天津市南开大学附属中学2025_2026学年高三上学期第三次阶段检测（12月月考）数学试题 [含答案]

这是一份天津市南开大学附属中学2025_2026学年高三上学期第三次阶段检测（12月月考）数学试题 [含答案]，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，，（ ）
A．B．C．D．
2．“，点在第二象限”的一个充分不必要条件是（ ）.
A．B．
C．D．
3．下列说法中正确的是（ ）
A．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14
B．在线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均减少0.5个单位
C．若随机变量服从正态分布，且，则
D．若随机变量，满足，则，
4．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
5．若为奇函数，则（ ）
A．B．2C．D．－2
6．若，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．或D．或
7．若函数是函数的两个零点，且的最小值为，则的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
8．已知正四面体．的所有棱长均为，D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面面积为（ ）
A．B．C．D．
9．双曲线的左､右焦点分别为，以为焦点的抛物线与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率大小为（ ）
A．3B．2C．D．6
二、填空题
10．复数满足，则的最大值为 .
11．已知的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含项的系数为 （用数字作答）
12．直线 截圆的弦长为，则 的最小值为 .
13．紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为 （填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为 ．
14．在中，，，，则 ；若，，，则的最大值为 ．
15．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为 .
三、解答题
16．的内角、、的对边分别为、、，已知．
（1）求；
（2）若，求面积的取值范围．
17．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,所有棱长均为2，∠AA1D1=∠AA1B1=60°，∠D1A1B1=90°.

（1）求证:A1C⊥B1D1；
（2）求对角线AC1的长；
（3）求二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值的大小.
18．椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且．
(1)求椭圆方程；
(2)求的取值范围．
19．数列的前n项和为，数列满足（），且数列的前n项和为.
（1）求，，并求数列的通项公式；
（2）抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求.
（3）求证.
20．已知函数.
（1）时，求曲线在点处的切线方程；
（2）有2个零点，，且.
（i）求的取值范围；
（ii）证明.
答案
1．【正确答案】D
【详解】因为集合为数集，集合为点集，故.
故选D
2．【正确答案】B
【详解】由题意有或，
所以“，点在第二象限”的一个充分不必要条件是.
故选B.
3．【正确答案】C
【详解】对于A，由，得这组数据的第60百分位数为，A错误；
对于B，线性回归方程中，当变量每增加一个单位时，平均增加0.5个单位，错误；
对于C，随机变量服从正态分布，则，
由，得，
则，C正确；
对于D，由，则，，D错误.
故选C
4．【正确答案】B
【详解】因为，，，
所以.
故选B.
5．【正确答案】A
【详解】由题意得，则，
因为为奇函数，则其定义域关于原点对称，则，
则，其定义域为，
则，则，
则，定义域为，关于原点对称，
，则为奇函数，满足题意.
则.
故选A.
6．【正确答案】C
【详解】因为，，
所以，
又不等式对应方程的根为：，且，
所以不等式的解为或，
故选C．
7．【正确答案】B
【详解】，可得，
所以，或，，
根据三角函数图象和性质可知若要的值最小，
可得，所以，
，由，
可得，
故选B
8．【正确答案】C
【详解】将正四面体如图放于正方体中，因的所有棱长均为，
则正方体棱长为，该正四面体的外接球即正方体的外接球，球心O为正方体中心，
外接球半径为.因D，E，F分别为棱PA，PB，PC的中点，则
棱长均为，则四面体相似于四面体，相似比为.
注意到，
则，设中心为，则为正四面体的高.
则.
又三点共线，则到平面距离为.
注意到该正四面体的外接球被平面DEF所截的截面为圆，则圆半径为，故截面面积为.
故选C
9．【正确答案】A
【详解】根据题意可设，双曲线的半焦距为，，则，
过作轴的垂线，过作的垂线，垂足为，显然直线为抛物线的准线，
则，
由双曲线的定义及已知条件可知，则，
由勾股定理可知，
又，所以，即，
整理得，所以，所以，
所以双曲线的离心率大小为3
.故选A.
10．【正确答案】/
【详解】设复数，则，
即复数z对应的点在圆上，
而表示的是z对应的点和复数对应的点之间的距离，
则的最大值即为圆上的点和点之间的距离的最大值，
由于，即在圆外，
则圆上的点和点之间的距离的最大值为，
即的最大值为.
11．【正确答案】15
【详解】因为的展开式各项系数的和为，二项式系数的和为，
所以，解得
因为的展开式的通项为，
由，得4，
所以，即含项的系数为15．
12．【正确答案】9
【详解】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为，
弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心，
所以，即，
，当且仅当即时等号成立．
13．【正确答案】
【详解】根据全概率公式得装有紧急定位传送器飞机的比例为：
；
设事件“失踪的飞机后来被找到”，
事件“失踪的飞机后来未被找到”，事件“安装有紧急定位传送器”，则，
，，，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，
它被找到的概率为：
.
14．【正确答案】
【详解】①
如图，作，垂足为，因为，
所以，所以，即，
又，，所以，即,
所以；
②因为，，所以,,
所以
，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最大值为.
15．【正确答案】
【详解】当时，函数，对称轴为，
因此函数在单调递增，函数图象如下：
令，则由，结合图象可得或，
即或，
由图可知有2个解，有1个解，
此时函数有3个零点，不符合题意；
当，时，函数，对称轴为，
所以在单调递减，在单调递增，函数图象如下：
令函数，则由，结合图象可得或或，
即或或，
由图可知，有2个解，有3个解，
又有6个零点，则需使有1个解，
即需使，解得；
综上，实数的取值范围为.
16．【正确答案】（1）；（2）.
【详解】（1），
，
即，即，
由正弦定理，得，
已知，，，且，
，即，得，，，，因此，；
（2）由正弦定理，，.
，
，则，，
则，，因此，面积的取值范围为.
17．【正确答案】（1）见详解；（2）；（3）.
【详解】（1）证明：∵在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，所有棱长均为2，
∴AD1=AB1=2，连结A1C1，B1D1，交于点O，连结AO，如下图所示：

