山西省晋中市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学 含解析

这是一份山西省晋中市2024-2025学年高一上学期期末考试 数学 含解析，共17页。试卷主要包含了 已知，，则， 已知，，则下列判断错误的是， 已知函数有唯一零点，则， 已知，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据诱导公式化简求值即可.
详解】，
故选：B
2. 若集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合、，利用补集的定义可得出集合.
【详解】因为，，
故.
故选：C.
3. 已知函数，，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式可求得函数的最小值.
【详解】当时，，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，函数的最小值为.
故选：A.
4. 在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据血液药物含量变化，结合函数单调性变化可判断.
【详解】在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．
故选：B．
5. 以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形，如图.已知某勒洛三角形的三段圆弧的总长度为，则该勒洛三角形的面积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用弧长公式与扇形面积公式计算即可.
【详解】设等边三角形的边长为，
所以，可得，
因此等边三角形的面积为，扇形面积为；
则对应的弓形面积为,
所以该勒洛三角形的面积为.
故选：D
6. 已知，，则（ ）
A. B. 4
C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用和差角的正弦公式，结合同角公式计算得解.
【详解】依题意，，，
联立解得，
所以.
故选：D
7. 已知，，则下列判断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数函数的单调性可判断AC选项；求出、的范围，结合不等式的基本性质可判断B选项；利用对数的运算性质结合对数函数的单调性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为对数函数在0,+∞上为增函数，
则，A对；
对于B选项，因为对数函数在0,+∞上为增函数，
则，，
即，，所以，，B错；
对于C选项，，即，C对；
对于D选项，，D对.
故选：B.
8. 已知函数有唯一零点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析函数的对称性，可得出，即可得出实数的值.
【详解】因为函数的定义域为，
，
所以，函数的图象关于直线对称，
因为函数有唯一零点，则，解得.
故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用特殊值法可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，在不等式的两边同时除以可得，A对；
对于B选项，，则，B错；
对于C选项，因为，则，则，
因为对数函数为上的增函数，则，C对；
对于D选项，取，，，则，D错.
故选：AC.
10. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的图象为轴对称图形
B. 若在区间上单调递减，则m的取值范围是
C. 若的值域为，则m的取值范围是
D. 若关于x的方程有且仅有3个实数解，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】设.对于A：根据二次函数对称性分析判断；对于B：可知在区间上单调递增，且在区间上恒成立，进而列式求解即可；对于C：可知的值域包含，进而列式求解；对于D：分析可知与、共有3个交点，进而分析求解.
【详解】设，
对于选项A：若，可知的图象为轴对称图形，
所以的图象为轴对称图形，故A正确；
对于选项B：因为在区间上单调递减，且在定义域内单调递减，
可知在区间上单调递增，且在区间上恒成立，
显然不合题意，则，
可得，解得，
所以m的取值范围是，故B错误；
若的值域为，可知的值域包含，
若，的值域为，符合题意；
若，则，解得，
综上所述：m的取值范围是，故C正确；
对于选项D：因为，可得或，
可知与、共有3个交点，
可知的最值为为或2，且，
则，解得，故D正确；
故选：ACD.
11. 已知函数fx=Asinωx+φ（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）

A
B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上有且只有2个零点
D. 若（），则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由函数图象求出的解析式，再根据特殊点的三角函数值计算可得A错误，由对称性可判断B正确，利用三角函数图象性质可得C正确，由周期性可得当，则正确，即D正确.
【详解】根据图象可知，又易知图象过点，
即，即，又，可得；
由对称性可知函数的对称轴为，即的图象关于直线对称,即B正确；
由图可知周期为，可得；
又，所以，
结合图象可得，解得
因此当时，符合题意，即，所以A错误；
所以，令，可得，
即，
又，可得时，则，即在区间上有且只有2个零点，可得C正确；
若（），则；
因此，显然当时，，即D正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数图象由对称性以及周期范围求得解析式，再由正弦函数性质判断可得结论.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 化简：__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式可化简所求代数式.
【详解】.
故答案为：.
13. 已知（），则__________.
【答案】16
【解析】
【分析】换元令，可得，运算求解即可.
【详解】因为，且，
令，则，
可得，整理可得，解得或（舍去），
即，所以.
故答案为：16.
14. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有__________个.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数新定义得，结合方程得求范围，然后对的范围进行分类讨论，求出的值，然后解方程gx=0即可.
