北京市房山区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 含解析

这是一份北京市房山区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 含解析，共19页。
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知数列满足，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等比数列概念及通项可得结果.
【详解】由可得为定值，
又，所以是以为首项，公比的等比数列，
∴=4，
故选：B
2. 函数的图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数的图象结合导数的几何意义判断即可
【详解】根据函数的图象，应用导数的几何意义是函数的切线斜率，
在1处的切线斜率小于在3处的切线斜率，
所以，A,B选项错误；
又因为，所以，D选项错误.
故选：C.
3. 如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为，则中最大的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由散点图图形趋势可判断大小关系.
【详解】因③图形比较分散，则；因①②④相较③接近于一条直线附近，则，
又②为下降趋势，则，①比④更接近一条直线，且呈上升趋势，则.
综上，最大
故选：A
4. 设等差数列的前项和为，若，，使最小的的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 4或5
【答案】D
【解析】
【分析】设公差为，依题意得到方程组，求出、，即可求出通项公式，再根据数列的单调性判断即可.
【详解】设公差为，由，，
所以，解得，所以，
令，解得，则数列单调递增，且，
所以当或时取得最小值.
故选：D
5. 要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】A
【解析】
【分析】先将甲同学排列在中间3个位置，再将其余节目全排列即可.
【详解】第一步：先将甲同学排列除第一个、最后一个之外得3个位置，共有种排法，
第二步：将剩余得4个节目全排列，共有种排法，
所以共有种，
故选：
6. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】写出二项展开式的通项，利用赋值法可得特定项系数.
【详解】由已知可得展开式的通项，
令，解得，
所以，系数为，
故选：B.
7. 某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为. 则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件概率公式直接可得解.
【详解】设事件为当天下雨，事件为当天刮风，
则，，
则已知刮风的条件下，也下雨的概率，
故选：D.
8. 为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高（单位：cm），得到的数据如表所示.
父亲身高的平均数记为，儿子身高的平均数记为，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为.则下列结论中正确的是（ ）
A. 与正相关，且相关系数为
B. 点不在回归直线上
C. 每增大一个单位，增大个单位
D. 当时，.所以如果一位父亲的身高为176cm，他儿子长大成人后的身高一定是177cm
【答案】C
【解析】
【分析】由回归方程意义及性质可判断选项正误.
【详解】A选项，因，则与正相关，但相关系数不是，故A错误；
B选项，回归方程过定点，故B错误；
C选项，由回归方程可知每增大一个单位，增大个单位，故C正确；
D选项，回归方程得到的为预测值，不一定满足实际情况，故D错误.
故选：C
9. 设随机变量的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（ ）
A.
B. 随机变量的数学期望可以等于
C. 当时，
D. 数列的通项公式可以为
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率和为可判断A选项；当时，期望为，可判断B选项；根据等比数列求和公式化简可判断C选项；D选项，利用裂项相消法可得的前项和，进而可判断D选项.
【详解】A选项：由已知，则，A选项正确；
B选项：当时，期望为，B选项正确；
C选项：由，则，C选项正确；
D选项：由，则其前项和为，D选项错误；
故选：D.
10. 已知数列：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推. 是数列的前项和，若，则的值可以等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，第三组：，……，第组：，根据等比例数列前项和公式对选项逐一验证即可.
【详解】将数列分组，使每组第一项均为1，即：
第一组：
第二组：
第三组：
……
第组：
根据等比例数列前项公式，得每组和分别为：，
每组含有的项数分别为.
所以
若，即，
将选项A代入，若，则，即为前5组与第6组的第1个数的和，
此时，无解；
同理若，则，此时，即，符合题意；
同理若，则，此时，无解；
同理若，则，此时，无解；
综上可知，，
故选：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于找出数列的规律，对该数列进行分组，利用等比数列前项和公式构造方程，即可求解.
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 若，则____.
【答案】##
【解析】
【分析】求导代入计算可得结果.
【详解】由可得，
∴，
故答案为：
12. 若，则____；____.
