内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版）

这是一份内蒙古巴彦淖尔市2025-2026学年高一上学期期末数学试题（原卷版+解析版），共20页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4，本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知角为第四象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A B. C. D.
4. 现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知函数的最大值为，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A. 的最小值为1B. 的最大值为
C. 的最大值为1D. 的最小值为
7. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，且，，，则a的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若幂函数的定义域为，则（ ）
A. B. C. 是奇函数D.
10. 已知，则（ ）
A. B.
C D.
11. 设函数 ，若有四个零点，则（ ）
A. 的最小值为-2B.
C. D. m的取值范围是（0，2）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若某个扇形的圆心角为，半径为12，则该扇形的弧长为_____，该扇形的面积为__________．
13. 已知，，，则的最小值为______.
14. 已知定义在上的函数对定义域内的任意，都有，且，当时，，则不等式的解集为__________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）若，求的值；
（2）计算：．
16. 某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．
（1）将表中数据补充完整，并直接写出的解析式；
（2）将的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的单调区间．
17. 一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品.
（1）求m的值；
（2）若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值.
18. 如图，点为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1．

（1）求的解析式．
（2）设偶函数和奇函数定义域均为，且．
（i）求与的解析式；
（ii）若函数在上的最大值为0，求的值．
19. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，当时，恒成立，则称为“积轴函数”，为轴积系数．
（1）证明：为“2积轴函数”．
（2）已知函数．
（i）试问是否为“积轴函数”？若是，求出轴积系数值；若不是，请说明理由．
（ii）若关于的方程在上有解，且函数有唯一零点，求正数的取值范围．
巴彦淖尔市2025—2026学年第一学期高一期末考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4，本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先分析集合表示的集合，可等同于，再根据交集运算即可求解.
【详解】集合表示所有整数的平方构成的集合，即，再根据交集运算，得.
故选：A.
2. 已知角为第四象限角，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角的三角函数关系及各象限角三角函数值的符号求解即可.
【详解】因为是第四象限角，所以，
所以．
故选：D.
3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据抽象函数的定义域求解.
【详解】因为的定义域为，
所以满足，得，
则的定义域为．
故选：C
4. 现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果；
【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来．
若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入，
所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件．
故选：A.
5. 已知函数的最大值为，则的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用辅助角公式、三角函数的最值、三角函数的最小正周期等知识求得正确答案.
【详解】因为，
所以，解得，
所以的最小正周期为．
故选：B
6. 已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A. 的最小值为1B. 的最大值为
C. 的最大值为1D. 的最小值为
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的对称性进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意可得，得，则，
因为，所以的最小值为无最大值．
故选：D
7. 函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据奇偶性排除A；根据排除C；根据排除D.
【详解】根据题意可得的定义域为，
且，
所以为偶函数，排除A．
令，得或，排除C．
，排除D．
故选：B．
8. 已知函数，且，，，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得在上单调递增，结合指数函数、一次函数的性质求解即可.
【详解】因为，所以，
又因，，，
所以在上单调递增，
则由，得.
所以a取值范围为.
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若幂函数的定义域为，则（ ）
A. B. C. 是奇函数D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据幂函数的定义，奇偶性以及指数函数的运算即可求解.
【详解】根据幂函数定义则，解得或.
对于，因的定义域为，当时，，所以，故A正确，B错误；
对于，，定义域为，且，所以是奇函数，C正确；
对于，，D正确.
故选：ACD
10. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据两角和与差的余弦公式、二倍角公式、同角三角函数的基本关系式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，A错误，
，C正确．
，B正确．
，D正确．
故选: BCD
11. 设函数 ，若有四个零点，则（ ）
A. 的最小值为-2B.
C. D. m的取值范围是（0，2）
【答案】AC
【解析】
【分析】做出函数的图象，数形结合，可判断各选项是否正确.
【详解】由，得，作出的大致图象，如图所示，

