广东省广州市2025_2026学年高二数学上学期期中联考试卷含解析

这是一份广东省广州市2025_2026学年高二数学上学期期中联考试卷含解析，共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出直线的斜率，由 ，求得倾斜角.
【详解】直线 ，即 ，
所以直线的斜率 ，设倾斜角为 ，则 ，
又 ，所以 ，即直线的倾斜角为 ，
故选：D
2. 已知空间向量 ， ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直得 ，即可求出 的值.
详解】 .
故选：B.
3. 已知空间向量 ， ， 共面，则 （ ）
A. B. 1 C. 2 D. 3
【答案】A
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【解析】
【分析】由空间向量的共面定理，代入计算，即可得到结果.
【详解】由 共面可知，存在实数 使得 ，
即 ，
所以 ，解得 .
故选：A
4. 若直线 与圆 相交，则点 （ ）．
A. 与圆 O 的位置关系不确定 B. 在圆 O 内
C. 在圆 O 上 D. 在圆 O 外
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离可得解.
【详解】由 可知圆心为 ，半径 ，
因为直线 与圆 相交，
所以 ，即 ，
所以点 在圆 外.
故选：D
5. 一条光线从 射出，经直线 后反射，反射光线经过点 ，则反射光线所在直线方程
为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出 关于 的对称点，然后根据两点式求解直线方程即可；
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【详解】设 关于 的对称点为 ，
则有 ，
解得： ，即 ，
反射光线所在直线为 ，
整理得：
故选：B．
6. 在平行六面体 中， ， ， ， ， ，
，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 ，利用向量数量积的运算律及已知求 的长.
【详解】如下图，
，则 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 .
故选：B
7. 过定点 的直线 与过定点 的直线 交于点 （ 与 不
重合），则 面积的最大值为（ ）
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A. 4 B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程可得定点 A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得.
【详解】动直线 化为 ，可知定点 ，
动直线 化为 ，令 ，
解得 ，可知定点 ，
又 ，
所以直线 与直线 垂直， 为交点，
.
则 ，当且仅当 时，等号成立.
即 面积的最大值为 .
故选：B.
8. 如图，棱长为 3 的正方体的顶点 A 在平面 上，三条棱 都在平面 的同侧，若顶点 到
平面 的距离分别为 ，则顶点 到平面 的距离是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点 到平面 的距离分别为 ，利用空
间点到平面距离公式，求出平面 的法向量，即可求出结论.
【详解】如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，
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则 ，
所以 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则点 到平面 距离为 ，①
点 到平面 距离为 ，②
由①②可得 ，
所以 到平面 距离为 .
故选：C.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部外选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的有（ ）
A. 两平行线间的 距离为 2
B. 过点 且在两坐标轴上截距相等的直线有两条
C. 直线 的方向向量可以是
D. 直线 与直线 平行，则 或 2
【答案】AB
【解析】
【分析】计算平行直线的距离得到 A 正确；截距相等的直线有 和 ，B 正确；直线的一个
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方向向量是 ，C 错误；当 时，两直线重合，D 错误.
【详解】A，两平行线 间的距离为 ，A 正确；
B，过点 且在两坐标轴上截距相等的直线：截距为 0 时，
截距不为 0 时，设 ，代入 ，可得 ，故直线方程为： ，B 正确；
C，直线 的一个方向向量是 ， 与 不平行，C 错误；
D，验证当 时，两直线重合，D 错误.
故选：AB.
10. 设动直线 ： 交圆 ： 于 A，B 两点（点 为圆心），
则下列说法正确的有（ ）
A. 直线 l 过定点 B. 当 取得最小值时，
C. 当 最小时，其余弦值为 D. 的最大值为 24
【答案】AD
【解析】
【分析】对于 A 将直线方程整理为 ，令 即可求定点，进而判断，对于 B 根据
几何知识得到当直线 与过点 和 的直线垂直时，利用 即可求解 ，进而判断，
对于 C 根据几何知识得到当直线 与过点 和 的直线垂直时 最小，然后利用勾股定理和
余弦定理求余弦值即可；对于 D，根据外心的结论得到 ，然后求最值即可.