【答案】 ①. 1 ②. -8
【解析】
【分析】利用赋值法，令可得，由通项分别求出可得结果.
【详解】由题意知，令可得，即，
由二项展开式的通项可得，
，即，
，即，
即，
故答案为：
13. 为了提高学生的科学素养，某市定期举办中学生科技知识竞赛．某次科技知识竞赛中，需回答个问题，记分规则是：每答对一题得分，答错一题扣分．从参加这次科技知识竞赛的学生中任意抽取名，设其答对的问题数量为，最后得分为分．当时，的值为____；若，则____.
【答案】 ①. 20 ②. 0.3##
【解析】
【分析】易知当时，答错道题，因此得分为；根据题意得出随机变量与的关系式，再由对立事件概率可求结果.
【详解】由题意知，说明答对道题，答错道题，
又答对得分，答错得分，
所以最后得分,
即当时，;
若，即,可得,
∴，
∴，
故答案为：；
14. 设无穷数列的通项公式为.若是单调递减数列，则的一个取值为____.
【答案】（答案不唯一，即可）
【解析】
【分析】根据数列的函数特性，可得，解不等式可得的取值范围.
【详解】由可得，
又是单调递减数列，可得，
即，
整理得恒成立，
即恒成立，
∴，
又因为，所以，
即取值范围为，
故答案为：（答案不唯一，即可）
15. 已知函数， 给出下列四个结论：
①当时，在定义域上单调递增；
②对任意，存在极值；
③对任意，存在最值；
④设有个零点，则的取值构成的集合是.
其中所有正确结论的序号是____.
【答案】②③④
【解析】
【分析】取值计算判断①；函数的极值点情况判断②，分别求出两段的最大值判断③；分段探讨零点个数判断④即得答案.
【详解】对于①，当时，f(x)=−x2−1,x≤0lnx+2x+1,x>0，，①错误；
对于②，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
函数在处取得极大值，因此对任意，存在极值，②正确；
对于③，当时，，，，
当时，，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，此时，
因此，，③正确；
对于④，当时，函数在上单调递增，，在上无零点，
在上单调递增，，
，在有一个零点，；
当时，，在上单调递增，同理得，
当时，，在上单调递增，，；
当时，，在上有两个零点，
当时，，，
当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，即在上有两个零点，；
当时，，在上有两个零点，，；
当时，，在上有两个零点，，，
因此的取值构成的集合是，④正确，
所以所有正确结论的序号是②③④.
故答案为：②③④
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
三、解答题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知是等差数列，是等比数列，且，，，.
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由是等差数列求出，即可求出；
（2）找出，由分组求和得解.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，，
所以
因为，
所以，即等比数列的公比.
所以，.
所以.
【小问2详解】
由（Ⅰ）知，，，
因此
从而数列的前n项和
.
17. 已知函数
（1）求函数的极值点；
（2）若的极小值为，求函数在上的最大值．
【答案】（1）是函数的极小值点；是函数的极大值点.
（2）最大值.
【解析】
【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值；
（2）先根据极小值求出a，再根据极值及边界值求最大值即可.
【小问1详解】
，
令，得或.
，的情况如下：
所以 是函数的极小值点；是函数的极大值点.
【小问2详解】
因为的极小值为，即
解得 ，
又 ， .
所以当时，取得最大值.
18. 袋子中有个大小和质地相同的小球，其中个白球，个黑球.从袋中随机摸出一个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出一个小球.
（1）求第一次摸到白球的概率；
（2）求第二次摸到白球概率；
（3）求两次摸到的小球颜色不同的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）由古典概型计算可得结果；
（2）由全概率公式计算可得；
（3）根据条件概率公式计算可得.
【小问1详解】
设第一次摸到白球的事件为，则
，即第一次摸到白球的概率为.
【小问2详解】
设第二次摸到白球的事件为，则
，即第二次摸到白球的概率.
【小问3详解】
设两次摸到的小球颜色不同的事件为，则
，即两次摸到的小球颜色不同的概率为.