∵∠AA1D1=∠AA1B1=60°，∠D1A1B1=90°.∴AO⊥B1D1，
∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴B1D1⊥A1C1，
∴B1D1⊥平面A1ACC1，
∵A1C⊂平面A1ACC1，
∴B1D1⊥A1C.
（2）在△AB1D1中，AO
又，AA1=2，
∴，∴AO⊥A1O，
∵AO⊥B1D1，∴AO⊥平面A1B1C1D1，
∴AO⊥OC1，
∴AC12.
（3）由（2）知AO⊥平面A1B1C1D1，
以点O为原点，OA1为x轴，OB1为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
A(0,0,)，B1(0,,0)，C1(,0,0)，
(0,)，(,0,)，
设平面AB1C1的法向量
则，
取x=1，得(1,﹣1,﹣1)，
平面AB1D1的法向量(1,0，0)，
设二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角为θ，
则csθ.
∴二面角C1﹣AB1﹣D1的平面角的余弦值为.
18．【正确答案】(1)
(2).
【分析】（1）由题意列出关于，，的方程组，求出，，即可得解.
（2）由向量共线得出的值、直线斜率存在且不为，设直线方程为，联立椭圆方程求出值和韦达定理，利用得出，结合所得韦达定理即可求解.
【详解】（1）设椭圆的方程为，
由题，解得，，
因此椭圆的方程为即．
（2）由题意可知向量起点相同，终点共线，
又由得，
故，即，即，
显然直线斜率存在且不为，设其方程为，
联立方程，消去，得，所以，
设，，则，，
又由得，即，
因此，从而，，
所以，
整理得，即，
解得或．经检验，此时，
因此的取值范围是.
19．【正确答案】（1），，
（2）
（3）见详解
【详解】（1）由题意得，①
当时，，
当时，，所以.
当时，，②
①－②得，，
所以，
当时，，也适合上式，
所以，
所以，两式相减得，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
（2）数列为：，，，，，，……，
所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首项，8为公比的等比数列.
所以当时，
.
，
所以
（3）当时，
所以，
所以，
显然是关于k的减函数，
当时，的最大值为3，
所以；
所以当时，
.
所以，
所以，
显然是关于k的减函数，
当时，的最大值为，
所以；
综上所述，.
20．【正确答案】（1）
（2）（i）；（ii）见详解
【详解】（1）当时，，
则，
则，且，
则切点，且切线的斜率为，
故函数在点处的切线方程为.
（2）（i）令，时，不成立，
时，得，
设，则，
由解得单调增区间为，
由解得单调减区间为，；
作出函数图象.

要使函数有2个零点，
则方程在内有2个根，即直线与函数的图象有2个交点.
又，故的取值范围为；
（ii）由图象可知，，
要证；即证；
又，，在上为增函数，则只需要证，
又，则只需要证，，
则构造辅助函数，
，
令，，
故为减函数，
所以，，，
所以，
所以为减函数，
所以，所以，
所以，所以，
故，.