江西师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（解析版）

这是一份江西师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线的斜率，根据斜率再求直线的倾斜角即可.
【详解】直线的方程为，即，
则直线的斜率为，设直线的倾斜角为，所以，
因为，所以.
故选：A.
2. 数列满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可知，数列是公差为的等差数列，即可求得的值.
【详解】因为数列满足，，
所以，数列是公差为的等差数列，故.
故选：C.
3. 设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分布列中所有概率和为1求解．
【详解】由题意，．
故选：A．
4. 在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（ ）
A. B. C. 10D. 13
【答案】B
【解析】
【分析】根据三点共线，可得空间向量共线，即存在实数，使得，结合向量的坐标运算，即可得答案.
【详解】因为，且三点共线，
所以存在实数，使得，
解得．
故选：B.
5. 虢仲盨，青铜器，西周文物.该文物的腹部横截面的形状是一个长轴长为厘米，短轴长为厘米的椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，，进而可得离心率.
【详解】由已知可得，，
即，，
所以离心率，
故选：C.
6. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.1
【答案】D
【解析】
【分析】利用正态分布曲线的性质，再根据条件，即可求出结果.
【详解】由题知，曲线关于直线对称，又，所以，
由曲线的对称性可知，，
故选：D.
7. 甲、乙、丙、丁4个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则4个学校中至少有3个学校所选研学基地不相同的选择种数共有（ ）
A. 420B. 460C. 480D. 520
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用两个原理结合排列、组合应用列式计算即得.
【详解】求不相同的选择种数有两类办法：恰有3个学校所选研学基地不同有种方法，
4个学校所选研学基地都不相同有种方法，
所以不相同的选择种数有（种）.
故选：C
8. 已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），若点D为抛物线的准线上一点，且，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的定义及可得直线与抛物线的准线垂直，由A，F，B三点共线求出点的坐标，再利用斜率公式即可得解.
【详解】由抛物线定义知，等于点到准线的距离，
又，则直线与抛物线的准线垂直，
设，由，得焦点，准线，
则，得，
代入抛物线方程，又点在第一象限，
故，所以，．
设，又，
则由A，F，B三点共线可得，
整理得，解得（舍），或，故，
故直线的斜率为．
故选：A．
二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.
9. 已知某产品的销售额Y与广告费用X之间的关系如表：
若根据表中的数据用最小二乘法求得Y关于X的回归直线方程为，则下列说法中正确的是（ ）
A. 产品的销售额与广告费用成正相关
B. 该回归直线过点
C. 当广告费用为10万元时，销售额一定为74万元
D. m的值是20
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据得到A正确；D选项，计算出，代入中，求出；B选项，计算出，故B正确；C选项，代入得到，销售额预计为74万元，C错误.
【详解】A选项，回归直线方程中，可知产品的销售额与广告费用成正相关，故A正确；
D选项，，，
代入，得，解得，故D正确；
B选项，则，则该回归直线过点，故B正确；
C选项，取，得，说明当广告费用为10万元时，销售额预计为74万元，故C错误．
故选：ABD
10. 二项式的展开式中（ ）
A. 前三项的系数之和为22
B. 二项式系数最大的项是第4项
C. 常数项为15
D. 所有项的系数之和为64
【答案】BC
【解析】
【分析】首先写出二项式展开式的通项，选项A中根据通项求前三项系数之和即可；选项B中二项式系数中最大的是；选项C，常数项满足通项中的指数为，可得；选项D中将代入即可.
【详解】二项式展开式的通项为：
；
对于选项A，前三项的系数之和为：，A错误；
对于选项B，二项式系数中最大的是，恰好是第4项，B正确；
对于选项C，常数项时，通项公式中满足，得，即，C正确；
对于选项D，将代入，可得所有项的系数之和，结果为，D错误；
故选：BC.
11. 如图，已知正方体的棱长为2，点P是线段的中点，点Q是线段上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）
A. 平面
B. Q到平面的距离为
C. 与所成角取值范围为
D. 三棱锥外接球体积的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A由面面平行得到线面平行；B用空间向量法求出点到平面的距离；C找到与所成的角就是与所成的角，由边长关系确定即可找到最大和最小；D由和外接球体积最小确定球心，再由球的体积公式求出即可.
