广东省清远市2025_2026学年高二数学上学期期中测试含解析

这是一份广东省清远市2025_2026学年高二数学上学期期中测试含解析，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线经过两点，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知向量，若与垂直，则（ ）.
A．B．C．D．
3．圆与圆的位置关系为（ ）
A．外离B．外切C．相交D．内切
4．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（ ）

A．1B．－1C．D．
5．如图，在正方体中，点在线段上，点在线段上，且，则与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．“”是“直线和直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知直线，若直线与圆交于两点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
8．在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点.现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在y轴上的截距为-2B．直线的倾斜角为120°
C．直线(m∈R)必过定点(0，-3)D．点(5，-3)到直线y+2=0的距离为7
10．关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B．若空间中任意一点O，有，则四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为钝角
D．若空间向量，，则在上的投影向量为
11．如图，在棱长为2的正方体中，点P是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点Q是棱的中点，则以下命题正确的是（ ）

A．三棱锥的体积是定值
B．存在点P，使得与所成的角为
C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为
D．若，则P的轨迹的长度为
三、填空题
12．若方程表示圆，则实数的取值范围为 ．
13．对于任意实数x，y，z，的最小值为 .
14．在平面直角坐标系中，设，若沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，，则的余弦值为 ．
四、解答题
15．求下列各圆的方程.
(1)圆心为点，且过点；
(2)过，，三点．
16．如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是的中点．

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
17．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为，，.
(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标.
(2)求四边形ABCD的面积.
(3)求边AB上的高所在直线方程.
18．如图，在三棱柱中，底面ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在平面ABC上的投影为AC的中点D，且．
(1)求点C到侧面的距离；
(2)在线段上是否存在点E，使得直线DE与侧面所成角的正弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
19．已知定点，，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线与，直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，求四边形面积的最大值.
参考答案
1．A
【详解】由，得的斜率为．
故选：A
2．D
【详解】由于与垂直，所以，所以，
故，
故选：D
3．B
【详解】由题意，圆，则圆心，半径，
圆，则圆心,半径，
所以两圆圆心距，所以两圆外切.
故选：B.
4．A
【详解】，所以．
故选：A．
5．D
【详解】设正方体的棱长为1，
以为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则.
所以，即与所成角的余弦值为.
故选：D
6．C
【详解】当，则直线分别为和直线满足平行，即充分性成立，
若直线和直线平行，
当时，直线分别为和，不满足条件，
当时，满足，即，解得或，
当时，两直线重合，故不满足条件，故，即必要性成立，
综上“”是“直线和直线平行”的充要条件，
故选：C．
7．C
【详解】直线，即，
令，解得，
所以直线过定点，
圆的圆心，半径，
因为，
所以点在圆内，
则圆心到直线的距离（时取等号），
所以（时取等号），
所以的最小值为.
故选：C.
8．A
【详解】方法一：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点．
又，所以直线的方程为，即．
由题知圆的圆心为，半径为1，
直线与圆有交点，即圆心到直线的距离小于等于1，
所以，解得．
方法二：作点关于轴的对称点，则直线与圆有交点，
临界情况为直线与圆相切．
设切点为，令，易得，
所以．
因为直线的斜率为，
所以直线的斜率．
易得直线的方程为．所以．

故选：A
9．AC
【详解】A.直线中，当时，，故A正确；
B. 直线的斜率，所以倾斜角为，故B错误；
C.直线，当时，，所以直线恒过定点，故C正确；
D.点到直线的距离，故D错误.
故选：AC
10．ABD
【详解】对于A：若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，易得，即，则有，A正确；
对于B：在中，由于，故四点共面，B正确；
对于C：当， 反向共线时， 也成立，但与夹角不为钝角，C错误；
对于D，在上的投影向量为，D正确．
故选：ABD．
11．ACD
【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
是定值，A正确；
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设，则
对于B，，使得与所成的角满足：
，
因为，故，故，
而，B错误；
对于C，平面的法向量，
所以直线与平面所成角的正弦值为：，
因为，故
故，
而，，
故即的取值范围为，C正确；
对于D，，由，
可得，化简可得，
在平面内，令，得，令，得，则P的轨迹的长度为
，D正确；
故选：ACD.
12．
【详解】方程表示圆
则
13．
【详解】结合空间直角坐标系中任意两点间的距离公式，
可得表示的几何意义是空间内任意一点与原点及定点，的距离之和，
显然，当三点共线且在线段上时，最小，
最小值为.
故答案为：
14．
【详解】在平面直角坐标系中，过点作于点，
可知，
沿直线把平面直角坐标系折成大小为的二面角后，
仍有，
则，
由，
可得，
即，
即，
可得．
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意知半径，
所以圆的方程为：.
（2）设圆的一般方程为：.
将，，代入得：
，
所以圆的方程为：.
16．(1)证明见解析
(2)．
【详解】（1）如图，连接交于点O，连接，
则点O为的中点，且D是的中点，
则为的中位线，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）取的中点F，
因为在正中，D是的中点，故，
因为三棱柱为正三棱柱，
所以平面ABC，
又因为D是的中点，F是的中点，
所以，
所以平面，所以，，
以D为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，．
故，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，即．
设直线与平面所成角为，
可得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）的顶点，，，则对角线AC中点为，
于是得对角线BD的中点是，设，因此有，，解得：，
所以平行四边形ABCD的顶点.
（2）因，，即有直线BC斜率，直线BC的方程：，即，
因此，点A到直线BC的距离为，而，
从而得，
所以四边形ABCD的面积为.
（3）依题意，直线AB的斜率，则边AB上的高所在直线的斜率为，
于是有：，即.
所以边AB上的高所在直线的方程为.
18．(1)
(2)存在，
【详解】（1）因为点在底面ABC上的投影为AC的中点，所以平面ABC，
又平面ABC，故，，
因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，点为AC的中点，故，
所以，，两两垂直，故以点为坐标原点，直线，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，
.
因为是以AC为斜边的等腰直角三角形，，所以，，
因为侧面为菱形，所以，
又，所以，
则，，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，故，
所以点到平面的距离为.
（2）假设存在满足条件的点E，
则存在，使得，
则，
因为直线DE与侧面所成角的正弦值为，
所以，
即，解得，
又，故，
因此存在满足条件的点，且，即．
19．(1)
(2)7
【详解】（1）设动点的坐标为，
因为，，且，
所以，
整理得，即：，
所以动点的轨迹的方程为，

（2）当直线与轴重合时，，，，
当直线不与轴重合，设直线的方程为，
则直线的方程为，
设圆的圆心到直线和直线的距离分别为，，圆的半径为，
则，，，
所以，
，
所以，
当时，，
当时，，
当且仅当时等号成立，
综上所述，四边形面积的最大值为7.