山西省太原市2023_2024学年高二数学上学期期末考试含解析

这是一份山西省太原市2023_2024学年高二数学上学期期末考试含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线在轴和轴上的截距分别为（）
A，2B. ，2C. ，D. ，
2. 圆的圆心坐标和半径分别为（）
A. ，B. ，C. ，3D. ，3
3. 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
4. 平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于（ ）
A. 1B. 0C. D. 3
5. 设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（）
AB. 4C. D. 5
6. 已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（）
A. B. C. D.
7. 在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（）
A. B. C. D.
8. 如图，直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于点，与准线交于点，且，则直线的斜率为（）
A. B. 2C. 3D.
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是（）
A. 点到原点距离为
B. 点到直线的距离为1
C. 不论实数取何值，直线：都经过点
D. 是直线的一个方向向量的坐标
10. 当时，方程表示的轨迹可能是（）
A. 两条直线B. 椭圆C. 圆D. 双曲线
11. 椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. 点到轴的距离为D.
12. 已知为坐标原点，双曲线：（，）左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（）
A. 双曲线的标准方程为B.
C. 双曲线的焦距为D. 点到两条渐近线的距离之积为
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 抛物线的焦点坐标为________.
14. 已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是________.
15. 已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点.当时，，则________.
16. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，若椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为________.
四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）判断的形状.
18. 已知圆的方程为，点在圆内.
（1）求实数取值范围；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程.
19. 已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求双曲线的方程；
（2）若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长.
20. 已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.
21. 已知椭圆：的离心率为，且过点，经过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆分别交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）记椭圆的左、右顶点分别为，，和的面积分别为和，求的最大值.
2023～2024学年第一学期高二年级期末学业诊断
数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 直线在轴和轴上的截距分别为（）
A. ，2B. ，2C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用横纵截距的意义求解即得.
详解】直线，当时，，当时，，
所以直线在轴和轴上的截距分别为，2.
故选：B
2. 圆的圆心坐标和半径分别为（）
A. ，B. ，C. ，3D. ，3
【答案】A
【解析】
【分析】利用给定圆方程直接求出圆心坐标及半径即得.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为.
故选：A
3. 已知双曲线，则该双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线的标准形式结合渐近线方程求解即可.
【详解】因为双曲线方程为：，
所以渐近线方程为：.
故选：D
4. 平行直线l1：3x－y＝0与l2：3x－y＋＝0的距离等于（ ）
A. 1B. 0C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线间的距离公式直接得出结论.
【详解】l1、l2的距离为＝1.
故选：A.
【点睛】本题考查平行线间的距离公式，属于基础题型.
5. 设抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，且点，则的最小值为（）
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设点到准线的距离为，当三点共线时，取得最小值，即可求解.
【详解】解：抛物线的焦点是，准线方程为：，
设点到准线的距离为，则，
如图所示：
当三点共线时，取得最小值，
故选：C
6. 已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则该双曲线的焦距为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】联立解方程，求出交点横坐标，然后列式计算即可.
【详解】联立，消去得，
所以，此时方程的解为，
所以，
解得，符合，
所以双曲线的焦距为.
故选：B.
7. 在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定点在椭圆内部，设交点为，代入椭圆方程做差，然后整理可得直线斜率，利用点斜式可得直线方程.
【详解】因为，故点在椭圆内部，过点的直线恒与椭圆有两个交点，设交点为，则，
又，两式相减得，
整理得，
所以以点为中点的弦所在的直线方程为，
即.
故选：C.
8. 如图，直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于点，与准线交于点，且，则直线的斜率为（）
A. B. 2C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义以及直角三角函数可求.
【详解】过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可得，
在直角三角形中，，，
所以.
故选：A.
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是（）
A. 点到原点的距离为
B. 点到直线的距离为1
C. 不论实数取何值，直线：都经过点
D. 是直线的一个方向向量的坐标
【答案】AD
【解析】
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再逐项计算、判断即得.
【详解】由，解得，则点，
对于A，到原点距离，A正确；
对于B，到直线的距离，B错误；
对于C，，当时，直线不过点，C错误；
对于D，直线的斜率，因此是直线的一个方向向量的坐标，D正确.
故选：AD
10. 当时，方程表示的轨迹可能是（）
A. 两条直线B. 椭圆C. 圆D. 双曲线
【答案】ABD
【解析】
【分析】对所取范围分类讨论，即可求得不同情况下对应的轨迹.
【详解】对方程，
若，则，即，此时该方程表示两条直线与；
若，此时该方程表示椭圆；
若，此时该方程表示双曲线；
综上所述，该方程表示的轨迹可能是两条直线、椭圆或双曲线.
故选：ABD.
11. 椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. 点到轴距离为D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据椭圆的定义和性质，确定焦点三角形的有关结论.
【详解】如图：
因为椭圆的标准方程为：，所以：，，.
因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率，
所以必是：.
根据椭圆的定义，，故A正确；
在中，，，
由余弦定理：，故B错误；
由，到轴的距离为：，故C正确；
，故D错误.
