北京市房山区2025~2026学年八年级上册期末数学试题【附解析】

这是一份北京市房山区2025~2026学年八年级上册期末数学试题【附解析】，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．为弘扬体育精神，学校组织了“运动图标赏析”活动．下列运动图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如果分式的值为0，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
3．下列各组二次根式是同类二次根式的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
4．在六张卡片上分别写有0，，，，，（每相邻两个1之间多一个0），这六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的可能性大小是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，点在边上，点在边上，连接，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
6．如图，用三角尺作的边上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．下面是“作的平分线”的尺规作图方法：
（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点C，D；
（2）分别以C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；
（3）作射线．

上述方法通过判定，得到，其中判定的依据是（ ）
A．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
D．三边分别相等的两个三角形全等
8．如图，在中，，，于点，平分交于点，交于点，过点作于点，交于点．给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①②③④
二、填空题
9．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．写出一个比2大且比3小的无理数： ．
11．某邮政局推出新款纪念封，所有纪念封均采用形状、大小、质地都相同的卡片，背面分别印有“珍爱”、“捍卫”、“和平”的字样，正面完全相同．现将如下4张纪念封洗匀后正面向上放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的纪念封背面恰好印有“和平”字样的可能性大小是 ．
12．如图，线段，交于点，连接，，，添加一个条件证明，这个条件可以是 ．（写出一个即可）

