吉林市普通高中2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试卷（解析版）

这是一份吉林市普通高中2024-2025学年高二上学期期中调研测试数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了 直线的倾斜角为， 圆与圆的位置关系为， 若直线与直线平行，则实数， 已知椭圆，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题，直线方程可化为，
则斜率为，所以倾斜角为，
故选:C.
2. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 相离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】D
【解析】因为，所以圆心，半径为，
圆，化为标准方程为：，所以圆心，半径为，两个圆心间的距离为：，所以两圆内切，
故选：D.
3. 若直线与直线平行，则实数（ ）
A. B. 1C. 或1D.
【答案】B
【解析】因为直线与直线平行，
所以，解得.
故选：B.
4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A选项，有，所以共面；
对于B选项，有，所以共面；
对于C选项，假设共面，则有，
即，由此有、、共面，与已知条件矛盾，
所以不共面；
对于D选项，，所以共面.
故选：C.
5. 如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】如图，与椭圆交于点，连结，
由题意可知，的边长为，点是的中点，
所以，，

，所以.
故选：B.
6. 一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的斜率为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】A
【解析】圆的圆心坐标为，半径为1，
点关于轴对称点的坐标为，
根据题意可得，点在反射光线所在的直线上，
设反射光线所在的直线方程为，即，
因为反射光线所在直线与圆相切，
所以，解得或，
故选：A.
7. 已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】C
【解析】椭圆中，.
如图，由得，
∴，
∴当取最小值时，最小.
由题意得，点A为椭圆右焦点，当点为椭圆的右顶点时，，
∴.
故选：C.
8. 如图1，平面四边形中，，垂足为，如图2，将沿翻折至，使得平面平面，若点为线段上的动点，则点到直线距离的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为平面平面，平面，
平面平面，，
所以平面，平面，则，又，，
以点为坐标原点，分别为轴建立如图空间直角坐标系，连接，
则P0,0,1，，设，，
所以，，设与的夹角为，
，则，
所以点到直线的距离为，
由，则，所以，
所以点到直线距离的最小值为.故选：D.

二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知椭圆，下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的长轴长是
B. 椭圆的短半轴长是4
C. 经过椭圆焦点的最短弦长是
D. 椭圆的焦点坐标分别是
【答案】AC
【解析】因为椭圆方程为，所以，，则，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，
经过椭圆焦点的最短弦长为，焦点坐标为，，
所以A正确，B错误，C正确，D错误.
故选：AC.
10. 如图，在平行六面体中，，与的交点为，设，则（ ）

A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由题意可知，.
对于A，，
故A正确、B不正确；
对于C，
故C正确;
对于D，
，故D正确．
故选：ACD.
11. 平面内与两定点距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，它的发现为人类研究土星运行轨迹提供莫大帮助．已知平面内有一卵形线，则（ ）
A. 曲线过原点
B. 曲线既是中心对称图形又是轴对称图形
C. 曲线上点的横坐标的取值范围是
D. 曲线上任意一点到原点距离的取值范围是
【答案】BCD
【解析】A.把代入不成立，选项A错误.
B.把代入得，
，
曲线关于轴对称；
把代入得，
，
曲线关于轴对称；
把代入得，
，
曲线关于原点中心对称.
曲线既是中心对称图形又是轴对称图形，选项B正确.
C. ∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，∴，
∴曲线上点的横坐标的取值范围是，选项C正确.
D. 设曲线上任意一点，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，选项D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12. 点到直线的距离为______．
【答案】
【解析】运用点到直线距离公式,得到.
13. 由直线上的一点向圆引切线,切点分别为，则四边形面积的最小值为_____.
【答案】
【解析】由题意知，圆的圆心，半径,
两切线关于对称，
四边形面积为，
当时，最小，此时，
四边形面积的最小值为.
14. 在空间直角坐标系中，过点且一个方向向量为的直线方程为，过点且一个法向量为的平面方程为．现已知直线的方程为，则直线的一个方向向量__________，若平面经过点且同时垂直于平面与平面，则直线到平面的距离为__________．
【答案】（此空答案不唯一，均可）
【解析】由题意可知，直线的方程，即，
则其一个方向向量，且过点，
又平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
且平面同时垂直于平面与平面，
设平面的法向量为，
则，解得，取，则，
所以平面的法向量为，
又平面经过点，则，
所以直线到平面的距离为.
四､解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知圆经过点，且圆心在直线上．
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆的交点为，求．
解：（1）（法一）设圆的标准方程为，则圆心为．
由题意可得解得,
圆的标准方程为．
（法二）由题意可得中点为，
线段的垂直平分线为，即，
圆心在直线上，联立
解得即圆心为，
圆的半径
圆的标准方程为．
（法三）设圆的一般方程为，
则圆心为．
由题意可得
解得,
圆的一般方程为，
即圆的标准方程为．
（法四）设圆心，
整理，得圆心．
圆的标准方程为．
（2）由（1）知，圆心到直线的距离为
圆的半径．
16. 如图，在三棱柱中，平面，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．