故选：AC
12. 已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，为双曲线上一点，平分，且，，则下列结论正确的是（）
A. 双曲线的标准方程为B.
C. 双曲线的焦距为D. 点到两条渐近线的距离之积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】不妨设为双曲线的右支上一点，延长交于点，根据三角形全等进而得，，再结合双曲线的定义，中位线定理得，由离心率求出可得双曲线方程可判断ABC；设，则，求出点到两条渐近线的距离之积可判断D.
【详解】对于A，不妨设点在双曲线的右支上，延长相交于点，
因为平分，且，所以，
在中，，所以，
所以，，
即为线段的中点，可得为的中位线，
根据双曲线的定义，
因为为的中位线，所以，即，
离心率为，可得，所以，
所以双曲线的标准方程为，故A错误；
对于B，因为为的中位线，，即，故B正确；
对于C，因为，所以双曲线的焦距为，故C正确；
对于D，双曲线的标准方程为，
所以渐近线方程为，即，
设，则，即，
点到两条渐近线的距离之积为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于延长相交于点，结合几何关系得到为的中点，进而求得双曲线的解析式.
三、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分）
13. 抛物线的焦点坐标为________.
【答案】
【解析】
【分析】确定抛物线的标准方程，即可求得答案.
【详解】由抛物线方程，可知抛物线标准方程为，
其焦准距，焦点在x轴负半轴上，
故其焦点坐标为，
故答案为：
14. 已知圆的一条直径的两个端点坐标分别为，，则圆的方程是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据中点坐标公式求得圆心坐标，结合两点之间的距离公式即可求得半径，则问题得解.
【详解】根据题意，，即圆心坐标为；
则圆的半径，
故所求圆的方程为：.
故答案为：.
15. 已知是抛物线上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点.当时，，则________.
【答案】
【解析】
【分析】过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为，结合条件及抛物线的定义可求得，在中，利用余弦即可求出结果.
【详解】由抛物线的对称性，不妨设在第一象限，
过作准线的垂线，过作的垂线，垂足分别为．如图所示，
由题意知，因，易知，
又点到准线的距离为：，解得，
在中，，，
由余弦定理得，
所以，
故答案为：.
16. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，，若椭圆上两点，满足，且，则椭圆的离心率为________.
【答案】##
【解析】
【分析】向量坐标化得Q的坐标，代入椭圆方程计算求解离心率.
【详解】根据椭圆性质，，，则，则点位于轴上，
设，，其中，
设，由于，得：，即，
代入椭圆得：，即，解得离心率.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）判断的形状.
【答案】（1）；
（2）是等腰直角三角形.
【解析】
【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
（2）求出直线的斜率，结合（1）中信息及两点间距离公式计算判断即得.
【小问1详解】
依题意，直线的斜率，则直线的方程为：，
化简得：.
【小问2详解】
直线的斜率，显然，即，是直角三角形，
又，则是等腰三角形，
所以是等腰直角三角形.
18. 已知圆的方程为，点在圆内.
（1）求实数的取值范围；
（2）求过点且与圆相切的直线的方程.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）利用点与圆的位置关系列出不等式，求解不等式即得.
（2）按切线斜率存在与否分类求出切线方程.
【小问1详解】
圆：的圆心，半径
由点在圆内，得，解得，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
显然点在圆外，圆的切线经过点，圆心到直线的距离为2，
则直线是过点的圆的切线；
当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为，
由，解得，切线方程为，即，
所以圆的切线方程为或.
19. 已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合.
（1）求双曲线方程；
（2）若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标得双曲线半焦距c，再求出即可.
（2）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出弦长，再借助双曲线定义求解即得.
【小问1详解】
拋物线的焦点坐标为，则双曲线的半焦距，由，得，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由（1）知，直线的方程为，设，，
由，得，显然，
则，，，
因此，
所以的周长为.
20. 已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，可求得p的值，即得答案；
（2）设出直线CD的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，化简，即可证明结论.
【小问1详解】
由题意点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.
得，解得，
故抛物线的方程为.
【小问2详解】
证明：设直线的方程为，，，
由，得，，.
，
，即直线关于x轴对称，
故.
21. 已知椭圆：的离心率为，且过点，经过右焦点的直线（斜率不为0）与椭圆分别交于、两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）记椭圆的左、右顶点分别为，，和的面积分别为和，求的最大值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出满足的等量关系，求得，则方程得解；
（2）设出直线的方程为，联立椭圆方程，结合韦达定理，用参数表达，利用基本不等式，即可求得结果.
【小问1详解】
由方程组解得，，
故椭圆的方程为.
【小问2详解】
由题知，直线经过点，且斜率不为0.
设直线的方程为，，，
由得，
显然，，
又，
，
当时，
当时，，
当且仅当时，等号成立.
综上所述，的最大值为.
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中三角形面积的问题；处理第二问的关键是合理转化为，再利用韦达定理和基本不等式解决问题.