浙江省绍兴市诸暨市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

诸暨市2022-2023学年第一学期期末考试试题

高二数学

注意：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

2.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂､写在答题纸上.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知等差数列的前项和为，首项为，公差为，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标和的模长分别为（    ）

A.    B.    C.    D.

3.若直线被圆所截得的弦长为，则（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知双曲线的左､右焦点分别为，若左支上的两点与左焦点三点共线，且的周长为8，则（    ）

A.2    B.3    C.4    D.6

5.已知正四面体的棱长为为棱的中点，则（    ）

A.    B.    C.    D.

6.已知，则的最小值为（    ）

A.2    B.    C.    D.3

7.已知等比数列的前项和为，则点列在同一坐标平面内不可能的是（    ）

A.    B.

C.    D.

8.在空间直角坐标系中，经过点且一个法向量为的平面的方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为.阅读上面材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，直线的方程为，则直线到平面的距离为（    ）

A.0    B.    C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知直线，下列说法中正确的是（    ）

A.倾斜角为    B.倾斜角为

C.斜率不存在    D.斜率为0

10.记为等比数列的前项和，则（    ）

A.是等比数列    B.是等比数列

C.成等比数列    D.成等比数列

11.若曲线是由方程和共同构成，则（    ）

A.曲线关于直线对称

B.曲线围成的图形面积为

C.若点在曲线上，则的取值区间是

D.若圆能覆盖曲线，则的最小值为2

12.如图所示，在棱长为的正方体中，则下列命题中正确的是（    ）

A.若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到直线的距离之比为2，则动点的轨迹是圆

B.若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到面的距离之比为2，则动点的轨迹是椭圆

C.若点在侧面所在的平面上运动，它到直线的距离与到直线的距离相等，则动点的轨迹是抛物线

D.若点是线段的中点，分别是直线上的动点，则的最小值是

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知直线，直线，若，则__________.

14.已知数列满足：，则__________；__________.

15.已知抛物线的焦点为，点在上，点，若的最小值为5，则__________.

16.圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分和一个“双孔”的椭圆构成（小孔在椭圆的右上方）.如图，椭圆为的焦点，为下顶点，也为的焦点，若由发出一条光线经过点反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于轴射出，由发出的另一条光线经由椭圆上的点反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于轴射出，若两条平行光线间隔，则__________.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本题10分）已知等差数列的公差为2，且成等比数列，

（1）求的通项公式；

（2）记，若数列的前项和.

18.（本题12分）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，右顶点为.

（1）求双曲线的方程；

（2）已知过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程.

19.（本题12分）在一个平面上，，机器人从与点的距离为的地方绕点顺时针而行，在行进过程中机器人所在位置保持与点的距离不变.

（1）若，求它在行进过程中到过点与点的直线的最近距离和最远距离；

（2）若在行进过程中存在某点使得，求的取值范围.

20.（本题12分）如图，在多面体中，已知为等边三角形.

（1）求证：；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

21.（本题12分）已知数列的前项和为.

（1）求及的通项公式；

（2）若对任意的恒成立，求的最小值.

22.（本题12分）已知椭圆，离心率为，右焦点为，抛物线的焦点到其准线的距离为1.

（1）求的标准方程；

（2）若过作斜率为的直线交椭圆于，交轴于的中垂线交轴于，记以弦为直径的圆的面积为的面积为，求.

（3）已知且，若斜率为的直线与椭圆相交于两点，且中点恰在抛物线上.记的横坐标为，求的最大值.

诸暨市2023年2月高二期初考试

数学参考答案

一､单项选择题（每小题5分，共40分）

二､多项选择题（每小题5分，共20分；部分选对的得2分，有选错的得0分）

三､填空题（每小题5分，14题2分分，共20分）

13.    14.，    15.    16.

三､解答题（共70分）

17.（1）由题知

所以.

（2）

18.（1）

所以.

（2）由题知，直线的斜率必存在.设直线方程为：

联立

①当时，上述方程只有一解，符合题意，

所以；

②当时，为使上述方程只有一解即，

化解得：，所以，

所以.

所以，直线方程为：或.

19.（1）设机器人所在位置，

则

所以的轨迹是以为圆心，6半径的圆.

直线的方程为：，即

点到直线的距离为

所以到直线的最近距离为，

到直线的最远距离为.

（2）的轨迹方程为

设中点，

所以以为直径的圆方程

因为，所以也在上.

所以与有公共点，即，

所以，.

20.（1）法1：取中点，连，得，

在正中，取中点，得，

因为，且，

所以四边形为平行四边形.

故，所以.

由，

与为平面内的相交直线，

所以平面.

于是，

与为平面内的相交直线，

所以平面.

建立如图所示的空间直角坐标系，则，

因为，所以.

法2：（传统法：证出平面；）

由平面平面，

得平面平面，

为交线，取中点，连，

易得平面，

所以，

又，

所以，从而平面，

所以.

（2）法1：，

设平面的法向量为，则

同理可求平面的法向量为，

设所求夹角为，则.

法2：（传统法）

作于于，

在中，，

所以.

在中，，

所以.

所以为的中点，

所以，

所以.

所以为平面与平面夹角或其补角.

由与平面得，在中，

.（也可利用余弦定理求得）

21.（1）.

法1：时，，

时上式也符合.

所以，时，，

时上式也符合.

所以，.

法2：，

所以，.

（2）时，

故

所以对任意的均成立，

由于，

所以，故.

22.（1），所以.

所以.

（2），直线的方程为：，

所以，设，

联立

所以，，

所以，.

又的中点.

的中垂线方程为：，

所以，.

所以，.

所以，.

（3）设代入得

作差得：，

由于，所以，

所以且.

于是，，

所以.

又因为得，

而（不符），（不符），（不符），（符合）.

所以的最大值为.