天津市武清区河西务中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版）

这是一份天津市武清区河西务中学2024-2025学年高二下学期4月月考数学试题（原卷版+解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（ ）
A. 6种B. 12种C. 3种D. 9种
3. 从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
4. 公共汽车上有12位乘客，沿途8个车站，乘客下车的可能方式共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
5 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
6. 如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③在区间上是增函数，在区间上是减函数；
④是的极大值点.
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
7. 函数，，下列关于说法中正确的是（ ）
A. 为极小值，为极小值
B. 为极大值，为极小值
C. 为极小值，为极大值
D. 为极大值，为极大值
8. 7名身高各不相同的同学站成一排，若身高最高的同学站在中间，且其每一侧同学的身高都依次降低，则7名同学所有不同的站法种数为（ ）
A. 20B. 40C. 8D. 16
9. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
10. 已知函数，则___________.
11. 已知函数在处有极值10，则等于______．
12. 在的二项式展开式中，项的系数是__________.
13. 由0，1，2三个数字组成的三位数（允许数字重复)的个数为_________.
14. 若函数恰有两个零点，则的取值范围是____________
15. 已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为________.
三、解答题
16. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间.
17. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
18. 已知函数，.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，
（ⅰ）求函数的单调区间；
（ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.
19. 已知函数，．
（1）若在点处取得极值．
①求值；
②证明：；
（2）求的单调区间．
20. 已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3.
（1）求的值；
（2）证明：当时，；
（3）若对任意两个正实数，且，有，求证：.
2024-2025学年度高二数学第一次月考
一、选择题
1. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可.
【详解】选项A. ,故选项A不正确.
选项B. ,故选项B不正确.
选项C. ,故选项C不正确.
选项D. ,故选项D正确.
故选：D
2. 甲､乙两人从3门课程中各选修1门，则甲､乙所选的课程不相同的选法共有（ ）
A. 6种B. 12种C. 3种D. 9种
【答案】A
【解析】
【分析】根据分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】甲､乙两人从3门课程中各选修1门，
由乘法原理可得甲､乙所选的课程不相同的选法有（种）.
故选：A
3. 从5名男生中挑选3人，4名女生中挑选2人，组成一个小组，不同的挑选方法共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】A
【解析】
【分析】根据分步计数原理及组合的概念即得.
【详解】由题可知从5名男生中挑选3人有 种方法，4名女生中挑选2人有种方法，
所以不同的挑选方法共有种.
故选：A.
4. 公共汽车上有12位乘客，沿途8个车站，乘客下车的可能方式共有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步计数原理，直接求解.
【详解】按分步计数原理，12名乘客下车的不同方法种数有：种.
故选：D
5. 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用导数的定义得，即可求解.
【详解】因为，
又，则，所以，则，
故选：B.
6. 如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③在区间上是增函数，在区间上是减函数；
④是的极大值点.
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
【解析】
【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．
【详解】解：由导函数的图象可知，当时，
当时，当时，当时，
所以在区间上单调递减，故①错误；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，
在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误；
故选：C．
7. 函数，，下列关于的说法中正确的是（ ）
A. 为极小值，为极小值
B. 为极大值，为极小值
C. 为极小值，为极大值
D. 为极大值，为极大值
【答案】C
【解析】
【分析】由导数可得函数的单调区间，再由极值的概念即可得解.
【详解】因为，，所以，
令即，可得或，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，
故选：C
8. 7名身高各不相同的同学站成一排，若身高最高的同学站在中间，且其每一侧同学的身高都依次降低，则7名同学所有不同的站法种数为（ ）
A 20B. 40C. 8D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】让最高的同学站中间，再在剩余的6人中选择3人，放在左边，剩余3人放在右边，计算得到答案.
【详解】让最高的同学站中间，再在剩余的6人中选择3人，放在左边，剩余3人放在右边，
共有种站法.
故选：A
9. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算.
【详解】由题意可得：，
令，可得，
原题意等价于在上恒成立，
因为开口向下，对称轴，
可得在上单调递减，
当时，取到最大值，
所以的取值范围是.
故选：A.
二、填空题
10 已知函数，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】由复合函数的求导法则求出导函数后，可计算导数值．
【详解】由题意，所以．
故答案为：2．
11. 已知函数在处有极值为10，则等于______．
【答案】18
【解析】
【详解】试题分析： ，依题意， 解得或，当时，，，所以在上单调递增，此时在处并没有取得极值，不符合要求，舍去；当时，，，所以时，，当时，，所以函数在处取得极小值10，符合要求，此时.
考点：函数的极值与导数.
12. 在的二项式展开式中，项的系数是__________.
【答案】
【解析】
【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于3，求的值，即可求得系数.
【详解】展开式的通项为，
令，则，
所以项的系数为.
故答案为：
13. 由0，1，2三个数字组成的三位数（允许数字重复)的个数为_________.
【答案】18
【解析】
【分析】先从1，2中选一个数排在百位，再由十位和个位各有3种选法求解.