19. 人工智能（简称）的相关技术首先在互联网开始应用，然后陆续普及到其他行业. 某公司推出的软件主要有四项功能：“视频创作”、“图像修复”、“语言翻译”、“智绘设计”. 为了解某地区大学生对这款软件的使用情况，从该地区随机抽取了名大学生，统计他们最喜爱使用的软件功能（每人只能选一项），统计结果如下：
假设大学生对软件的喜爱倾向互不影响.
（1）从该地区的大学生中随机抽取人，试估计此人最喜爱“视频创作”的概率；
（2）采用分层抽样的方式先从名大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，求的分布列和数学期望；
（3）从该地区的大学生中随机抽取人，其中最喜爱“视频创作”的人数为，的方差记作，（2）中的方差记作，比较与的大小.
（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）有古典概型计算可得结果；
（2）利用抽样比可确定6人中有2人最喜欢“视频创作”，求得的所有可能取值及其对应概率可得分布列和期望值（或利用超几何分布计算可得结果）；
（3）由（2）可得，由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，可得.
【小问1详解】
设从该地区的大学生随机抽取1人，此人选择“视频创作”的事件为A，
则
【小问2详解】
因为抽取的6人中喜欢“视频创作”的人数为，
所以的所有可能取值为，

所以的分布列为：

（或则 ）
【小问3详解】
由（2）可得；
由频率估计概率可得地区的大学生中最喜欢“视频创作”的概率为，因此，
可得.
因此.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间；
（3）若对于任意的，有，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）当时，在和上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在和上递减，在上递增.
（3）
【解析】
【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可；
（2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间；
（3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围.
小问1详解】
由，知.
所以当时，有，.
故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即.
【小问2详解】
当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增；
当时，对有，故在上递增；
当时，对有，对有，故在和上递减，在上递增.
综上，当时，在和上递减，在上递增；
当时，在上递增；
当时，在和上递减，在上递增.
【小问3详解】
我们有.
当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增.
故对任意的，都有，满足条件；
当时，由于，故.
所以原结论对不成立，不满足条件.
综上，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果.
21. 若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”．
（1）若，，判断，是否是“数列”；
（2）已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围；
（3）已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式．
【答案】（1）数列是“数列”；数列不是“数列”；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）直接根据“数列”的定义进行判断即可；
（2）由是等差数列结合是“数列”可知公差，结合等差数列求和公式用含式子表示，进一步结合恒成立即可求解；
（3）由“数列”的每一项（）均为正整数，可得且，进一步可得单调递增，故将任意性问题转换为与1比较大小关系可得的范围，结合，或，注意此时我们还要分情况验证是否是“数列”，从而即可得解.
【小问1详解】
对于数列而言，若，则,
所以数列是“数列”；
对于数列而言，若，则，则数列不是“数列”；
【小问2详解】
因为等差数列是“数列”，所以其公差．
因为，所以，
由题意，得对任意的恒成立，
即对任意的恒成立．
当时，恒成立，故；
当时，对任意的恒成立，即
对任意的恒成立，
因为，所以．
所以的取值范围是.
【小问3详解】
设等比数列的公比为，因为，所以，
因为“数列”的每一项均为正整数，由得，
所以且，
因为，
所以，所以单调递增，
所以在数列中，“”为最小项，
而，从而在数列中，“”为最小项．
因为是“数列”，则只需，所以，
因为数列不是“数列”，则，所以，
因为数列的每一项均为正整数，即，所以或，
（1）当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
（2）同理可知，当时，，则，
令，
又，
所以为递增数列，
又，
所以对于任意的，都有，即，
所以数列为“数列”，符合题意．
综上，或.
【点睛】关键点点睛：第三问关键是首先将恒成立任意性问题转换为与1比较大小得出的值，回过头去检验是否满足题意即可顺利得解.
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
父亲身高
174
170
173
169
182
172
180
172
168
166
182
173
164
180
儿子身高
176
176
170
170
185
176
178
174
170
168
178
172
165
182
0
0
递减
a
递增
递减
软件功能
视频创作
图像修复
语言翻译
智绘设计
大学生人数