2021-2022学年北京市房山区高二（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年北京市房山区高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共50分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知函数，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知数列是等差数列，，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 商场举行抽奖活动，已知中奖率为，现有位顾客抽奖，则恰有位中奖的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 已知，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5. 函数的单调递减区间为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占这两个厂的产品次品率分别为，，则从这批产品中任取一件，该产品是次品的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知数列满足，且对于任意正整数，都有成立，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知无穷等差数列为递增数列，为数列前项和，则以下结论正确的是(    )

A.
B. 数列有最大项
C. 数列为递增数列
D. 存在正整数，当时，

9. 已知函数在上的图象如图所示，则函数的解析式可能为(    )

A.  B.
C.  D.

10. 已知函数，以下个命题：
    函数为偶函数；
    函数在区间单调递减；
    函数存在两个零点；
    函数存在极大值和极小值．
    正确命题的个数为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共25分）

11. 已知函数，则______．
12. 在由正数组成的等比数列中，若，则的值为______．
13. 篮球运动员在比赛中每次罚球得分的规则是：命中得分，不中得分．已知某篮球运动员罚球命中的概率为，设其罚球一次的得分为，则的方差______．
14. 一个口袋中装有个球，其中有个红球，个白球，抽到红球得分，抽到白球得分．现从中任意取出个球，则取出个球的得分的均值为______．
15. 数列为，，，，，，，，，，，，前项和为，且数列的构造规律如下：首先给出，接着复制前面为的项，再添加的后继数为，于是，，然后复制前面所有为的项，，，再添加的后继数为，于是，，，接下来再复制前面所有为的项，，，，，再添加的后继数为，，如此继续．现有下列判断：
    ；
    ；
    ；
    其中所有正确结论的序号为______．

三、解答题（本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 已知等差数列的前项和为，，，且．
    Ⅰ求数列的通项公式；
    Ⅱ证明数列是等比数列；
    Ⅲ求数列的前项和．
17. 已知函数在处的切线．
    Ⅰ求切线的方程；
    Ⅱ在同一坐标系下画出的图象，以及切线的图象；
    Ⅲ经过点做的切线，共有______条．填空只需写出答案

18. 某市统计部门随机调查了户居民去年一年的月均用电量单位：，并将得到数据按如下方式分为组：，，，，绘制得到如图的频率分布直方图：
    
    Ⅰ从该市随机抽取一户，估计该户居民月均用电量在以下的概率；
    Ⅱ从样本中月均用电量在内的居民中抽取户，记抽取到的户月均用电量落在内的个数为，求的分布列及数学期望．
19. 已知．
    Ⅰ求的单调区间；
    Ⅱ若在区间上，函数的图象与直线总有交点．求实数的取值范围．
20. 开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程．某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，对学生进行简单随机抽样，获得数据如表：

假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立．
Ⅰ从样本中抽人，求已知抽到的学生支持方案二的条件下，该学生是女生的概率；
Ⅱ从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取人，设为抽出两人中女生的个数，求的分布列与数学期望；
Ⅲ在Ⅱ中，表示抽出两人中男生的个数，试判断方差与的大小．直接写结果

21. 若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“数列”．
    Ⅰ分别判断数列，，，，与数列，，，是否为“数列”，并说明理由；
    Ⅱ已知数列的通项公式为，判断是否为“数列”，并说明理由；
    Ⅲ已知数列为等差数列，且，，求证为“数列”．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
利用导数概念求解即可．
本题考查了导数的概念，考查了运算能力，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：设等差数列的公差为，
，，
，解得，，
．
故选：．
设等差数列的公差为，结合等差数列的通项公式，列方程求解即可．
本题主要考查等差数列的通项公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：中奖率为，现有位顾客抽奖，
则恰有位中奖的概率为．
故选：．
根据已知条件，结合二项分布的概率公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的概率公式，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：二项式展开式的通项．
令，解，所以，所以．
故选：．
写出展开式的通项，再令，求出，再代入计算即可．
本题主要考查二项式定理，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
易得当时，，函数单调递减，
故函数的单调递减区间为．
故选：．
先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设事件为“任取一件为次品”．
事件为“任取一件为厂的产品”，，．
则 ，且，互斥．
易知，，  ， ．
．
故选：．
设事件为“任取一件为次品”，事件为“任取一件为厂的产品”，，，利用全概率公式 即得解．
本题主要考查相互独立事件的概率，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：数列满足，且对于任意正整数，都有成立，
，，
，
，
．
数列的通项公式．
，
故选：．
由已知的递推关系式求得首项以及通项公式，进而求解结论．
本题考查了等比数列的通项公式、递推式的意义等基础知识与基本技能，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对于：无穷等差数列为递增数列，故，由于的符号无法确定，故A错误；
对于：当时，，此时数列单调递增，不存在最大项，故B错误；
对于：由于，所以，当时，数列不一定单调递增，故C错误；
对于：由于等差数列为递增数列，所以，若时，当比较大时，，即一定存在正整数，当时，，若时，显然存在正整数，当时，，故D正确．
故选：．
直接利用数列的通项公式和等差数列的前项和公式的应用及作差法的应用判断、、、的结论．
本题考查的知识要点：数列的单调性的应用，数列的通项公式和前项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由于图象在第二、四象限，而选项A、对应的函数图象经过第一象限，故排除、；
当时，在内的极大值点和极小值点分别为，，
当时，在内极大值点和极小值点分别为，故选项C错误，D正确．
故选：．
首先考虑图象所在的象限，再求函数的导数，判断极值点，由排除法可得结论．
本题考查函数的图象的判断，以及导数的运用，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由，得，故为偶函数，对；
当时，，，所以单调递减，故正确；
当时，令，
所以在上单调递减，
又因为，
所以在上无零点，
又因为为偶函数，
所以在上无零点，故错误；
由可知，函数只有最大值为，此时，故错误．
故选：．
根据函数的表达式满足的关系可判断；
根导数的正负判断的单调性，进而可判断；
根据函数的单调性判断；
根据函数的单调性判断．
本题考查了函数的奇偶性、对称性及导数的综合运用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对函数求导可得，
故，
故答案为：．
本题主要考查利用求导公式对函数求导，属于基础题．
本题主要考查利用求导公式对函数求导，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，，解得，
．
故答案为：．
根据已知条件，结合等比中项的性质，即可求解．
本题主要考查等比中项的性质，属于基础题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得，服从两点分布，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合两点分布的方差公式，即可求解．
本题主要考查两点分布的方差公式，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得，的可能取值为，，，
，，，
故E．
故答案为：．
由题意可得，的可能取值为，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，由数列的构造规律，得：
，，，，
，其余项为，
对于，当时，，，
当时，，则有，故错误；
对于，前项中，，，，，，其余项为，
则，，，，的值均为，
，故正确；
对于，当时，，，故正确；
对于，当时，，
当时，，
则在前项中，不是的项有，，，，，，，，，，其余项都是，
则，故正确．
故答案为：．
根据题意，分析可得数列中，有，其余项为，据此依次选项，能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查简单的归纳推理、数列的构造规律等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

