贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市、贵定县2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题 Word版含解析

这是一份贵州省黔南布依族苗族自治州都匀市、贵定县2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题 Word版含解析，共15页。试卷主要包含了答题前将姓名等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1、本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2、答题前将姓名、准考证号、座位号准确填写在答题卡指定的位置上.
3、选择题须使用2B铅笔将答题卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂；非选择题在答题卡上对应位置用黑色墨水笔或黑色签字笔书写.在试卷、草稿纸上答题无效.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用列举法表示集合，再利用补集的定义求出结果.
【详解】依题意，，所以.
故选：B
2. 已知向量，.若，则（ ）
A. B. C. D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示列式计算得解.
【详解】向量，，由，得，所以.
故选：C
3. 样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（ ）
A. 16B. 19C. 20D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】利用百分位数的定义进行求解.
【详解】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数.
故选：C.
4. 曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积.
【详解】由，求导得，则，而，
因此曲线在点处的切线为，该切线交于点，交轴于点，
所以该切线与两坐标轴围成三角形的面积.
故选：A
5. 若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出圆心到直线的距离，再利用圆的性质求出最小值.
【详解】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
即直线与圆相离，又点在该圆上，
所以点到直线的距离的最小值为.
故选：A
6. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算得解.
【详解】由，得，即，解得，
所以.
故选：C
7. 三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（ ）
A. ，，，B. ，，，
C. ，，，D. ，，，
【答案】D
【解析】
【分析】求出函数的导数，结合函数的图象特征确定各项系数的正负.
【详解】函数，求导得，
观察函数图象，得函数有异号两个极值点，且，
函数在上单调递增，在上单调递减，，排除A；
由，得则，，得，排除C；
由不等式的解集为，得，即，排除B；
又是方程的二根，，则，选项D符合题意.
故选：D
8. 通常用小时内降水在平地上的积水厚度（单位：）来判断降雨量的大小，如下表：
某同学用如图所示的圆台形容器接了小时雨水，则这小时内降雨的等级是（ ）

A. 中雨B. 大雨C. 暴雨D. 大暴雨
【答案】A
【解析】
【分析】利用圆台的体积公式得到容器内的雨水体积，然后求降雨厚度判断降雨等级即可.
【详解】作圆台的轴截面如图，

由题意得，，，
所以容器内雨水的体积，
所以小时内降水在平地上的积水厚度为，
因为，所以这小时内降雨等级是中雨.
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.下列说法正确的是（ ）
A. 数列为等差数列B. 若，，则
C. 数列为等比数列D. 若，则数列的公比为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用等差数列前项和公式，结合定义判断A；利用等差数列片断和性质计算判断B；利用等比数列定义及前项和计算判断CD.
【详解】对于A，令等差数列公差为，则，，
为常数，数列为等差数列，A正确；
对于B，等差数列中，成等差数列，则，解得，B错误；
对于C，令等比数列的公比为，则，为常数，数列为等比数列，C正确；
对于D，等比数列的公比为，由，得，
则，而，解得，D正确.
故选：ACD
10. 函数的部分图象如图所示.下列说法正确的是（ ）

A. 函数y=fx在区间上单调
B. 函数y=fx在区间上有两个极值点
C. 函数y=fx的图象关于点中心对称
D. 函数y=fx的图象与直线在区间上有两个公共点
【答案】BD
【解析】
【分析】根据图象得到，然后代入的方法判断ABC选项，将的图象与直线的交点个数转化为方程的根的个数，然后解方程判断D选项.
【详解】由图象可知，最小正周期，
所以，
将，代入中得，
结合，解得，
所以，
，则，因为在上不单调，
所以在上不单调，故A错；
，则，
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在有两个极值点，故B正确；
，所以不是的对称中心，故C错；
令，解得或，
因为，所以或，所以的图象与直线在上有两个公共点，故D正确.
故选：BD.
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.若抛物线在点，处的切线的斜率分别为，，且抛物线的准线与轴交于点，则下列说法正确的是（ ）
A. 的最小值为4
B. 若，则
C. 若，则直线的方程为
D. 直线倾斜角的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出直线的方程，并与抛物线方程联立，借助韦达定理求出关系式，利用抛物线定义结合基本不等式求解判断AB；利用导数求出切线斜率求解判断C；求出直线的斜率范围判断D.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，，
显然直线的斜率存在，设其方程为，，
由消去得，显然，，
对于A，，
当且仅当时取等号，A正确；
对于B，由选项A知，，而，因此，B正确；
对于C，由，求导得，则，
由，得，则，解得，直线的方程为，C错误；
对于D，直线的斜率，，当且仅当时取等号，
则或，因此直线的倾斜角，
直线的倾斜角的最小值为，D正确.
故选：ABD

