北京市房山区2023-2024学年高二（上）期末考试数学试卷（含解析）

这是一份北京市房山区2023-2024学年高二（上）期末考试数学试卷（含解析），共19页。

本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题 共50分）
一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
2．在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（ ）
A．B．
C．D．
3．两条直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
4．设直线的方向向量为，两个不同的平面的法向量分别为，则下列说法中错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．如图，四棱锥中，底面是矩形，，平面，下列叙述中错误的是（ ）
A．∥平面B．
C．D．平面平面
6．已知为抛物线上一点，到的焦点的距离为，到轴的距离为，则（ ）
A．B．C．D．
7．下列双曲线中以为渐近线的是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知点，．若直线上存在点P，使得，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
9．已知双曲线与椭圆有公共焦点，且左、右焦点分别为，，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点Q，使得B．存在点Q，使得平面
C．三棱锥的体积是定值D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为
第二部分（非选择题 共100分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
11．若直线与直线垂直，则的值为 ．
12．复数的实部为 ．
13．已知圆．则圆的圆心坐标为 ；若圆与圆内切，则 ．
14．如图，在正方体中，直线与直线所成角的大小为 ；平面与平面夹角的余弦值为 ．
15．已知直线，则与的交点坐标为 ；若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ．
16．已知曲线，给出下列四个命题：
①曲线关于轴、轴和原点对称；
②当时，曲线共有四个交点；
②当时，
③当时，曲线围成的区域内（含边界）两点之间的距离的最大值是；
④当时，曲线围成的区域面积大于曲线围成的区域面积．
其中所有真命题的序号是 ．
三、解答题共5小题，共70分． 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
17．已知复数．
(1)求；
(2)若，求；
(3)若，且是纯虚数，求．
18．已知的三个顶点分别为．
(1)设线段的中点为，求中线所在直线的方程；
(2)求边上的高线的长．
19．已知直线与抛物线相交于两点．
(1)写出抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)求弦长．
20．如图，在五面体中，四边形是正方形，是等边三角形，平面平面，，，是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)求三棱锥的体积．
21．已知椭圆C：（）的一个焦点为，一个顶点为．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)已知直线与椭圆相切于点，直线交轴于点，为坐标原点，，求的面积．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【解答】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
2．A
【分析】取的中点，连接，，根据空间向量线性运算法则计算可得.
【解答】取的中点，连接，，
因为是的中点，，
所以.
故选：A
3．C
【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.
【解答】由两平行线之间的距离公式可得.
故选：C
4．D
【分析】利用空间向量判定空间位置关系即可.
【解答】对于A，若两个平面的法向量互相垂直，则两个平面垂直，即A正确；
对于B，若两个不同的平面的法向量互相平行，则两个平面互相平行，即B正确；
对于C，若一直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线垂直于该平面，即C正确；
对于D，若一直线的方向向量与一平面的法向量垂直，则该直线平行于该平面或者在该面内，即D错误.
故选：D
5．C
【分析】用线面平行的判定定理得到选项A是正确的；先证平面，再由线面垂直的性质定理得到B选项正确；计算与的数量积，得到，从而得出选项C错误；由面面垂直的判定定理易证选项D正确．
【解答】对于选项A：在矩形中，∥，平面，平面，
∥平面，故选项A正确；
对于选项B：平面，平面，，
在矩形中，，，平面，
所以平面，而平面，，故选项B正确；
对于选项C：因为平面，而平面，所以，
所以，而，
，
在一般矩形中，与不垂直，所以，即，与不垂直，故选项C不正确；
对于选项D：平面，平面，所以平面平面，故选项D正确．
综述：只有选项C不正确．
故选：C.
6．B
【分析】由焦半径的性质即可得.
【解答】，故.
故选：B.
7．A
【分析】分别求出各个选项的渐近线，找到满足渐近线为的方程即可.
【解答】对于选项A:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项A正确；
对于选项B:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项B错误；
对于选项C:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项C错误；
对于选项D:由，焦点在轴上，易得,所以渐近线为，即，故选项D错误.
故选：A.
8．D
【分析】将问题化为直线与圆有交点，注意直线所过定点与圆的位置关系，再应用点线距离公式列不等式求k的范围.
【解答】由题设，问题等价于过定点的直线与圆有交点，
又在圆外，所以只需，可得.
故选：D
9．C
【分析】根据椭圆的和双曲线的定义结合焦点三角形的性质求解即可.
【解答】设双曲线的方程为，
在椭圆中，
则，因为是以为底边的等腰三角形，
所以，由椭圆的定义可知，，
所以，再由双曲线的定义可得，
所以，因为双曲线与椭圆有公共焦点，
所以，
故双曲线的标准方程为.
故选：C.
10．B
【分析】A由、即可判断；B若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C只需求证与面是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.