【详解】对于 A：由 有 ，令 有 ，
所以 ，所以直线 l 过定点 ，故 A 正确；
对于 B：点 在圆 内，圆 的圆心为 ，当 取得最小值时，直线 与过点 和
的直线垂直，
所以 ，解得 ，故 B 错误；
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对于 C：当 最小时，此时 最小，当 最小时，直线 与过点 和 的直线垂直，
则 ，由余弦定理有 ，
故 C 错误；
对于 D： ，即的最大值为 24，故 D 正确，
故选：AD.
11. 如图，正方体 的棱长为 2， ， ， 分别为 ， ， 的中点， 是其表
面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当 在表面 上运动时，三棱锥 的体积为定值
B. 当 在线段 中点时，平面 截正方体所得截面的面积为
C. 当 在底面 上运动，且满足 平面 时， 长度的最小值是
D. 使直线 与平面 所成的角为 45°的点 的轨迹长度为
【答案】BCD
【解析】
【分析】求出三棱锥 的底面积和高即可判断 A 项；作出截面图形即可判断 B 项；建立空间直角坐
标系，求出平面 的法向量，然后利用向量关系即可确定 点坐标满足的关系，从而可求 长度的
表达式，进而判断 C 项；分 在各个面内讨论，可判断 D 项.
【详解】选项 A：当 在表面 上运动时，由于 的面积不变，点 到平面 的距离为
正方体棱长，
所以三棱锥 的体积不变，且 ，所以 A 错误；
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选项 B：由平面在两平行平面上的交线互相平行，取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，
连接 ， ， ， ，延长 ， 一定与 交于一点 ，
所以 ， ， ， 四点共面，同理可证 ， ， ， 四点共面，
则过点 ， ， 作正方体的截面，截面为正六边形 ，边长为 ，
设正六边形对角线交点为 ，则正六边形 的面积为 ，故
B 正确；
选项 C：当 在底面 上运动，以 为原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴和 轴，
建立空间直角坐标系，
可 得 ， ， ， ， ， ， 设 ，
， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，可得 ， ，所以 ，
因为 平面 ，所以 ，可得 ，
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所以 ，当 时，等号成立，所
以 C 正确；
选项 D：因为直线 与平面 所成的角为 45°，由 平面 ，得直线 与 所成的角
为 45°，
若点 在平面 和平面 内，因为 ， ，故不成立；
若点 在平面 内，此时点 的轨迹是 ；
若点 在平面 内，此时点 的轨迹是 ；
若点 在平面 时，作 平面 ，如图所示，
因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ，所以 ，
所以点 的轨迹是以 点为圆心，以 2 为半径的四分之一圆，所以点 的轨迹的长度为 ，
综上，点 的轨迹的总长度为 ，所以 D 正确；
故选：BCD．
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 过 ， ， 三点的圆的标准方程为_______.
【答案】 .
【解析】
【分析】设圆的标准方程为 ，代入 ， ， 得到 的方程组求解即
可.
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【详解】不妨设圆的标准方程为 ，由 ，
可解得 于是圆的标准方程为 .
故答案为： .
13. 圆 与圆 的公共弦长为________.
【答案】
【解析】
【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定圆心和半径，然后通过两圆方程相减得到公共弦所在直线方程，
再利用点到直线距离公式求出圆心到公共弦的距离，最后结合勾股定理求出弦长.
【详解】法 1，两圆 与圆 均过点 ， ，弦长为 .
法 2，两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程 ，
圆 的圆心 到直线 的距离 ，
故公共弦长为 .
故答案为： .
14. 已知正四面体 的棱长为 ，动点 在面 上运动，且满足 ， 则
的值为__________.
【答案】0
【解析】
【分析】由 四点共面推得 ，再以 为基底进行向量运算可得.
【详解】动点 在平面 上运动，且 不共线，
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则存在实数 ，使 .
即 ，
所以 .
又 ， 不共面，
由空间向量基本定理可知 ，故 ，解得 .
即 .
因为四面体 正四面体，且棱长为 .
所以 ， .
所以
.
故答案为：0.
四、解答题（本题包括 5 小题，共 77 分，请写出解答过程和必要的计算步骤.）
15. 直线 l 经过两直线 ： 和 ： 交点.
（1）若直线 l 与直线 垂直，求直线 l 的方程；
（2）若点 到直线 l 的距离为 5，求直线 l 的方程.
【答案】（1）
（2） 或
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【解析】
【分析】（1）联立方程组，求得两直线的交点坐标，利用垂直关系求得斜率，结合点斜式方程，即可求解；
（2）分直线的斜率存在与不存在，结合点到直线的距离公式求得斜率，利用点斜式方程，即可求解.
