天津市第一0二中学2025_2026学年高二上学期12月检测数学试卷（含解析）

这是一份天津市第一0二中学2025_2026学年高二上学期12月检测数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知数列，则是这个数列的（ ）
A. 第20项B. 第21项
C. 第22项D. 第23项
【正确答案】D
【分析】由即可得.
【详解】，故为第23项.
故选：D.
2. 双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2B. 3C. D.
【正确答案】C
【分析】根据渐近线方程可得，即可由离心率公式求解.
【详解】因为双曲线的渐近线为，且经过点，
所以，又，
则该双曲线的离心率为，
故选：C.
3. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而求出其焦点坐标即可.
【详解】根据，可得，
所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，
所以，即，则焦点坐标为，
故选：C.
4. 记等差数列的前项和为，则（ ）
A. 120B. 140C. 160D. 180
【正确答案】C
【分析】利用下标和性质先求出的值，然后根据前项和公式结合下标和性质求解出的值.
【详解】因为，所以，所以，
所以，
故选：C.
5. 数列满足，（），则等于（ ）
A. B. C. 2D.
【正确答案】C
【分析】由递推公式推得数列的周期，利用周期性求值.
【详解】由递推公式，，，
所以数列的周期为，所以，
故选：C.
6. 已知等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 56B. C. 63D.
【正确答案】C
【分析】利用等比数列的性质建立方程，求解即可.
【详解】因为等比数列的前n项和为，
所以，，成等比数列，且公比为正数，
设，由题意得，，
则7，，成等比数列，得到，
即，解得或，
因为，，三者同号，所以，故C正确.
故选：C.
7. 已知抛物线C：的焦点为，准线为，与轴平行的直线与和抛物线分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. 8D. 4
【正确答案】C
【分析】先判断形状，再结合抛物线的几何性质求的边长.
【详解】如图：

因为抛物线方程为，所以焦点，准线.
因为直线的倾斜角为，且轴，所以.
又点在抛物线上，所以，故为等边三角形.
过作轴的垂线，垂足为，则，且，所以.
所以.
故选：C
8. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，若直线与双曲线交于A，B两点，且，则t的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用点差法结合直线平行求解即可.
【详解】如图所示，设直线与双曲线的另一个交点为C，
设，，由图形的对称性知．
由A，B两点在双曲线上知，，
作差得到，
其中，故直线的斜率，
此时直线的方程为，
与双曲线的方程联立得，
化简得，即或，
那么或．
又直线AB的斜率为，
所以或，
解得，
故选:D．
9. 已知数列为单调递增的等差数列、前项和为，若，，成等比数列，则当取最小值时，( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
【正确答案】B
【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项与公差，由此能求出前项和，再利用配方法能求出当取最小值时，的值．
【详解】设数列的公差为，则，，，
因，，成等比数列，
所以，即，化简得，
解得或，
因为数列为递增的等差数列，所以，
故舍去，，
所以
开口向上，对称轴为直线，由于为正整数，且离更近，
所以当时，取得最小值。
故选：B
二、填空题
10. 已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______.
【正确答案】36
【分析】利用双曲线的定义先求出的值，由此即可求出的周长.
【详解】由已知，，则，所以是双曲线的右焦点，，，则
，
所以，
所以的周长为.
故答案为.
11. 设等差数列，的前项和分别为，，且，则__________.
【正确答案】
【分析】根据等差数列前项和公式进行求解即可.
【详解】因为等差数列的前项和分别为，
则，.
所以.
故答案为.
12. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则__________.
【正确答案】
【分析】延长与准线相交，利用抛物线的定义以及相似比即可求出.
【详解】如图，设直线与准线交于点，分别过点作准线的垂线，垂足为，且准线与轴的交点为，
则由抛物线的定义可知，，，
则，即，得，
又，则，得.
故
13. 已知数列是各项均为正数的等比数列，，则__________.
【正确答案】9
【分析】根据等比数列的通项公式进行计算即可.
【详解】因为数列是各项均为正数的等比数列，，
所以即，.
所以.
故9
14. 在数列中，，，则数列的前10项和为_____.
【正确答案】50
【分析】求出等差数列通项公式，再分析得前6项小于等于0，最后利用等差数列前项公式计算即可.
【详解】由，得．
所以数列是以为首项，2为公差的等差数列．
则．
数列的前项和．
当时，，当时，，
则数列的前10项和为
.
故50.
15. 在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是____________.
【正确答案】
【分析】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，可求得，代入即可得出答案.
【详解】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，
由，则，
，故.
故答案为.
三、解答题
16. 已知为坐标原点，为抛物线：焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1.
（1）求抛物线的方程；
（2）若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可；
（2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系、判别式进行求解即可.
【小问1详解】
设点，由题可知，由抛物线定义知，
所以，所以，则抛物线的方程为.
小问2详解】
易知的斜率一定存在，设的方程为，设.
由消去得，
则，且，
，
由，化简整理得，解得（舍去）或，
所以，即的方程为.
17. 若将数列的前项和记作，已知.
（1）求，，值；
（2）求数列的通项公式.
【正确答案】（1），，
（2）
【分析】（1）由，，计算得解；
（2）根据与的关系求出通项.
【小问1详解】
，
，，.
【小问2详解】
当时，，
当时，，
，.
18. 已知数列满足，且对任意的，都有.
（1）令，证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式及数列的前项和Sn.
【正确答案】（1）证明见解析
（2），
【分析】（1）由递推公式可得，即，结合等比数列的定义证明即可；
（2）由（1）求出的通项，即可得到的通项公式，再由分组求和法计算可得.
【小问1详解】
因为，即，
又，即，又，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
【小问2详解】
由（1）可得，
所以，
所以
.
19. 等差数列的前项和为，，.
（1）求数列的通项公式：
（2）求数列的前项和.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，列方程求解；
（2）根据（1）的结果，分为奇数和偶数，利用并项求和法，即可求解.
【小问1详解】
等差数列的前项和为，，
，即，
又，，
则有，，
【小问2详解】
记数列的前项和为，
当为奇数时，；
当为偶数时，；
综上，.
20. 已知等比数列的前n项和为，，
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前2n项和；
（3）若存在正整数n，使得成立，求m的取值范围.
【正确答案】（1）；
（2）；
（3）
【分析】（1）设等比数列的公比为q，由题设求得，，可得；
（2）由分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式，即可求得；
（3）由（1）得，分n为偶数和奇数，结合与的单调性，可求得m的取值范围．
【小问1详解】
设等比数列的公比为q，则，
由，解得，
所以；
【小问2详解】
由有，
所以
；
【小问3详解】
由(1)知，，
存在正整数n，使得成立，
当n为偶数时，，，
由，得，
因为单调递增，所以的最小值为，
因为单调递减，所以的最大值为，
所以，
当n为奇数时，，，
由，得，
因为单调递减，所以的最大值为，
因为单调递增，所以的最小值为，所以，
综上，m的取值范围是