【详解】A：由题意可知，且面，面，
所以面面，
又因为面，
所以平面，
故A正确；
B：因为平面，
所以Q到平面的距离等于到平面的距离，
以所在直线分别为轴，以为原点建立空间直角坐标系，如图
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，所以，
所以到平面的距离，故B错误；
C：
因为，所以与所成的角就是与所成的角，
因为点Q是线段上的动点（不含端点），所以与所成角的最大值为，
又因为，，
所以，
所以在中，，即为与所成角的最小值，但不能取得，
所以与所成角的取值范围为，故C正确；
D：
因为，又是直角三角形，，取的中点，
则，
因为棱锥外接球体积最小，所以在处，所以，
所以为外接球的球心，
所以，
所以，故D正确；
故选：ACD
12. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则（ ）
A. 椭圆上的点到的最短距离为
B. 到直线距离的最大值为
C. 的最大值为
D. 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆性质即可判断A；结合图象分析点到直线距离即可判断B；利用焦点弦的含义即可判断选项C；设出直线方程，两点坐标，利用向量数量积的坐标表示即可判断选项D.
详解】由题知，，，
则椭圆上的点到的最短距离为，A错；
到直线距离的最大时，，
且最大距离为，B正确；
，
则的最大时，最小，
最小时，为通径，且，
所以的最大值为，C正确；
由，设直线为，
若不存在，此时轴，，
所以，
若存在时，
联立得，
，，
，
，
对于函数来说，
在时是单调递增的，
所以当时，最小，且为，
当为时，最大，
即时，最小，且为，
不存在时，最大，且为，
所以的取值范围为，正确.
故选：BCD
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 在等差数列中，首项，公差，若，则等于__________.
【答案】34
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式和求和公式基本量计算得到方程，求出答案.
【详解】因为，
由题知，即，所以.
故答案为：34
14. 设某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线，生产规格的芯片，现有20块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为6块、6块、8块，且甲、乙、丙生产该芯片的次品率依次为.现从这20块芯片中任取1块芯片，若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为____.
【答案】
【解析】
【分析】利用条件概率计算公式即可求得若取到的芯片是次品则该芯片是甲厂生产的概率.
【详解】记芯片分别由甲、乙、丙三条生产线生产为事件，
记取到的芯片是次品为事件，
则，
，
，
故，
则若取到的芯片是次品，则该芯片是甲厂生产的概率为.
故答案为：
15. 在一个布袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球，从中随机摸取1个球，有放回地摸取3次，记摸取白球的个数为X．若，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件，可知X服从二项分布，由二项分布的期望公式可求出m，进而可得.
【详解】由题意知．
因为，所以，解得，
所以．
故答案为： .
16. 某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1，2，3，4，5的五批疫苗，供全市所辖的A，B，C三个区市民接种，每个区均能从中任选一个批号的疫苗接种，记A，B，C三个区选择的疫苗批号的中位数为X，则X的期望是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，利用古典概型的概率计算公式，由三个区选择的疫苗批号的中位数为的所有可能值为，求得相应的概率，结合期望的公式，即可求解.
【详解】设三个区选择的疫苗批号的中位数为，则的所有可能值为，
可得，
，
，
所以的数学期望为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （1）求值：．
（2）己知，求x．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）利用组合数性质，即可求出结果.
（2）利用组合数性质，即可求出结果.
【详解】（1）因为，
（2）由，得到或，解得或，
经验证，符合题意，所以或.
18. 为培养学生对传统文化的兴趣，某市从甲，乙两所学校各抽取100名学生参加传统文化知识竞赛，竞赛成绩分为优秀和非优秀两个等级，成绩统计如下表：
（1）甲，乙两所学校竞赛成绩优秀的频率分别是多少?
（2）能否有95%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异?
附：
【答案】（1）0.6，0.7；（2）没有95%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异.