16.【答案】解：因为等差数列中，，，
所以，
解得，，
所以；
证明：由知，
所以，
即数列是以为公比的等比数列；
Ⅲ数列的前项和． 

【解析】由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解；
结合等比数列的定义即可证明；
利用分组求和，结合等差数列与等比数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式的应用，还考查了等比数列的定义及求和公式的应用，分组求和方法的应用，属于中档题．
 

17.【答案】 

【解析】解：Ⅰ，，，
切线的方程为；
Ⅱ图象如下图所示，

Ⅲ设切点为，则，即，
设，则，
易知函数在，上单调递增，在上单调递减，
又，，则函数有三个零点，即有三个实数根，
所求切线共有三条．
Ⅰ求导，求出切点的斜率，根据点斜式得答案；
Ⅱ作出函数图象即可；
Ⅲ设切点为，只需判断方程的解得个数即可，构造函数，利用导数研究的零点容易得出结论．
本题主要考查利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查数形结合思想及构造思想，属于中档题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图可知，随机抽取一户，估计该户居民月均用电量在以下的概率为．
Ⅱ样本中月均用电量在内的居民有户，
样本中月均用电量在内的居民有户，
则样本中月均用电量在内的居民有户，
抽取到的户月均用电量落在内的个数为，
则所有可能取值为，，，
，，，
故的分布列为：

故E． 

【解析】根据已知条件，结合频率分布直方图，即可直接求解．
Ⅱ由题意可得，所有可能取值为，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：，
当或时，，当时，，
故函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
由知，函数在上单调递增，上单调递减，
又，，，
由题意得，
所以的取值范围为 

【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系可求；
结合函数的单调性分析函数的性质，结合函数性质可求．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数的性质的综合应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：依题意支持方案二的学生中，男生有人、女生人．
所以抽到的是女生的概率．
记从方案一中抽取到女生为事件，从方案二中抽取到女生为事件．
则，．
则的可能取值为、、．
所以．
．
．
所以的分布列为：

所以．
依题意可，所以．
即． 

【解析】利用古典概型的概率公式计算可得．
依题意可得的可能取值为、、，求出所对应的概率，即可列出分布列、求出数学期望．
依题意可得，根据方差的性质计算可得．
本题主要考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于基础题．
 

21.【答案】Ⅰ解：数列，，，，是数列，数列，，，不是数列．
因为数列，，，，中，，构成等比数列，
所以数列，，，，是数列；
因为数列，，，中，，，，，，，，，，，均不能构成等比数列，
所以数列，，，不是数列；
Ⅱ解：不是数列．
假设是数列，
因为是单调递增数列，即中存在的，，，，三项成等比数列，也就是，即，
，两边时除以得，
等式左边为偶数，
等式右边为奇数．
所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得不是数列．
Ⅲ证明：设等差数列的公差为，
则，，
假设存在三项使得，成立，
即，
展开得，
当既是与的等比中项，又是与的等差中项时，原命题成立；
所以中存在，，成等比数列．
所以，数列为数列． 

【解析】Ⅰ根据题中定义判断所给的数列是否在数列即可；
Ⅱ利用反证法，假设存在三项成等比数列后列方程，判断是否有解即可；
Ⅲ假设存在三项成等比数列后列方程，找出一组解即可证得题中的结论．
本题主要考查数列中的递推关系，数列中的新定义及其应用等知识，属于中等题．