天津市南开大学附中2025-2026学年高三上学期第一次阶段检测数学试题（Word版附解析）

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一．选择题：每题 5 分共 45 分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集 ，集合 或 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数 在 上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
4. 若 m 为直线， 为两个平面，则下列结论中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
5. 已知平面向量 ， ，若 ，则 =（ ）
A. B. 2 C. D. 4
6. 中国新能源汽车出口实现跨越式突破，是国产汽车品牌实现弯道超车，打造核心竞争力的主要抓手.下表
是 2022 年我国某新能源汽车厂前 5 个月的销量 y 和月份 x 的统计表，根据表中的数据可得线性回归方程为
，则下列四个命题正确的个数为（ ）
月份 x 1 2 3 4 5
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销量 y（万辆） 1.5 1.6 2 2.4 2.5
①变量 x 与 y 正相关；② ；③y 与 x 的样本相关系数 ；④2022 年 7 月该新能源汽车厂的销量
一定是 3.12 万辆．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 函数 的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数 （ ， ， ）的图象上有两个相邻顶点为
， .将 的图象沿 x 轴向左平移 1 个单位，再沿 y 轴向上平移 个单位后得 ，则
为（ ）
A. B. C. D.
9. 已知 ，则 x，y，z 的大小关系不可能是（ ）
A B.
C. D.
二．填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分．
10. 是虚数单位，复数 _____________.
11. 在 的展开式中， 的系数为__________.（请用数字作答）
12. 若 ，则 ______
13. 若点 是函数 图像的一个对称中心，则 a 的最小值______．
14. 甲乙两人射击一架进入禁飞区 无人机．已知甲乙两人击中无人机的概率分别为 ， 且甲乙射击
互不影响，则无人机被击中的概率为_________．若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为 ；若恰
好被两人击中，则被击落的概率为 ，那么无人机被击落的概率为_______
15. 在平面直角坐标系 中， ， ．设 ，则 的取值范围是
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________．
三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 在 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 ， .
（1）求 c 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
17. 如图，在直四棱柱 中，侧棱 的长为 3，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，E 是
棱 BC 的中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）求平面 与平面 ABCD 的夹角的余弦值；
（3）求三棱锥 的体积．
18. 已知函数 ．
（1）求 单调递增区间；
（2）若 ，求 的值域．
19 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 的单调区间和极值．
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20. 设函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若当 时 ，求 a 的取值范围．