【解析】
【分析】（1）根据表格中两所学校成绩优秀的频数即可算出频率；
（2）根据参考公式算出，进而根据参考数据得到答案.
【详解】（1）甲学校成绩优秀的频率为：，乙学校成绩优秀的频率为：.
（2）由题意，，
故没有95%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异.
19. 已知圆的圆心在直线：上，并且经过点和点．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线：上存在点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题设写出的垂直平分线的方程，结合已知圆心在直线:上，联立求圆心，并确定半径，即得方程；
（2）根据已知得，再由圆心到直线的距离求参数范围.
小问1详解】
因为的中点为，且，所以的垂直平分线为，即，
由，得，所以圆心，则半径，所以圆：．
【小问2详解】
如图，由得，所以，

所以圆心到直线的距离，则，解得
所以的取值范围为．
20 已知平行四边形ABCD如图甲，，沿AC将折起，使点D到达点P位置，且，连接PB得三棱锥如图乙．
（1）证明；平面ABC；
（2）在线段PC上是否存在点M，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，且
【解析】
【分析】（1）推导出，证明出平面，可得出， 利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出结论.
【小问1详解】
证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则，
因为，则，，
由余弦定理可得，
所以，，则，同理可证，
翻折后，则有，，
因为，，、平面，
所以，平面，
因为平面，则，
因为，、平面，所以，平面，
【小问2详解】
因为平面，，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以，，
易知平面的一个法向量为，
则，整理可得，
因为，解得，
因此，线段上存在点，使二面角的余弦值为，且.
21. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动．
（1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望：
（2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利．已知甲、乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，且，假设每轮答题结果互不影响，如果甲、乙两位同学想在此次答题活动中取得6轮胜利，那么理论上至少要参加多少轮竞赛？
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果；
（2）先求出每轮答题中取得胜利的概率的最大值，再应用独立重复实验数学期望的范围求出最少轮数.
【小问1详解】
由题意知，的可能取值有，
，，
，，
所以的分布列为
.
【小问2详解】
因为甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率为，
由，又，得到，
则，又，所以，
令，则，当时，取到最大值为，
要使答题轮数取得最小值，则每轮答题中取得胜利的概率取最大值，
设甲、乙两人在轮答题中取得胜利的次数为，则，
所以，由，解得，
又，则，理论上至少要参加11轮竞赛.
22. 在平面直角坐标系中，点A在x轴上滑动，点B在y轴上滑动，A、B两点距离为3，点P满足，且点P的轨迹为曲线C．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）曲线C与x轴负半轴交于点T，过点T的直线TM，TN分别与曲线C交于M，N两点，直线的斜率分别为，且，求证：直线过定点，并求面积的最大值．
【答案】（1）
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）设，，可列出等式，结合，求出，代入化简，即可得答案；
（2）设方程为，并联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合化简，可得，即可证明直线过定点；求出面积的表达式，结合换元，以及利用函数的单调性求最值，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意可设，，
则，即，
由，得，即，
故，代入，得，
即点P的轨迹方程为；
【小问2详解】
由，可知，结合由题意知直线的斜率不为0，
故设方程为，设，
联立，整理得，
需满足，
则，
则，，
因为，故，即，
即
，解得，或，
当时，方程为，经过点，不符合题意，舍去；
故，满足，
此时方程为，故直线过定点；
则的面积
，
令，则设，该函数在上单调递增，
故；
则，
当且仅当，即时，等号成立，
故面积的最大值为.
【点睛】难点点睛：本题考查了动点的轨迹方程的求解以及直线和椭圆位置关系中的定点以及三角形面积的最值问题，综合性强，计算量较大，解答的难点就在于复杂的计算，且基本都是有关字母参数的运算，解答时要注意联立直线和椭圆方程，利用根与系数的关系式进行化简，要十分仔细准确计算.
X（单位：万元）
0
1
2
3
4
Y（单位：万元）
10
15
m
30
35
优秀人数
非优秀人数
合计
甲校
60
40
100
乙校
70
30
100
合计
130
70
200
P
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828