详解】由题意，则，
所以，
令，则，所以，
由可得，解得或，
由可得，解得，
所以，或，
当时，，此时，，
由gx=0可得或（舍去）；
当时，，此时，，
由gx=0可得或（舍去）；
又因为，
综上所述，函数的零点有个.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据，得出关于的范围，再结合的范围得出的可能取值，结合代数法求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知非空集合，.
（1）若，求，；
（2）若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，再由交集、并集的运算可得结果；
（2）根据题意可知，限定出不等式关系解不等式可得结果.
【小问1详解】
若，可得，
又，
所以，.
【小问2详解】
若是的必要不充分条件，则，
所以，解得，即，
所以a的取值范围为.
16. 为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅的窗洞口面积与地面面积分别为a，b.
（1）若这所住宅的地面面积为100，求这所住宅的窗洞口面积的范围；
（2）若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明理由.
【答案】（1）
（2）变好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果；
（2）利用作差法计算比较出大小，可得结论.
【小问1详解】
因为，所以，
解得，
所以这所住宅的窗洞口面积的范围为.
【小问2详解】
由题意得，，
原来的窗地面积比为，现在的窗地面积比为
则.
因为，，所以.，
所以，即.
所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了.
17. 已知函数是奇函数，且的图象经过点.
（1）求实数、的值；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，，求出、的值，结合题意检验即可；
（2）证明出函数在上是增函数，结合奇函数的性质、同角三角函数的基本关系可得出，求出的取值范围，即可得出的取值范围.
【小问1详解】
对任意的，，则的定义域为，
因为为奇函数，所以，①
又，②
联立①②，得，解得，
经检验，当，时，为定义在上的奇函数，所以，.
【小问2详解】
因为为定义在上的奇函数，
所以等价于.
由（1）知，，任取、且，
则.
由，可知，则，，，
所以，即.
所以在上是增函数.
所以等价于，
由，得上述不等式等价于，
即，解得或，
又，所以，
则，，
所以原不等式的解集为，.
18. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，求在区间上的最值；
（3）在（2）的条件下，若对任意，都存在，使得，求实数a的取值范围.
【答案】（1），
（2），
（3）
【解析】
【分析】（1）由三角恒等变换化简后，根据正弦型三角函数的性质求单调增区间；
（2）求出平移后函数解析式，再由正弦型函数的值域、最值的求法求解；
（3）由题意转化为，分别求不等式两边函数的最大值即可得解.
【小问1详解】
.
令，，得，
所以的单调递增区间为，.
【小问2详解】
根据（1）知，.
令，当时，.
根据正弦函数的性质，当，即时，取得最小值，此时取得最小值；
当，即时，取得最大值1，此时取得最大值2.
所以，.
【小问3详解】
不等式等价于.
令函数，根据题意，有.
由（2）得，由绝对值的几何意义可知，
当时，，由，解得，故；
当时，，由，解得，无解.
综上，实数a取值范围为.
19. 如果函数在其定义域内存在实数，使得（）成立，那么称是函数的“阶梯点”.
（1）判断函数是否有“阶梯点”，并说明理由；
（2）证明：函数有唯一的“阶梯点”；
（3）已知，设函数在上不存在“阶梯点”，求实数a的取值范围.
【答案】（1）否，理由见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知是方程的解，运算求解即可；
（2）可知是方程的解，结合零点存在性定理分析证明；
（3）可知方程在0,+∞上无解，变形构造函数，利用函数有零点分类讨论运算求解.
【小问1详解】
假设有“阶梯点”，则是方程的解，
而方程可化为该方程无实数解
所以函数无“阶梯点”.
【小问2详解】
假设是的“阶梯点”，
则是方程的解，
将该方程化简整理，得.
令函数，显然是R上的增函数，
又，，故存在唯一的使得gx0=0成立，
即函数有唯一的“阶梯点”.
【小问3详解】
由题可知的定义域为0,+∞.
若函数在0,+∞上不存在“阶梯点”，则方程①在0,+∞上无解，
①式即.
由对数运算，得，
化为整式方程，得（）.
令，，
则（），
整理，得（）.
故题意等价于方程（）在时无解.
令函数（），其图象的对称轴为直线.
当，即时，因为恒成立，
所以在1,+∞上有零点，不满足题意；
当且，即时，在1,+∞上单调递增，
，所以在1,+∞上无零点，满足题意；
当且，即时，在1,+∞上单调递减，
，，
所以在1,+∞上有零点，不满足题意；
当，即时，，在时没有零点，满足题意.
综上，实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.