【小问 1 详解】
解：联立方程组 ，解得交点 ，
又直线 与直线 垂直，所以直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，满足点 到直线 的距离为 5；
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离为 ，求得 ，
故直线 的方程为 ，即 ，
综上可得，直线 的方程为 或 .
16. 已知圆 M 以 为圆心且过坐标原点 O，直线 交圆 M 于不同的两点 C，D.
（1）求圆 M 的方程，并求与直线 相交的弦长；
（2）设 P 在圆 M 上，当 的面积为 4 时，求直线 PM 的方程.
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）由圆心、圆上点坐标求半径，进而写出圆 M 的方程，先利用点线距离公式求得弦心距，然后
利用几何法求解弦长；
（2）由点线距离公式求得 P 到直线 距离，可知直线 PM 垂直于直线 ，进而应用点斜式直线
方程求解即可.
【小问 1 详解】
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圆 M 的半径 ．
故圆 M 的方程为 ．
圆心 到直线 即 的距离 ，
即 ，直线与圆 M 相交，可知弦长为 ．
【小问 2 详解】
因为圆心 在直线 上，所以 ．
设点 P 到直线 距离为 ，则 的面积为 ，所以 ，
因为 且 P 在圆 M 上，所以直线 PM 垂直直线 ，
所以直线 PM 的斜率为 ，故直线 PM 方程为 ，
即 ．
17. 如图，在四棱锥 中，四边形 为菱形， ， 为正三角形，
， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）设 中点为 ，连接 ，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可；
（2）以 为原点， 所在直线分别为 轴建立坐标系，分别求出平面 与平面 的
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法向量，利用坐标公式求解即可.
【小问 1 详解】
设 中点为 ，连接 ，
因为四边形 为菱形， ，所以 为正三角形，
又 正三角形，则 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
由（1）可知 两两垂直，
以 为原点， 所在直线分别为 轴建立如图所示坐标系，
则 ， ， ， ， ，
易知平面 的一个法向量 ，设平面 的法向量 ，
则 ，可得平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
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则 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .
18. 圆 C 过点 及原点，且圆心 C 在直线 上．
（1）求圆 C 的方程：
（2）定点 ，由圆 C 外一点 P 向圆 C 引切线 ，切点为 Q，且满足 ．
①求点 P 的轨迹方程；
②求 的最大值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）由题意可求出圆心和半径，即可求得答案；
（2）①设 ,连接 ，利用圆的切线性质以及 即可求解；②求出 C 关于直线
的对称点，数形结合，根据 的几何意义，即可求解.
【小问 1 详解】
由题意知圆 C 过点 及原点，则线段 的垂直平分线方程为 ，
又圆心 C 在直线 上，则联立 ，解得 ，则圆心为 ，
故半径为 ,
故圆的方程为 ；
【小问 2 详解】
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①设 ,连接 ，则 ，
则 ，而 ，即得 ，
即得 ，
即点 P 的轨迹方程为 ；
②设 C 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 ，
故 ,
当 P 点位于 上时，等号成立，故 的最大值为 .
19. 如图，在三棱柱 中，满足 平面 ，且 ．
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（1）若 ，且 ， 分别是 ， 的中点．求直线 AD 与平面 的夹角的正弦
值．
（2）若 ，求三棱锥 的外接球的半径的最小值．
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再利用向量与法向量求解正
弦值即可.
（2）利用外接球的性质结合正弦定理得到 ，再结合基本不等式求解其最小值，最
后得到 的最小值即可.
【小问 1 详解】
建立 为 轴， 为 轴，过点 垂直于底面的直线为 轴的空间直角坐标系，
据题可知 ， ， ， ，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则得到 ，
令 ，解得 ， ，则 ，
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设直线 与平面 的夹角为 ，
故直线 与平面 的夹角的正弦值 ．
【小问 2 详解】
据题知 ，
在等腰 中，设 的外心是 ，外接圆半径是 ，
据正弦定理得 ，解得 ，
如图，在直角 中， ，则 ，
设外接球球心是 ，则 平面 ，设外接球半径为 ，即 ，
，
则
，
令 ，则 ，
第 18页/共 19页
，
当且仅当 时等号成立，
此时 ，
则该三棱锥 的外接球的半径的最小值 .
第 19页/共 19页