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知是虚数单位，复数满足，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的除法法则计算得到，然后求即可.
【详解】，
所以.
故答案为：.
13. 的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)
【答案】
【解析】
【分析】求得二项展开式的通项，结合通项确定的值，代入即可求解.
【详解】由题意二项式展开式的通项为，
令，可得展开式的常数项为.
故答案为：.
14. 已知集合为不超过的正整数，.若，，则的最大值与最小值之和为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分析可得对于的最小值，要尽可能让每一项取较大值，对于的最大值，要尽可能让每一项取较小值，结合等差数列的求和公式代入计算，分别求得的最小值以及最大值，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，且，，
对于的最小值，要尽可能让每一项取最大值；
对于的最大值，要尽可能让每一项取最小值；
当尽可能取大的值时，会取到最小值，
当时，n取到最大值，最大值为60；
当时，因为，，
所以取时，，
此时n恰好取到最小值，
综上的最大值为，的最小值为，
则的最大值与最小值之和为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合定义的理解以及数列求和的内容，难度较大，解答本题的关键在于分析出对于的最小值，要尽可能让每一项取较大值，对于的最大值，要尽可能让每一项取较小值，即可得到结果.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，，.
（1）求和；
（2）已知点在线段上，且平分，求的长.
【答案】（1），
（2）.
【解析】
【分析】（1）弦化切求出，再利用余弦定理求出.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式列式求出.
【小问1详解】
在中，由，得，而，则，
由余弦定理，得，即，即，
而，所以.
【小问2详解】
由（1）知，，由平分，得，
即，则，即，
所以.
16. 已知函数.
（1）讨论函数单调性；
（2）若当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论导数值正负即可.
（2）由（1）可得的最小值，再结合函数值的变化情况求出最小值小于0的的范围.
【小问1详解】
函数的定义域为R，求导得，
当时，，函数在R上单调递减；
当时，由，得；由，得，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的单调递减区间是；
当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，
当时，；当时，，
要函数有两个不同的零点，当且仅当，解得，
所以实数的取值范围.
17. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，底面，.

（1）求证：平面平面；
（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理得证.
（2）过作直线，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解.
【小问1详解】
在四棱锥中，由底面，底面，得，
由，得，而平面，
则平面，又平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
过作直线，由底面，得底面，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，

令，又为平行四边形，则，
，
设平面的法向量为，则，取，得，
设平面的法向量为，则，取，得，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆经过点.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的倾斜角为90°，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义求出，进而求出得的标准方程.
（2）根据已知可得直线不垂直于坐标轴，设其方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出直线与轴交点的横坐标即可.
【小问1详解】
椭圆的二焦点为，，点在椭圆上，
则，解得，则，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
依题意，点不在轴上，即直线不垂直于轴，且直线不垂直于轴，否则重合，
设直线方程为，，
由消去得，，
显然，设，由直线的倾斜角为90°，得点，
则，所以，
直线的方程为，
当时，，
所以.
19. 若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①为单调数列；②存在实数，对任意都有成立，则称数列具有性质.
（1）若，，判断数列，是否具有性质，并说明理由；
（2）已知离散型随机变量服从二项分布，，，记为奇数的概率为.
（ⅰ）当时，求，；
（ⅱ）求，并证明数列具有性质.
【答案】（1）不具有，具有，理由见解析；
（2）（ⅰ），；（ⅱ），证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用给定的定义分别判断数列，即可.
（2）（ⅰ）利用二项分布的概率公式求出，；（ⅱ）利用二项式定理求出数列的通项公式，再判断是否满足条件①②.
【小问1详解】
由，得，即是递增数列，而随着的增大，无限增大，
不存在正数，对任意都有成立，数列不具有性质；
由，得，又，则，数列是递减数列，
对任意，，即存在实数，对任意都有成立，
所以具有性质.
【小问2详解】
（ⅰ）当时，，
.
（ⅱ）随机变量的所有可能取值为，
若为奇数的概率为为偶数的概率为，
，
，
两式相减得，当时，，数列单调递减，
因此数列单调递增，且，所以数列具有性质.
【点睛】关键点点睛：本题第2问，利用二项式定理的展开式求出是关键.
降雨等级
小雨
中雨
大雨
暴雨
大暴雨
特大暴雨
积水厚度（）