重庆市巴蜀中学2026届高三上学期一模考试数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份重庆市巴蜀中学2026届高三上学期一模考试数学试卷含解析（word版+pdf版），文件包含2026届重庆市巴蜀中学高三上学期一模考试数学试题解析版docx、2026届重庆巴蜀中学高三上学期一模考试数学试题pdf、2026届重庆巴蜀中学高三上学期一模考试数学答案pdf等3份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.等差数列 中, ,则
A. 3 B. 6C. 9 D. 12
【答案】B
【解析】.
2.已知抛物线 的准线刚好平分圆 的周长，则抛物线的焦点坐标为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆心为 ,故抛物线准线为 ,故焦点为 .
3.从1,2,3,4,5,6,7这 7 个数字中依次不放回地随机选取两个数字,记事件 : “第一次抽到的数字是奇数”,事件 : “第二次抽到的数字是偶数”,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】.
4.边长为 2 的等边三角形 的外心为 ,则
A. -2 B. 2C. D.
【答案】A
【解析】易知, ,故 .
5.正三棱柱 中, ,则异面直线 与 所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】建系,利用公式可得 .
6.任何一个复数 都可以表示成 的形式,通常称为复数的三角形式. 法国数学家棣莫弗发现: ,我们称这个结论为棣莫弗定理. 则 的值为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】.
7.已知双曲线 的左、右焦点分别为 为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为 ,连接 并延长交 轴于点 ,若 ,则双曲线的离心率为
A. B. C. D. 4
【答案】C
【解析】由 和角平线定理知: ,由双曲线定义知: , 故 ,又由 ,可得 ( 为内切圆半径),又由 ,得 ,故 .
8.关于 的方程 有两个不同的解,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】方程整理为 ,令 ,显然为单调递增函数,故方程简化为 有两个解,即 ,令 ,对 求导可知, 在 上单减, 上单增且 ,故 ,则 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列命题中, 正确的有
A. “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件
B. 若 ，则
C. 若实数 满足 ，则 的最小值为
D.
【答案】BD
【解析】对于 ,令 可知, 错误; 对于 : 由糖水不等式知, 正确 (或者进行作差比较); 对于 : 由均值不等式知: 错误; 对于 : 由指对数函数易知 , D 正确.
10.已知 ,则下列结论正确的有
A.
B.
C.
D. 中, 与 最大
【答案】ACD
【解析】令 ,可得 ,故 正确; 令 ,可得 ,令 ,可得 ,两式相减得 ,故 正确; 由于 ,故 ,令 ,可得 ,故 B 错误; 由 ,解得 ,故 D 正确.
11.已知正项数列 满足 ,则下列说法正确的是
A. B. 存在 ,使得
C. D.
【答案】ABD
【解析】由 可知, ,故数列 为等差数列,且 ,故 ,则 ,故 ,故 A 正确; 由等差数列前 项和公式得: ,故 错误; 由 ,那么 ,解得 ,故 B 正确; 对于 选项: 由 可得 ,化简为 ,令 ,得 ,即 ,则 ,故 D 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知集合 ，集合 ，则 ________.
【答案】
【解析】集合 ,集合 ,故 .
13.据调查,某高校大学生每个月的生活费 (单位: 元) 服从正态分布 ,又 ,已知该校大学生人数较多,现从该校所有学生中,随机抽取 10 位同学, 则这 10 位同学中，每月生活费不低于 1500 的人数大约有_______人.
【答案】 8
【解析】由正态分布 得, ,那么随机抽取 10 位同学中,满足条件的同学人数为 ,那么 ,故 .
14.若 中, ,点 满足 且 ,则 的取值范围为________.
【答案】
【解析】由题知: ,两边平方得: ,又由余弦定理知: ,两式相除得: ,令 ,上式化简为 ,令 ,上式化为: ,由 ,可得 ,那么 ,即 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知 中,角 的对边分别为 的面积为 且满足
(1)求角 的大小；
(2)若 的平分线交 于点 ，且 ，求 的面积 .
