江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题（原卷及解析版）

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1. 设集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把集合B中的元素代入集合A检验，再结合交集运算求解.
【详解】因为，
可知，所以.
故选：C.
2. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断.
【详解】函数是奇函数,
若，则，
则，
即成立,即充分性成立，
若，满足是奇函数，当时
满足，此时满足，
但，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件，
所以A选项正确.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键.
3. 已知函数的定义域和值域都为，则（ ）
A. B.
C. D. 不存在
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合指、对数函数性质分析求解.
【详解】因为函数的定义域为，则恒成立，
且，可得；
又因为函数的定义域和值域都为，则取到所有正数，
且，可得；
综上所述：.
故选：B.
4. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析可知在内单调递增，结合分段函数单调性列式求解即可.
【详解】若，可知在内单调递增，
可知在内单调递增，可得对任意恒成立，
又因为在定义域0,+∞内单调递增，可知在内单调递增，
由题意可得：，解得，
所以实数的取值范围是−1,0.
故选：B.
5. 设正项等比数列的前n项和为，，且，，成等差数列，则与的关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用等比数列的通项公式列方程求公比，然后求出和观察它们之间的关系即可.
【详解】设正项等比数列的公比为，
因为，，成等差数列，所以，
所以，解得，
所以，，
则.
故选：A.
6. 已知，当时，取最大值，当时，取最小值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】换元令，可得，，根据题意结合二次函数性质分析求解.
【详解】令，则，，
可知的开口向上，对称轴为，
原题意等价于：当时，取最大值，当时，取最小值，
结合二次函数对称性可知：，
所以实数的取值范围是0,1.
故选：C.
7. 若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求导，分析可知原题意等价于与在内有交点，进而可得结果.
【详解】因为，则，
令，可得，
原题意等价于与在内有交点，
且当时，；当时，；
则，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：B.
8. 已知项数为的等差数列满足，．若，则k的最大值是（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】通过条件，，得到，
再利用条件得到，
进而得到不等关系：，从而得到的最大值.
【详解】由，，得到，
即，
当时，恒有，即，
所以，
由，得到，
所以，，
整理得到：，所以.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知正实数满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由正实数满足，可得，
当且仅当时，等号成立，所以，所以A不正确；
对于B中，由，因为，可得，所以B正确；
对于C中，由，所以，所以C不正确；
对于D中，由，当且仅当时，等号成立，所以D正确.
故选：BD.
10. 设函数，则（ ）
A. 是的极小值点
B.
C. 不等式的解集为
D. 当时，
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和极值；
对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可；
对于D：分析可得，结合的单调性分析判断.
【详解】对于选项A：因为的定义域为R，
且，
当时，f′x0；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，故A错误；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：对于不等式，
因为，即为不等式的解，但，
所以不等式的解集不为，故C错误；
对于选项D：因为，则，
且，可得，
因为函数在0,1上单调递增，所以，故D正确；
故选：BD.
11. 已知函数（不恒为零），其中f′x为的导函数，对于任意的，满足，且，则（ ）
A. 是偶函数B. 曲线关于直线对称
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A：结合赋值法与函数奇偶性的定义计算；对于B：结合复合函数导数公式与对称性可判断；对于CD：借助赋值法结合周期性分析求解.
【详解】因为的定义域为R，
对于选项A：令，可得，即，
令，可得，且不恒为零，
则，即f−x=−fx，
所以是奇函数，故A错误；
对于选项B：令，可得，
即，即，可得，
令，可得，即，
当时，有f2+x=f−x=−fx，
所以；
当，有，
可得，
当，结合，有，
可得，所以；
综上所述：，
两边同时求导可得，可知曲线关于直线对称，
所以曲线关于直线对称，故B正确；
对于选项C：由选项B可知：，
若，即，
可得，可知为的周期；
若，即，
可得，可知为的周期；
综上所述：为的周期.
且，所以，故C正确；
对于选项D：由选项B可知：，
令，可得，
可得f1+f2+f3+f4=0，
结合周期性可得，故D错误.
故选：BC.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若“，使得成立”为假命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，转化为“，使得成立”为真命题，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由“，使得成立”为假命题，
可得“，使得成立”为真命题，
设，则满足，解得，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
13. 若曲线在处的切线，也是的切线，则______.
【答案】2.
【解析】
【分析】求出的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得
，的值，进而得到的值.
【详解】由，得，
曲线在处的切线斜率为，
则曲线在的切线方程为，
的导数为，
设切点为，则，
解得，，
即有，得
故答案为：2
【点睛】本题考查了基本初等函数的导数以及导数的几何意义，属于基础题.
14. 随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：
①是上的增函数；
②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”；
④，输入会提示“可能出现梯度消失”.
其中所有正确结论的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】对于①：根据单调性的性质分析判断；对于②：根据题意结合指数运算以及指数函数单调性分析判断；对于③④：整理可得，构建，利用导数求的单调性和值域，进而逐项分析判断.
【详解】对于①：因为的定义域为，
且在上单调递减，所以是上的增函数，故①正确；
对于②：因为对任意恒成立，
则，
令，整理得，
且是上的增函数，则，即无解，
所以不存在，输入会提示“可能出现梯度爆炸”，故②错误；
对于③④：因为是上的增函数，则，即，
则，
令，
则，
令，则在上单调递增，且，
当时，，即，可知在上单调递减；
当时，，即，可知在上单调递增；
则，
且当x趋近于或时，趋近于0，
所以的值域为，
所以对，输入会提示“可能出现梯度消失”，故④正确；
因为在上单调递减，则，
且，即对任意恒成立，
所以当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”，故③正确；
故答案为：①③④.
【点睛】关键点睛：1.充分理解新定义的含义，根据定义分析判断；
2.再处理问题③④时，可以通过构建函数求单调性和值域，进而分析判断.
四､解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知等差数列 的公差不为零， 成等比数列，且 .
（1）求数列 的通项公式;
（2）求 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列求和公式即可求解.
【小问1详解】
由题意 (1)

由(1)(2)可得
所以
【小问2详解】
，，
，故为等差数列，
.
16. 已知集合，集合．
（1）当，求；
（2）已知“”是“”的充分不必要条件，求a的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据指数函数和对数函数的单调性分别求出集合，再根据补集和交集的定义即可得解；
（2）由题意可得是的真子集，再由分类讨论即可得出答案.
【小问1详解】
，
当，，
故或，
所以或；
【小问2详解】
因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，
当时，A=∅，符合题意；
当时，，不符合题意，
当时，，
所以，解得，
综上所述，.
17. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）答案见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分类讨论的符号，结合二次不等式求的单调性；
（2）构建，原题意等价于对任意的恒成立，求导，结合，可得，并代入检验即可.
【小问1详解】
由题意可知：的定义域为0,+∞，且，
对于，则有：
若时，则，可得，
所以0,+∞上单调递增；
若时，则有：
当，即时，则，可得f′x≥0，
所以在0,+∞上单调递增；
当，即时，令，
解得，，且，
令f′x>0，解得或；令f′x