山西省太原市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学 含解析

这是一份山西省太原市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学 含解析，共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：上午8:00-10:00）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分.
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 计算：（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据诱导公式求解即可.
【详解】因为，
根据诱导公式得：，
故选：D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据角的范围与三角函数值的符号的关系，即可判断得出结论.
【详解】易知“”可以推出“”，即充分性成立；
而当时，，此时推不出“”，即必要性不成立，
因此“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
3. 已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数单调性计算限定出的取值范围，可得结论.
【详解】易知，即；
，即，
而，即；
所以可得.
故选：A
4. 函数的零点所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由函数零点存在性定理判断可得答案
【详解】，，
且在单调递增，
由零点存在性定理得函数的零点所在的区间为.
故选：B.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据的值求出和的值，再代入两角和公式求解.
【详解】因为，所以.
又因为，将代入可得：
，即，，.
因为且，所以，.
所以，.
根据两角和公式.
将，代入可得：
.
故选：D.
6. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可由奇偶性，特殊值等排除，判断找到答案.
【详解】，故为奇函数，排除D
，排除A
时，，，故有，
故选：B
【点睛】本题用到了一个结论：
证明如下：
为增函数
故
7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】要使在1,+∞上单调递增，需要在1,+∞上也单调递增且在1,+∞上恒成立.我们将分情况讨论的取值范围.
【详解】当时，此时，这是一个一次函数，其斜率，函数在1,+∞上单调递减，不满足在1,+∞上单调递增的条件，所以.
当时，对于二次函数，其对称轴为.
要使在1,+∞上单调递增，则对称轴，即.
同时，要使在1,+∞上恒成立，即当时，，
解不等式，得到，即.综合起来，.
当时，二次函数的图象开口向下，在1,+∞上不可能单调递增，所以这种情况不符合要求.
综上，实数的取值范围是.
故选；C.
8. 把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变得到的图象，若函数在上没有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图象变换得到，再根据函数在上没有零点，由或求解.
【详解】解：把函数的图象向左平移个单位长度得到，
再把所得图象上各点的横坐标变为原来的（）倍，纵坐标不变得到，
因为函数在上没有零点，
所以或，
解得或，
当时，或，
故选：B
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A. ，的最小正周期都是
B. ，都是奇函数
C. ，在上都是单调递增
D. ，的对称中心相同
【答案】BC
【解析】
【分析】利用周期公式计算可得A错误，根据函数奇偶性定义卡判断B正确，由正弦函数和正切函数单调性可判断C正确，分别求得它们对称中心表达式可判断D错误.
【详解】对于A，易知的最小正周期是，即A错误；
对于B，易知，，
且，的定义域都为R，满足奇函数定义，因此它们都是奇函数，可得B正确；
对于C，当时，，再由正弦函数和正切函数单调性可得C正确；
对于D，令，可得，即；
可得的对称中心为；
而对于其对称中心的横坐标满足，可得，
即的对称中心为，因此，的对称中心不完全相同.
故选：BC
10. 已知函数，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图象过定点B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用对数函数的性质判断A，C，举反例判断B，D即可.
【详解】对于A，当时，，
所以图象过定点，故A正确，
对于B，令，，，此时，
而，
，
，
不满足，故B错误，
对于C，，
而，
因为，所以，故C正确，
对于D，令，，，此时，
此时，，
故，而，故，
得到，即，故，
而,
,
此时不满足，故D错误.
故选：AC
11. 函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的周期
C. 在上递增
D. 若在0,m上恰有4个零点，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数图象以及单调性可得A错误，求得函数解析式可判断，即B正确，再由整体代换以及正弦函数单调性可得C正确，由得出，利用图象可得，可判断D正确.
【详解】对于A，由图可知，且，即，
又，可得或；
因为在点附近的图象呈下降趋势，可得，即A错误；
对于B，由选项A可知，，所以，
所以，解得；
由图可知，可得，又，可得；
所以的周期，即B正确；
对于C，由B可知，当，可得；
由在上单调递增，可得在上递增，即C正确；
对于D，当，可得；
若在上恰有4个零点，可得，解得；
即实数的取值范围是，可得D正确.
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用零点个数并结合函数图象限定得出不等式，即可得出参数的取值范围.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的面积为________
【答案】
【解析】
【分析】利用扇形的面积公式可得结果.
【详解】由已知可得，该扇形的面积为.
故答案为：.
13. 已知，且，则的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】由同角三角函数基本关系以及二倍角公式即可运算求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：.
14. 已知函数，若函数恰有7个零点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】画出函数图象利用换元法转化为方程根的个数，以及函数值域与根的取值范围即可得出实数的取值范围.
【详解】作出函数的图象如下图所示：

令，
因为恰有7个零点，
所以有个不同的根，
令，不妨设，
当时，，
则，此时无解；
当时，，
则或
解得或，
综上，．
故答案为：．
【点睛】方法点睛：求解零点个数问题经常利用函数与方程的思想画出函数图象，将问题转化为图象交点个数即可求解.
四、解答题（本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）求的值；
（2）已知，，请用，表示.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】（1）利用对数的运算性质求解；
（2）易得，，再利用换底公式求解.
【详解】解：（1）
；
（2）∵，，∴，，
∴
.
16. 已知
（1）化简；
（2）若，求下列各式的值：
①；②.
【答案】（1）
（2）①5；②3
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式化简求解；
（2）由，求得，再利用齐次式计算.
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
由（1）得，
∴，
①；
②
.
17. 已知.
（1）求的单调递减区间；
（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域.
【答案】（1）（）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由，再利用正弦函数的性质求解；
（2）先由平移变换得到，再利用余弦函数的性质求解.
【小问1详解】
解：，
由（）得，
∴的单调减区间为（）；
【小问2详解】
由题意得，
∵，∴，
∴，
∴在上的值域为.
18. 已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）单调递增，证明见解析
（3）
【解析】
分析】（1）根据奇函数定义以及函数解析式可得结果；
（2）由函数单调性定义证明即可得出结论；
（3）分离参数可得在上恒成立，再由单调性求得最值可得.
【小问1详解】
设的定义域为，
由题意得对于任意，都有恒成立，
即恒成立，
∴，∴，
当时，无意义；
当时，是定义域为的奇函数.
【小问2详解】
在上单调递增.
证明：设，则
，
∵，
∴，
∴，∴，
∴在上单调递增.
【小问3详解】
原不等式等价于，
令，，
由在上单调递增，
∴，
∴实数的取值范围为.
19. 人脸识别技术在社会各行各业中应用深刻改变着人们的生活.所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则，之间的曼哈顿距离为：.，之间的余弦距离为，其中为，之间的余弦相似度.
（1）若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离；
（2）已知，，，且，.
①求，之间的余弦距离；
②求，之间的曼哈顿距离.
【答案】（1）曼哈顿距离为2，其余弦距离为
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用给定定义求解即可.
（2）利用给定定义结合两角正余弦的和差公式求解即可.
【小问1详解】
由题意得，
，
所以，之间的曼哈顿距离为2，其余弦距离为；
【小问2详解】
①由题意得
，∵，∴，
∵，
∴，∴，
，
，
∴，之间的余弦距离为.
②由①可得，，
∴，
，
∴
，
∴，之间的曼哈顿距离为
.
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后结合两角正余弦的和差公式进行化简，得到所要求的距离即可．