【详解】解：先从1，2中选一个数排在百位，有2种选法，
然后十位和个位各有3种选法，
故组成的三位数（允许数字重复)的个数为，
故答案为：18
14. 若函数恰有两个零点，则取值范围是____________
【答案】
【解析】
【分析】先求出导函数，对进行分类讨论，发现若，则在上至多只有一个零点，故必有，由此分析在上的单调性和极值，发现存在极小值，根据零点存在的条件，则有极小值小于，由此解出则的取值范围.
【详解】函数的定义域为，，
因为，所以若，则，
根据零点存在定理，在上至多只有一个零点，
故，令，得，
当时，；当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以存在极小值，也是最小值，
因为，所以当时，；当时，，
若函数在上恰有两个零点，则，
即，所以的取值范围是.
故答案为：.
15. 已知两个函数和.（其中为实数），若对，，使成立，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】由题设将问题化为在上，并利用导数求区间上最大值，即可得参数范围.
【详解】由题设，则在上，在上，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而，
由，则在、上，在上，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
而，
要使对，，使成立，
所以，只需在上，则，可得.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：在上为解题的关键.
三、解答题
16. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间.
【答案】（1）
（2）的单调递增区间是和；单调递减区间是
【解析】
【分析】（1）求出导函数，得出切线斜率，再计算出，由点斜式写出切线方程，整理即得；
（2）由得增区间，得减区间，即可．
【小问1详解】
由题意得：，
所以(1)，(1)，
故曲线在点，(1)处的切线方程，即；
【小问2详解】
，
令，易得或，令，易得，
所以函数在和上递增，在上递减，
即的单调递增区间是和；单调递减区间是.
17. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
（1）如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？
【答案】（1）60；（2）21；（3）91；（4）120
【解析】
【分析】（1）根据要求直接选取即可；
（2）在剩下的7人中任选2人即可；
（3）包含两种情况，第一种甲和乙都在内，第二种情况，甲乙选1人；
（4）从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况.
【详解】（1）如果4人中男生女生各选2人，有种选法；
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，则在剩下的7人中任选2人，有种选法；
（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种甲和乙都在内的选法有种，第二种情况，甲乙选1人，有种选法，
则如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法；
（4）如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，去掉只有男生和只有女生的情况，故有种选法.
18. 已知函数，.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，
（ⅰ）求函数的单调区间；
（ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）(i)单调递增区间为和；单调递减区间为；(ii)．
【解析】
【分析】（1）求导数，可得切线斜率，进而得出曲线在点处的切线方程；
（2）(i)求导数，利用导数的正负，即可求函数的单调区间；(ii)方程有3个不同的实数根，则极大值大于0，极小值小于0，即可求实数的取值范围．
小问1详解】
对，求导得，，当时，，
又切点为切线方程为即；
【小问2详解】
依题意得
(i)
由，可得或，
由，可得．
函数的单调递增区间为和；单调递减区间为.
(ii)由(i)可知：当变化时，的变化情况如表：
当时，有极大值，并且极大值为；
当时，有极小值，并且极小值为，
若方程有3个不同的实数根，则，
解得．
19. 已知函数，．
（1）若在点处取得极值．
①求的值；
②证明：；
（2）求的单调区间．
【答案】（1）①1；②证明见解析；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）①先由在点处取得极值，求出参数的值；②经分析函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，即时，取得最小值，即可得证；
（2）分和两种情况讨论函数的单调区间即可.
【小问1详解】
①由于函数，得，
因为在点处取得极值，
所以,所以，
经检验的导函数在区间上小于，在区间上大于，
故在点处取得极小值．
②由①得，，．
令，解得．
当x变化时，，的变化情况如表所示．
所以，当时，取得最小值．
所以，即．
【小问2详解】
函数的定义域为，且，
当时，恒成立，
所以的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，令解得，
的解集为，
的解集为，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
20. 已知函数为的导函数，已知曲线在处的切线的斜率为3.
（1）求的值；
（2）证明：当时，；
（3）若对任意两个正实数，且，有，求证：.
【答案】（1）2 （2）证明见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由求得值；
（2）设，利用导数确定其单调性后可证；
（3）不妨设，令，由进行转化后把用表示，把要证不等式化为关于的不等式，再利用导数进行证明．
【小问1详解】
由，可知，
因为在处的切线斜率为3，
所以.
所以.
【小问2详解】
证明：由（1）知，
不妨设，则.
令
因为，
所以在上单调递增，.
故，
所以在上单调递增，，
所以.
【小问3详解】
由（1）知，
不妨设，令
由即得，即.
即，则，
所以，
要证.
设，则.
则在上单调递减，，故成立.
【点睛】方法点睛：关于函数中两个变量问题的处理，一般需要进行消元，化二元为一元（多元为少元至一元），处理方法可以设，（或，然后利用的关系，如或是函数的极值点之类的，把与有关的等式或不等式表示为关于的函数的等式或不等式，再利用函数的导数进行求解证明．
1
2
＋
0
－
0
＋
单调递增
单调递减
单调递增
x
1
－
0
＋
单调递减
1
单调递增