，
检验：当时，，，
∴原方程的解为．
23．【正确答案】（1）见详解；
（2），见详解
【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、平行线的判定，熟练掌握角平分线的尺规作图方法、等腰三角形“等边对等角”的性质及平行线的判定定理是解题的关键．
（1）按照尺规作图的基本步骤，先作的角平分线，再以点为圆心、为半径画弧，交于点，最后连接即可补全图形．
（2）先根据角平分线的定义得到；再由作图中，根据等腰三角形的性质得到；进而推出；最后根据“内错角相等，两直线平行”，得出与的位置关系．
【详解】（1）解：按尺规作图步骤：
①作的角平分线；
②以为圆心，的长为半径作弧，交于点；
③连接，得到所求图形．
（2）解：结论：，
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
24．【正确答案】甲种春联的单价为6元，乙种春联的单价为8元
【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程．
设每副甲种春联的单价是元，则每副乙种春联的单价是元，利用数量总价单价，结合用900元购进甲种春联的数量与用1200元购进乙种春联的数量相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即每副甲种春联的单价），再将其代入中，即可求出每副乙种春联的单价．
【详解】解：设每副甲种春联的单价是元，则每副乙种春联的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元）．
答：每副甲种春联的单价是6元，每副乙种春联的单价是8元．
25．【正确答案】见详解
【分析】要证明，只需证明为直角三角形且．我们通过在上截取，构造全等三角形，将转化为，再在中用勾股定理逆定理判定直角，求出的长度，最后回到验证勾股定理逆定理即可．
【详解】解：在上截取，连接，
∵，，，
∴（SAS），
∴，，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．【正确答案】（1）
（2）
（3）见详解
（4）
【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解．
【详解】（1）解.
（2）解：第n个等式为.
（3）证明：
；
（4）解：根据和，得
，
解得，
∴.
27．【正确答案】（1）①见详解；②见详解
（2），理由见详解
【分析】（1）①根据“点关于射线的对称点为点”，过作的垂线并延长，使垂线段到的距离等于到的距离，得到点；再连接、，补全图形．
②连接，利用轴对称性质得，，推出；在等腰中求出−；再在中用内角和定理求．
③在上截取，连接；证明（），得到，；推出，为等腰直角三角形，得；从而得到．
（2）连接，同理可得，−；在的延长线上截取，证明（），得到，，；从而得到．
【详解】（1）解：①补全图形如下：
②连接，
∵点与点关于对称，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
在中，
，
③在上截取，连接，
∵，−，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
连接，在射线上截取，则，连接，
∵点与点关于对称
∴，，
∴−−，
∴，
，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴。
28．【正确答案】（1）
（2）
（3）；
【分析】本题主要考查平移与对称，掌握平移及对称图形的特点是解题的关键．
（1）根据“关联点”的定义作图即可求解；
（2）根据“关联点”的特征可知，需向左平移2个单位，再检验即可；
（3）分和进行讨论，当时，寻找两临界点，为的“关联点”和为的“关联点”，分别作图得到的值及点T与直线l的距离即可求解．
【详解】（1）根据题意，得到点A的“关联点”，
如图：先将直线向上平移个单位得到，点向右平移一个单位得到，
再关于直线对称，图中与关于直线对称，
（2）点B是点A的“关联点”，
则直线向上（）或向下（）平移个单位得到直线，
点向右（）或向左（）平移个单位得到点，，关于对称，
需纵向位置相同，
需向左平移2个单位，
，
时，如图，直线向下平移2个单位得到直线，
点向左平移2个单位得到点，此时关于直线对称，符合题意，
（3）根据题意，作直线的“关联点”
直线向上（）或向下（）平移个单位得到直线，
直线向右（）或向左（）平移个单位得到直线，
直线关于直线对称得到直线，只需直线与长方形有交点即符合题意，
如图，时，直线与长方形无交点，不符合题意，
时，如图，当为的“关联点”时，
设与直线、、分别交于点，
，
又关于对称，
，即，
解得，此时点T与直线l的距离为；
当为的“关联点”时，
由图可知，向上平移2个单位得到，点向右平移2个单位再关于对称后即为点，
所以此时，与重合，点T与直线l的距离为；
综上，m的取值范围是，点T与直线l的距离的最大值为．
x的值
1
分式的值
不存在
0