13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为 ．
14．如图，是的角平分线，，垂足为．若，则的面积是 ．
15．如图，在中，，，于点，点和点分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ．
16．如图，在直线上依次摆着7个正方形，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是，，，．
（1）计算： ；
（2）按此规律继续摆放正方形，倾斜放置的正方形面积依次增加1，则 ．
三、解答题
17．计算：．
18．计算：．
19．解方程：．
20．先化简，再求值：已知，求代数式的值．
21．在不透明口袋里有除颜色外其它都相同的4个红球和3个白球．
（1）先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A．
①如果事件A是必然事件，则m的值为_________．
②如果事件A是随机事件，则m的值为_________．
（2）先从袋子中取出n个红球，再放入除颜色外其它都相同的n＋3个黑球并摇匀，若随机摸出一个球是红球的可能性大小是，求n的值．
22．如图，在中．．求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
（1）使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接．
∵垂直平分，
∴________（________）（填推理依据）．
∴．
∵，
∴，．
∴________．
∴．
∴．
∴点为线段的中点．
23．如图，已知点，，，在同一条直线上，，，．
求证：．
24．下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明．
在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，，．求证：．
方法一证明：如图，延长到点，使，连接．
方法二证明：如图，在上截取，连接．
25．《千里江山图》是北宋王希孟创作的绢本设色画，现收藏于北京故宫博物院．如图是小山同学所画的一幅长方形的局部临摹作品，装裱前作品长为，宽为，将其四周装裱上边衬后，整幅作品长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，求边衬的宽度．
26．如图，在中，，，，平分交于点，于点．
（1）求证：；
（2）求的长．
27．如图，在中，，射线交边于点，且，点关于直线的对称点为点，连接交于点，连接，．
（1）依题意补全图形；
（2）证明：；
（3）用等式表示，和的数量关系，并证明．
28．对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：点为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“劣距”，记作；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“优距”，记作．
如图，中，，，．
（1）_____，_____；
（2）点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且]是[点，线段]的2倍，直接写出线段的长度；
（3）过点作．若点在直线上，，直接写出的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选B．
2．【正确答案】D
【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子为零，且分母不为零，据此求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴，
∴，
故选D．
3．【正确答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意；
B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意；
C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意；
D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意．
故选B．
4．【正确答案】B
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，无理数的定义，化简二次根式，判断六个数中的无理数个数，则概率为无理数的个数除以数的总数，据此求解即可．
【详解】解：无理数有，，（每相邻两个1之间多一个0），共3个，
∵一共有6个数，且每个数被抽取的概率相同，
∴从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的可能性大小是，
故选B．
5．【正确答案】A
【分析】本题考查了三角形外角的性质，掌握外角的性质及计算是关键，根据三角形的外角得到，结合即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选A ．
6．【正确答案】B
【分析】本题考查三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．根据三角形的高的定义判断即可．
【详解】解：的边上的高是经过点C与垂直的线段，
A、是边上的高，故此选项不符合题意；
B、是边上的高，故此选项符合题意；
C、不是边上的高，故此选项不符合题意；
D、是边上的高，故此选项不符合题意；
故选B．
7．【正确答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据作图得到，结合，利用证明即可．
【详解】解：由作图可知：，
又∵，
∴ ，
∴；
故选D．
8．【正确答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据题意得到，，是等腰直角三角形，证明，，可判定①正确；由角平分线的定义，三角形内角和定理可判定②正确；证明，得，，可判定③正确；由线段的等量代换可判定④正确，由此即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，，是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
∴，
∴，故①正确；
∵是等腰直角三角形，平分，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，且，
∴，
∴，，故③正确；
∵，，
∴，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④，
故选D ．
9．【正确答案】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
10．【正确答案】答案不唯一：如只要即可．
【分析】根据算术平方根的定义有，这样就可得到满足条件的无理数．
【详解】解：∵，
∵一个比2大且比3小的无理数，
∴只要满足即可；
∴如.
11．【正确答案】/
【分析】本题考查了概率的计算，理解题意，掌握概率的计算是关键，根据题意有4种选择结果，符合题意的有2种结果，由概率公式计算即可
【详解】解：现将如下4张纪念封洗匀后正面向上放在桌子上，从中随机抽取一张，共有4种结果，
抽出的纪念封背面恰好印有“和平”字样的有2种结果，
∴抽出的纪念封背面恰好印有“和平”字样的可能性大小.
12．【正确答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理求解即可．全等三角形的判定定理有．
【详解】解：根据题意可得，，
添加条件，可以利用证明，
添加条件，可以利用证明，
添加条件，可以利用证明.
13．【正确答案】 或
【分析】首先根据题意画出图形，分情况讨论，一种情况等腰三角形为锐角三角形，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可得出结果．
本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
【详解】解：①如图1，
等腰三角形为锐角三角形，
∵，
∴，
即顶角的度数为．
②如图2，
等腰三角形为钝角三角形，
∵，
∴，
∴．
14．【正确答案】6
【分析】本题考查了角平分线，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
根据是的角平分线，角平分线上的点到角两边距离相等，即D到的距离，最后根据三角形面积公式即可得到答案．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴角平分线上的点到角两边距离相等，
∴D到的距离，
∴的面积.
15．【正确答案】
【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质及其判定定理，连接，可证明垂直平分，得到，则可推出当P、C、E三点共线，且时，有最小值，最小值为此时线段的长，可证明是等腰直角三角形，得到，据此利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵垂线段最短，
∴当P、C、E三点共线，且时，有最小值，最小值为此时线段的长，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为.
16．【正确答案】4；
【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据等角的余角相等得到，判定，于是有，然后利用勾股定理得到，代换后有，根据正方形的面积公式得到，所以，利用同样方法可得到，即可得到答案；
（2）据此类推，；再计算即可．
【详解】解：（1）如图：
图中的四边形为正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
同理可得，
．
故答案是：4；
（2）由（1）可知，这7个正方形摆放的规律是斜放的正方形面积等于左右两边正方形面积之和．
；
；
；
；
．
17．【正确答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，零指数幂和负整数指数幂，先化简二次根式，再去绝对值和计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
18．【正确答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先利用乘法公式去括号，再计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
19．【正确答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案．
【详解】解：
方程两边同时乘以得，
整理得，
解得，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
20．【正确答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案．
【详解】解：
，
当时，原式．
21．【正确答案】（1）①3；②1或2
（2）n=2
【分析】（1）①如果先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，从袋子里随机摸出一个球是必然事件，则袋子里面装的都是红球，即可求出取出的白球个数；
②如果先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，从袋子里随机摸出一个球是随机事件，则袋子里面装的既有红球又有白球，即可求出取出的白球个数；
（2）根据概率公式列出等式，解出n的值即可．
【详解】（1）解：先从袋子里取出m（m≥1）个白球，不放回，再从袋子里随机摸出一个球，将“摸出红球”记为事件A，
①如果事件A是必然事件，则袋子中只有红球，则拿出了3个白球，则m的值为3；
②如果事件A是随机事件，则袋子中既有红球又有白球，则取出的白球个数为1个或2个，则m的值为1或2．
故①3；②1或2．
（2）解：由题意得：，
解得n＝2．
22．【正确答案】（1）见详解
（2）；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质；
（1）根据题意作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
（2）根据垂直平分线的性质得出，等边等角可得，进而根据等角的余角相等，可得，得出，等量代换即可得出结论．
【详解】（1）作图如图所示：
（2）证明：连接．
∵垂直平分，
∴（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴点为线段的中点．
23．【正确答案】见详解
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定，先证明，，则可利用证明，得到，则可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
24．【正确答案】见详解
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，掌握以上知识是关键．
方法一：证明是等边三角形，即可求解；
方法二：证明是等边三角形，，等量代换即可求解．
【详解】方法一证明：如图，延长到点，使，连接，则，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
方法二证明：如图，在上截取，连接，
在中，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
25．【正确答案】
【分析】本题考查运用分式方程解决实际问题，熟练掌握比的意义，列方程是解题的关键．设边衬的宽度为，表示出装裱后的长和宽，根据“整幅图画长与宽的比是”即可列出方程，求解并检验即可．
【详解】解：设边衬的宽度为，依题意，得．
解得：．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：边衬的宽度为．
26．【正确答案】（1）见详解
（2）
【分析】（1）根据“”证明即可；
（2）根据勾股定理求出，根据，得出，，设，根据勾股定理得出，求出x的值即可．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴的长为．
27．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
（3），见详解
【分析】本题主要考查轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键．
（1）根据题意，作对称，连线即可；
（2）根据题意得到，是线段的垂直平分线，由三角形内角和定理得到，结合图形即可求解；
（3）如图所示，在上截取，连接，证明是等边三角形，再证明，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，作图如下，
（2）证明：∵点关于直线的对称点为点，设交于点，
∴，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，则，
在中，，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：，证明如下，
如图所示，在上截取，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，且，
∴，
∴，
∵，
∴．
28．【正确答案】（1），
（2）
（3），
【分析】本题主要考查新定义，勾股定理的运用，理解数量关系，掌握勾股定理的计算是关键．
（1）如图所示，过点作于点，则即为点到线段的“劣距”，即为点到线段的“优距”，可得是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解；
（2）如图所示，点关于直线的对称点为，连接，，得到，，结合题意列式求解即可；
（3）根据题意，分类讨论，结合图形，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，
∴即为点到线段的“劣距”，即为点到线段的“优距”，
∵，
∴，即是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∴，
在中，，
∴.
（2）解：如图所示，点关于直线的对称点为，连接，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在中，，
∴，
解得，（负值舍去）；
（3）解：如图所示，
①取线段的中点，当时，，
∴，
∴；
②由点与线段的“劣距”，则点在点处，取，
∴，，
∴；
③同理，点在点处，取，
∴，
∴；
综上所述，，．