【解析】(1) 由余弦定理知: ,
又由于 ,
那么 ,
化简为 ,即 ,
那么 ,
则 ,即 .
(2)由 可知: ，
即: ,
又由余弦定理得: ,即 ,
联立方程可得: ,
所以 .
16.如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ， ， 为线段 上一点，且满足 ，记平面 平面 .
(1)求证: ；
(2)若直线 与 交于点 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】(1)证明:因为 ， 平面 ，
所以 平面 .
又由于平面 平面 ,所以 .
(2)解:由(1)问可知: ，过点 作 ， 交 于点 ,
以 为原点， ， ， 分别为 轴， 轴， 轴， 如图建系:
那么可得 ,
设平面 的一个法向量为 ,则 ,可得 ,
令 ,可得 ,
记直线 与平面 所成角为 .
17.函数 .
(1) 令 ,若函数 存在唯一零点,求实数 的取值范围;
(2)若 ，求函数 的值域.
【解析】(1) ,
由 得: ,
因为 ,所以 ,由函数 可得:
由图可知: 或 ,
即 或 .
(2)由 ，
当 时, ,
所以 ,故函数 在 上单调递减;
当 时, ,
所以 ,故函数 在 上单调递增.
又由于 ,
故 的值域为 .
18.平面直角坐标系 中, ,其中 ,直线 与直线 交于点 的轨迹为椭圆 的一部分.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率为 的直线 与 交于 两点，
(i) 若 ,求实数 的取值范围;
(ii) 已知点 ,直线 与 分别交于另一点为 ,令直线 的斜率为 ,求 的值.
【解析】(1) 直线 的方程为: ,直线 的方程为: ,
两式相乘得: ,化简得椭圆 的方程: .
(2)(i)设直线 的方程为: ，记 ， ，
由 消元可得: ,
即 ,解得 ,
又 ,

由 可得:
由于 ,故 ;
(ii) 由于 三点共线,所以 ,
即 ,整理有 ,
设 ,由 消元可得: ,
所以 ,又由 ,
可得 ,
所以 ,
同理可得: ,
那么 ,
将 代入上式: ,
故 .
19.元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包人框, 并制定了两个小游戏, 且每位参与者只能参加其中一项游戏, 规则如下:
游戏一:参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到 2 次，则游戏立即结束并获奖，若投掷 次 后仍未累计命中 2 次，则游戏结束，无法获奖；
游戏二:参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得 1 分，未命中记得-1 分，当累计得分达到 3 分, 则游戏立即结束并获奖, 当累计得分达到 -3 分, 游戏立即结束, 无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏,且每位同学每次投掷是否命中相互独立. 已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为 ；乙同学参加游戏二，每次命中率为 .
(1)当 时，记甲同学投掷次数为 ，求 的分布列及期望；
(2)当 时，求甲同学获奖的概率(用含 的表达式表示)；
(3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过 4 次的概率为 ；若乙同学获奖概率不小于 ，求 的最小值.
【解析】 (1) 由题可知: 的取值可能为2,3,4,
故 的分布列为
所以 .
(2)记事件 : 甲同学获奖,
显然, ,设 表示甲抛掷的次数,若甲投掷 次并获奖,
则 ,
所以 ,
令 ,
所以 ,
两式相减: ,
,
即 ,
所以 .
(3)记 表示乙同学的得分， ，记事件 :乙同学获奖，
表示乙同学得分为 分时,最终获奖的概率,显然 ,
又 ,
由全概率公式知: ,
所以 ,
那么
即 ,
同理: ,
累加有 ,
所以 ,
即 ,即 ,
即 ,
由甲同学获奖时,投掷次数不超过 4 次的概率为 得: ,
由 ,即 ,解得 ,
故 的最小值为 .2
3
4