（1）求证：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：（法一）
在三棱柱平面，平面平面，
平面平面，
平面，
为中点，，
平面平面，
平面

（法二）
以为原点，分别以所在直线分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
，
，
所以．

（2）解：依题意，是平面的一个法向量，
，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则．
则，即，
取，则，
平面的一个法向量为
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
17. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与椭圆的交点为，点为坐标原点，且的面积为，求直线的方程．
解：（1）离心率，即
，，椭圆的方程为．
将代入得，所以的标准方程为．
（2）（法一）设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立消去，得．
则，化简得，
由韦达定理得，
，
解得或或1或．
直线的方程为或或或．
（法二）设Ax1,y1,Bx2,y2，
联立消去，得．
，化简得，
由韦达定理得，
由弦长公式可得
，
原点到直线的距离为．
，
解得或或1或．
直线的方程为或或或．
18. 已知点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为．
（1）求曲线的方程；
（2）求的取值范围；
（3）已知点，若直线与直线的斜率分别为，求的值．
解：（1）连接，则．设点圆的圆心，半径为4，，

点轨迹是以为焦点的椭圆，长轴长，焦距，
曲线的方程为．
（2）（法一）分以下两种情况讨论：
①若直线与轴重合，则；
②若直线不与轴重合，设直线的方程为，设点Ax1,y1,Bx2,y2，
联立，消去，得，
则，
由韦达定理得，
由弦长公式可得
，
，则．
综上所述，的取值范围是．
（2）（法二）分以下两种情况讨论：
①当直线的斜率不存在时，，
不妨设；
②当直线斜率存在时，设直线的方程为y=kx-1，设点Ax1,y1,Bx2,y2，
联立，消去，得，则，
由韦达定理得，
由弦长公式可得
，
．
综上所述，取值范围是．
（2）（法三）分以下两种情况讨论：
①若直线与轴重合，则
②若直线不与轴重合，设直线的方程为，
设点，，
联立，消去，得，
则，
由韦达定理得，
，则．
综上所述，的取值范围是．
（3）（法一）分以下两种情况讨论：
①若直线与轴重合，点都在轴上，
②若直线不与轴重合，
由（2）知，直线的方程为，点Ax1,y1,Bx2,y2，
，
综上所述：．
（法二）分以下两种情况讨论：
①若直线与轴垂直，直线与直线关于轴对称，；
②若直线不与轴垂直，由（2）知，直线的方程为y=kx-1，
设点Ax1,y1,Bx2,y2，
综上所述：．
19. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且分别为的中点．

（1）求证：平面；
（2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在平面内是否存在点，满足？若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由．
（1）证明：（法一）如图：连接，
中，为等边三角形．
为中点，，且，
底面为菱形，所以，
为等边三角形．
为中点，，且，
，
平面，
平面，

（法二）如图：连接，中，为等边三角形，
为中点，，且，
底面为菱形，，
为中点，，
在中，由余弦定理得：
，
即，
平面，平面.
（2）解：由（1）知：，
如图：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
，
分别为的中点，，
，
，
，
设平面的一个法向量为，则．
则，所以，取，则，
平面的一个法向量为．
平面的一个法向量为，
则，
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则．
即直线与平面所成角的正弦值为．
（3）解：（法一）存在点，使．
理由如下：点在以线段中点为球心，2为半径的球面上．，
设平面的一个法向量为，则．
则，则，取，则．
平面的一个法向量为．
点到平面的距离为．
，记，
在平面内存在点，且点的轨迹是半径为的一个圆，
即点的轨迹长度为．
（法二）存在点，使．
理由如下：点在以线段中点为球心，2为半径的球面上．
是的中点，
点到平面的距离是到平面的距离的．
设点到平面的距离为，连接，
在中，
由余弦定理得：
即，
，
即，
，
．
，
即点到平面的距离为，
点到平面的距离为．
，记，

在平面内存在点，且点的轨迹是半径为的一个圆，
即点的轨迹长度为．