【解答】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点，
所以，故不可能平行，错；
B：若为中点，则，而，故，
又面，面，则，故，
，面，则面，
所以存在Q使得平面，对；
C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，
所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，
故三棱锥的体积不是定值，错；
D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且，
所以，，若它们夹角为，
则，
令，则，
当，则，；
当则；
当，则，；
所以不在上述范围内，错.
故选：B
11．
【分析】由两直线垂直的条件求解.
【解答】结合题意：由两直线垂直可得：解得：.
故答案为：.
12．
【分析】利用复数的乘法化简复数，由此可得出复数的实部.
【解答】，因此，复数的实部为.
故答案为：.
13．
【分析】第一空：由圆标准方程即可得出圆心坐标.第二空：由几何关系表示出内切即可.
【解答】圆心为，半径；
圆心为，半径；
设两圆的圆心距为，则
由几何关系知两圆内切.
故答案为：；.
14． ##
【分析】根据线线角、面面角等知识求得正确答案.
【解答】由于，所以是异面直线与直线所成角或其补角，
而四边形是正方形，所以.
连接交于，则，连接，
由于，是的中点，所以，
所以是平面与平面夹角，
设正方体的边长为，则，
所以在直角三角形中，.
故答案为：；
15． 答案不唯一（只需写出中的一个即可）
【分析】联立方程组解得交点坐标；列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可.
【解答】解方程组，得，所以与的交点坐标为；
由得，直线恒过定点；若直线不能围成三角形，
只需经过，或与平行，或与平行.
当经过时，图1所示，，；
当与平行时，图2所示，，；
当与平行时，图3所示，，.
故答案为：；或或（只需写出中的一个即可）.
图 1
图 2
图 3
16．①②③
【分析】①将点代入方程，判断方程是否满足即可；②联立曲线方程求得或，进而求交点个数；③④由曲线是圆心为原点，半径为的圆，利用二次函数性质求曲线上任意一点到原点距离的范围，结合对称性即可判断.
【解答】①设点在上，
对于点，代入方程，也在上；
对于点，代入方程，也在上；
对于点，代入方程，也在上；
所以曲线关于x轴、y轴和原点对称，正确；
②联立可得，即或，
当时，都有，即存在交点；
当时，都有，即存在交点；
综上，共有四个交点，正确；
③当时，则，
故，可得，
曲线上任意一点到原点距离
，
当时，
结合对称性知：曲线对围成的平面区域内（含边界）两点之间的距离
的最大值是3，正确.
④当时，对于曲线是圆心为原点，半径为的圆，
对于曲线，有，即，
所以曲线上任意一点到原点距离
，
由，结合二次函数的性质知
时，即恒成立，
所以曲线面积更大，错；
故答案为：①②④
17．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据模的计算公式直接求解；
（2）利用复数的除法进行计算；
（3）设，根据条件列方程求解即可.
【解答】（1）；
（2）；
（3）设，
则，所以①
，
因为是纯虚数，所以②
由①②联立，解得 或
所以或．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由中点坐标公式可得线段的中点为的坐标，再根据点斜式即得中线所在直线的方程；
（2）由题意可得直线的斜率，由直线的点斜式可得方程，然后由点到直线的距离公式代入可求得边上的高线的长.
【解答】（1）设的坐标为，则，，
即，所以 ，
则中线所在直线方程为，即 ．
（2）由题意得 ．
则直线的方程为，即
中，边上的高线的长就是点到直线的距离 ．
19．(1)焦点坐标为，准线方程为
(2)16
【分析】（1）根据抛物线的方程求出焦点坐标和准线方程即可；
（2）直线与抛物线方程联立，根据弦长公式求得弦长.
【解答】（1）由抛物线的方程可知，抛物线开口向右，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
（2）将代入，整理得．
设，则，
所以.
20．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理来证明线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，然后利用向量发求线面角；
（3）先利用向量法求点到面的距离，然后利用体积公式求解棱锥体积.
【解答】（1）因为是等边三角形，是的中点，
所以 ．
又平面平面，平面平面，
所以平面；
（2）记的中点为，易知两两互相垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则 令，此时 ．
设直线与平面所成角为，则
所以直线与平面所成角为；
（3）设点到平面的距离为，，
则 ．
由平面几何知识，易知在直角梯形中，
所以．
21．(1)；
(2)
【分析】（1）由焦点和顶点坐标得椭圆的方程及离心率；
（2）设直线方程为，代入椭圆方程，得切点M的坐标，由得，，求的面积.
【解答】（1）由题意可得，，所以，
所以椭圆的方程为，
离心率．
（2）
易知直线斜率存在，
设直线的方程为，代入椭圆方程，
整理得，
因为直线与椭圆有唯一交点，所以，
得，
设，则，
所以 ，，
因为，所以，
整理得，所以，
所以．
【点拨】关键点拨：由直线交轴于点，考虑面积表示为，再由直线与椭圆相切，可知方程只有一个实数解，可得，易得点M坐标.