结合函数图象，可得：
当时，方程只有1解；
当或时，方程只有2解；
当时，方程只有3解；
当时，方程只有4解，
所以有四个零点，则，故D错误，
若有四个零点，由图可知：
当时，，，，
，，
当时，，的最小值为，故A正确；
当时，，，，故B错误；
，，故C正确.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若某个扇形的圆心角为，半径为12，则该扇形的弧长为_____，该扇形的面积为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据扇形的弧长公式及面积公式计算即可.
【详解】由扇形的弧长公式可知，，
由扇形的面积公式可知，．
故答案为：，.
13. 已知，，，则的最小值为______.
【答案】16
【解析】
【分析】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可.
详解】由题可得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为16.
故答案为：16.
14. 已知定义在上的函数对定义域内的任意，都有，且，当时，，则不等式的解集为__________
【答案】
【解析】
【分析】根据题意利用函数单调性定义可证明在上单调递增，可求得，再利用单调性解不等式即可.
【详解】由，得．
令，则．因为当时，，所以．
设，则，
即，所以在上单调递增．
令，得．因为，所以，
则．
由解得．
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. （1）若，求的值；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）7
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简即可；
（2）利用指数幂和对数的运算法则计算.
【详解】（1）原式．
（2）原式
16. 某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．
（1）将表中数据补充完整，并直接写出的解析式；
（2）将的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的单调区间．
【答案】（1）表格数据答案见解析，解析式
（2）单调递增区间为；单调递减区间为
【解析】
【分析】（1）利用表中已有数据可得，联立方程组可解得，可补充表中数据并求出函数解析式.
（2）由伸缩变换规则可得，可通过整理代换法令和，求出所有单调区间即可得出其在上的单调区间；也可以利用，求得，结合正弦函数单调性可求得结论.
【小问1详解】
根据表中第二列数据可知，解得；
结合第一列和第五列数据可得，解得；
因此可将表中数据补充如下．
可知
【小问2详解】
易知
方法一：
由，得．
令，得在上单调递增，
令，得在上单调递增，
所以在上的单调递增区间为．
由，得，
令，得在上单调递减，
即在上的单调递减区间为．
方法二：
由，得．
当或时，即或时，单调递增，
可得在上的单调递增区间为．
当，即时，单调递减，
所以在上的单调递减区间为．
17. 一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品.
（1）求m的值；
（2）若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值.
【答案】（1）
（2）4.
【解析】
【分析】（1）由题意可得，求解即可；
（2）由题意可得，代入，结合指数函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由题意可得，
即，
解得；
【小问2详解】
由题意可得，
即，
代入,
得，
所以，，，
因为为单调递增函数，
且，，
所以，，
所以整数n的最小值为4.
18. 如图，点为二次函数的图象与轴的交点，点为图象的顶点，的面积为1．

（1）求的解析式．
（2）设偶函数和奇函数的定义域均为，且．
（i）求与的解析式；
（ii）若函数在上的最大值为0，求的值．
【答案】（1）
（2）（i），；（ii）或．
【解析】
【分析】（1）先根据二次函数与x轴的交点设出交点式解析式，再由顶点坐标与三角形面积公式求出顶点纵坐标，代入解析式求出参数，从而得到的解析式.
（2）（i）利用偶函数和奇函数的性质，结合构造出关于和的方程组，通过解方程组求出与的解析式.
（ii）先写出的表达式，根据二次函数的开口方向与对称轴位置，分和两种情况讨论函数在区间上的最大值，进而求出的值.
【小问1详解】
设，其中．
设，因为面积为1，所以，得，
将的坐标代入，得，解得，
所以．
【小问2详解】
（i）由①，得②，
因为是偶函数，是奇函数，所以由②得③，
由①和③得，，．
（ii）．
．
当时，，解得（舍去）或；
当时，，解得（舍去）或．
故的值为或．
19. 若存在，使得函数对其定义域内的任意，当时，恒成立，则称为“积轴函数”，为轴积系数．
（1）证明：为“2积轴函数”．
（2）已知函数．
（i）试问是否为“积轴函数”？若是，求出轴积系数的值；若不是，请说明理由．
（ii）若关于的方程在上有解，且函数有唯一零点，求正数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）是，；（ii）
【解析】
【分析】（1）由题意，先求得函数定义域，根据新定义以及函数解析式，可得答案.
（2）（i）由函数猜想答案，结合新定义以及对数运算，可得答案；（ii）利用参变分离，对函数解析式进行换元，根据零点定义建立方程，根据新定义以及（i）的结论，化简方程，根据一元二次方程根的判定，可得答案.
【19题详解】
易得的定义域为，
任取，且，
则，
故是“2积轴函数”．
【20题详解】
（i）函数
，设函数为“积轴函数”，
则当，，且时，有，
因此
又，恒成立，
则，求得，
所以函数为“4积轴函数”.
（ii）由，得，依题意，方程有唯一解，
函数为“4积轴函数”，所以，
对任意，，又因为，则，
所以恒成立，该情况无解，
则原方程的解等价于有唯一解，
当时，方程化为，解得,符合唯一解，
当时，判别式，有两个不相等的实根，
其两根之积为,
若,则，乘积为负，两根一正一负，仅有正根在定义域内，符合唯一零点，
当时，则，乘积为正，两根同号，
又因为两根之和为，所以两根均为正，
即方程有两个不等正根，对应两个零点，不符合唯一零点要求,
综上所述可得的取值范围是.
0
0
8
0
0
0
8
0
0
0
8
0
－8
0