天津市南开大学附属中学2025届高三上学期第一次阶段检测数学试题

这是一份天津市南开大学附属中学2025届高三上学期第一次阶段检测数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法，得到，再利用绝对值不等式的解法，得到，利用集合的运算，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
由，得到，所以，得到，
故选：A.
2. “”是“函数的值域为”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】假设函数的值域为，借助对数的性质及二次函数的性质可得的范围，结合充分条件与必要条件的性质即可得解.
【详解】若的值域为，
则对有，解得或，
“”是“或”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3. 已知，则（ ）
A. B. 6C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，利用对数的运算法则，求得，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解.
【详解】由，可得，则，
则.
故选：D.
4. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得.
【详解】依题意，，（为坐标原点），
则，所以.
故选：A
5. 已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一次函数的图象可知,由此可知的大致图象，在通过平移得到的图象.
【详解】由一次函数的图象可知,
所以是在上单调递减的指数函数，且经过定点,
因为是由向左平移个单位，
故D选项满足题意.
故选：D.
6. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（ ）
A.
B. 函数图象关于点对称
C. 函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为
D. 若，则函数的最大值为
【答案】D
【解析】
【分析】化简函数解析式，根据正弦型函数的周期公式可求判断A，验证是否为函数的对称中心判断B，结合函数图象平移变换结论判断C，结合不等式性质及正弦函数性质判断D.
【详解】由已知，
所以，
又，所以函数的最小正周期为π，
由已知，所以，A正确；
所以，
因为，所以函数图象关于点对称，B正确，
将函数图象向右移个单位后可得函数的图象，
因为的图象关于轴对称，
所以，又，
所以的最小值为，C正确，
若，则，
所以，故，
所以当时，函数取最大值，最大值为，D错误.
故选：D.
7. 是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）．
A. 3B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由由A，B，D三点共线，得存在实数，使，再用表示后，由向量相等可得．
【详解】由已知，由A，B，D三点共线，
故存在实数，使，即，
即，解得．
故选：D．
8. 已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 2025
【答案】C
【解析】
【分析】由函数奇偶性，确定为周期函数，再结合，求得，即可求解.
【详解】因为为奇函数，所以关于点中心对称，
又为偶函数，所以关于直线对称，
所以为周期函数且周期，
∴，∵，∴，∴.
故选:C．
9. 已知函数，且在上单调递减，且函数恰好有两个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用函数是上的减函数求出的范围，再在同一直角坐标系中，画出函数和函数的图象，根据方程的根的个数数形结合，从而可得出答案.
【详解】因为函数是上的减函数，
则，解得，
函数恰好有两个零点，即方程恰好有两个根，
如图，在上方程恰好有一解，
所以在上，方程有且仅有一解，
当即时，由，
即，，则，
解得或1（舍去），
当时，经检验符合题意；
当即时，由图象知符合题意.
综上，的取值范围是.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是函数的零点问题转化为函数图象得交点，数形结合解决.
二、填空题
10. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的定义先计算，再利用二倍角公式计算即可.
【详解】由题意可知，
所以，
故答案为：
11. 已知向量，若，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积的坐标公式计算即得.
【详解】由可得，解得，.
故答案为：.
12. _________.
【答案】##
【解析】
【分析】直接根据指数、对数的运算性质计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
13. 砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为________.

【答案】
【解析】
【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，准确计算，即可求解.
【详解】因为扇形的院校为，
又因为，，
所以，该扇环形砖雕的面积为.
故答案为：.
14. 已知向量与的夹角，且，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意先求出，再由向量模长公式即可求解.
【详解】由题，
所以.
故答案为：.
15. 若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用基本不等式得到，再进行换元，转化为在时恒成立，求得，即得结果.
【详解】依题意正实数x，y，满足等式，
化简得，即，当且仅当时等号成立.
设，则恒成立，即在时恒成立，
函数在时是递增的，故，即.
故.
故答案为：.
三、解答题
16. 平面内给定两个向量.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出、和，接着由向量夹角余弦公式即可得解.
（2）由坐标形式的向量模长公式即可计算得解.
【小问1详解】
由题，，
所以.
小问2详解】
由题得，
所以.
17. 已知分别为的内角的对边，且.
（1）求角A；
（2）若，求出边并求出的面积
【答案】（1）；
（2），面积为5
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得答案；
（2）由余弦定理求出，再利用面积公式求出面积即可.
【小问1详解】
因为，
所以由正弦定理得，
因为B∈0,π，所以，
所以，所以，
因为，所以；
【小问2详解】
中，，
所以由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去），或，
可得面积为.
18. 已知函数的最小正周期.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间.
【答案】（1）
（2）单调增区间为，单调减区间为
【解析】
【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数的解析式；
（2）再代入三角函数的单调区间，即可求解.
【小问1详解】
依题意，
．
由最小正周期，解得.
则.
【小问2详解】
令，，
解得，，
所以单调增区间为；
令，，解得，．
所以单调减区间为．
综上所述，单调增区间为，单调减区间为
19. 已知函数，.
（1）若曲线在处的切线与直线相互垂直，求的值；
（2）若，求函数的极值.
【答案】（1）；
（2）极小值，无极大值.
【解析】
【分析】（1）求出函数导数，利用导数的几何意义及给定直线列式计算即得.
（2）把代入，利用导数求出函数的极值.
【小问1详解】
函数，求导得，则，
依题意，，所以.
【小问2详解】
当时，函数的定义域为，
求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得极小值，无极大值.
20. 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求a的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求导函数，再分两种情况结合导函数正负讨论函数的单调性；
（2）特殊值缩小参数范围，再根据导函数得出函数单调性得出最小值，再构造函数得出函数单调性及最值即可求参.
【小问1详解】
,
当时，恒成立；
当a>0时，；
综上，当时，在上单调递增，无减区间；
当a>0时，在上单调递增，在上单调递减；
【小问2详解】
当时，，不合题意；
当a>0时，在上单调递增，在上单调递减；
所以，
因为所以，
令，
当单调递增，当单调递减，
所以，
所以满足，只能是，
所以.
【点睛】方法点睛：特殊值缩小参数范围，根据导函数得出函数单调性取得最小值，再构造函数得出函数单调性及最值找出矛盾即可求参.