浙江省绍兴市诸暨市2024-2025学年高二上学期期末数学试题

这是一份浙江省绍兴市诸暨市2024-2025学年高二上学期期末数学试题，共4页。试卷主要包含了对于函数 和 有相同的，已知曲线系 等内容，欢迎下载使用。
注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.已知 为等差数列，根据下列条件不能求出 的是（ ）
A. B. C. D.
4.对于函数 和 有相同的（ ）
A.单调区间 B.最小正周期 C.对称中心 D.最小正零点
5.已知圆 ，直线 与圆交于两点 ，若 为直角三角形，
则（ ）
A. B. C. D.
6.某商场有甲乙丙三款价格相同，单张厚度与宽度也都相同的圆柱体形卷纸.其中甲款卷纸直接绕成圆柱体，
圆柱底面直径为 60mm；乙款卷纸绕在圆柱体空心纸筒上，纸筒直径为 30mm，整个圆柱底面直径为 75mm；
丙款卷纸也绕在圆柱体空心纸筒上，纸筒直径为 40mm，整个圆柱底面直径为 80mm.三款卷纸中，性价比最
高的是（ ）
A.甲 B.乙 C.丙 D.都一样
7.将函数 的图象绕坐标原点顺时针旋转 后第一次与 轴相切，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知曲线系 ： ，离心率为 ，曲线系 ： ，离心率为 ，若
，则（ ）
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最大值为
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.为研究某机器的连续使用时长 （小时）和生产产品的合格率 之间的关系，某课题研究小组采集了 组
数据，绘制散点图如右图所示，并进行线性回归分析，若去掉点 后，下列说法正确的是（ ）
A.经验回归直线的斜率可能不变 B.样本的线性相关程度更高
C.样本相关系数 变小 D.残差平方和变小
10.已知二项展开式 ，下列说法正确的有（ 为虚数单位）（ ）
A. 的展开式中的常数项是 B. 的展开式中的各项系数之和为
C. D.
11.三棱锥 中， ， ， ，且平面 平面 ，记三棱锥
的体积为 ，内切球的半径为 ，则（ ）
A.二面角 大于 B.二面角 小于
C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 ， ，若 与 垂直，则 ____________.
13.若一只电子蛐蛐从三棱柱下底面顶点出发，一次运动中随机去向相邻的另一个顶点，则在 次运动后这
只电子蛐蛐仍停留在下底面的概率是____________.
14.设抛物线 点 是抛物线的焦点，点 在 轴正半轴上（异于 点），动点 在抛物线上，
若 是锐角，则 的范围为____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 .
（1）求角 ；
（2）若 为 的中点，且 ， ，求 的面积.
16.如图，矩形 所在平面与 所在平面垂直， ， .
（1）证明： 平面 ；
（2）若平面 与平面 的夹角的余弦值是 ，且直线 与平面 所成的角的正弦值是 ，
求异面直线 与 所成角的余弦值.
17.已知椭圆 的右焦点 ，过 的直线 交椭圆 于 两点，若
，当 时， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的下顶点为 ， 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值.
18.已知函数
（1）是否存在实数 ，使得 为函数 的极小值点.若存在，求 的值；若不存在，请说明理由；
（2）求证：当 时， 图象上总存在关于原点对称的两点.
19.给出构造数列的一种方法：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按
照同样的方法不断构造出新的数列.现自 1，1 起进行构造，第 1 次得到数列 1，2，1，第 2 次得到数列 1，3，
2，3，1，…，依次类推得到如下的三角形数表：
1 1
1 2 1
1 3 2 3 1
1 4 3 5 2 5 3 4 1
记 表示上表中第 行，第 列的数， 表示上表中第 行所有数字之和（ ，
）.
（1）（i）求 和 ；
（ii）求数列 的通项公式；
（2）记集合 ，把集合 中的元素从小到大排
列，得到新数列为 ，若 ，求 的最大值.