天津市第二中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（含答案）

这是一份天津市第二中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．
1. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得.
【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为.
故选：D．
2. 直线：和直线：，则“”是“”（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先根据直线垂直计算求出参数，再应用充分必要条件定义判断求解.
【详解】直线：和直线：，
“”，等价于，解得或.
所以“”可以推出，但“”时未必有 “”.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B
3. 已知数列满足，，则（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】由递推关系式可知数列是周期为3的周期数列，根据周期性可得结果.
【详解】由，，则，，
所以，
所以数列是周期为3的周期数列，则.
故选：B.
4. 已知为椭圆上一点，则C的焦距为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将点代入C的方程得，故，再根据焦距概念得解.
【详解】因为点在C上，代入C的方程得，解得，故，
所以C的焦距为.
故选：C.
5. 已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）．
A. B. C. 4D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案.
【详解】由题意知圆，即圆，
圆心为，半径，
圆，即圆，
圆心为，半径，
则，即两圆相交，
将圆和圆的方程相减，
可得直线的方程为，
则到直线的距离为，
故弦的长为，
故选：A
6. 已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据可得圆心和半径，进而根据点到直线的距离公式，结合相切即可求解.
【详解】由于点，线段为的一条直径，故圆心,即，圆的半径为,
由题意可知两条切线的斜率均存在，故设切线方程为，
由相切可得，化简可得，
故是方程的两个根，故
故选：D
7. 如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】假设，由，综合题目条件得，利用共面向量基本定理求解.
【详解】假设，
因为，
因为，，所以，，
所以，又，
所以,
因为、、、四点共面，所以，解得，
所以.
故选：B.
8. 设为数列的前项积，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，则可将化为，结合等差数列定义可得是等差数列，求出首项后即可得其通项公式，再利用计算即可得.
【详解】由为数列的前项积，则，
则由，可得当时，有，
又当时，，则，即，则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，则，
故.
故选：D.
9. 如图，三棱锥中，，，分别为的中点，点在线段上，且，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算得到，再利用模长公式及数量积的运算，即可求解.
【详解】因为，所以，
则，
又，，
则
，
所以，
故选：D.
10. 如图所示，双曲线与抛物线有公共焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若，双曲线的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】可求出，再由可知点为线段的中点，可得，根据点在抛物线上可得其坐标，可得点坐标，代入渐近线方程可建立的关系式求得.
【详解】由双曲线与抛物线有公共焦点，可得；
又点到渐近线的距离为，即；
由可知点为线段的中点，可得；
设，由抛物线定义可知，解得；
由可得，
利用等面积可知，解得，则，
即可得，
又点在渐近线上，即，可得，
再由，联立可得，即，
解得，
故.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合题目中的条件，利用双曲线和抛物线性质构造的齐次方程可直接求得离心率.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
11. 经过点且在轴和轴上的截距相等的直线的方程为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意将问题分直线过原点和不过原点两种情况求解，然后结合待定系数法可得到所求的直线方程．
【详解】（1）当直线过原点时，可设直线方程为，
∵点在直线上，
∴，
∴直线方程为，即．
（2）当直线不过原点时，设直线方程为，
∵点在直线上，
∴，
∴，
∴直线方程为，即．
综上可得所求直线方程为或．
故答案为或．
【点睛】在求直线方程时，应先选择适当形式的直线方程，并注意各种形式的方程所适用的条件，由于截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，分为直线过原点和不过原点两种情况求解．本题考查直线方程的求法和分类讨论思想方法的运用．
12. 已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设所求双曲线方程为，将代入可得，从而求出双曲线方程.
【详解】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，
将代入得，
故所求双曲线方程，即.
故答案为：
13. 已知空间内三点，，，则点到直线的距离为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，，结合点到直线的距离公式运算求解即可.
【详解】空间内三点，，，
则，，
所以点到直线距离.
故答案为：.
14. 已知数列的前项和，则的前12项和为___________．
【答案】80
【解析】
【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前12项的和即可.
【详解】因为，
当时，；
当时，满足上式；
所以，
令，解得；令，解得；
所以
．
故答案为：80.
15. 已知椭圆的右焦点为F，以F为焦点的抛物线与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用抛物线和椭圆交点及简单性质,列出关系式,求解椭圆离心率即可.
【详解】根据椭圆和抛物线对称性及轴，由在抛物线上得，在椭圆上得
.则由条件得：且
即得.
解得（舍去），所以
故答案为:
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，直线过点且与双曲线交于两点，若，则下列说法中正确的序号为___________．
①双曲线的虚轴长为；
②双曲线的离心率为；
③的面积为；
④双曲线的渐近线方程为．
【答案】②④
【解析】
【分析】根据双曲线解析式判断虚轴长度；利用双曲线定义和余弦定理求解离心率；由离心率公式得到的值，即得到渐近线方程；利用余弦定理和三角形面积公式求解.
【详解】如图，作出符合题意的图形，
关于①，因为双曲线方程为，所以可得，
则虚轴长为，故①错误.
关于②，令，
由双曲线定义知，又,
所以，得，
所以，
又因，
得，故，所以②正确.
关于③，由上可知，，
则，
故，所以，故③错误.
关于④，由②可知离心率，
得到双曲线的渐近线方程为，故④正确.
故答案为：②④
三、解答题：本大题共3个小题，共36分．
17. 为等差数列 的前n项和， 已知
（1）求数列 的通项公式;
（2）求，并求的最小值.
【答案】（1）
（2），最小值为
【解析】
【分析】（1）由等差数列的通项公式和前项和列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列的通项公式．
（2）求出．从而时，的最小值为．
【小问1详解】
为等差数列的前项和，，．
，
解得，，
数列的通项公式．
【小问2详解】
．
时，的最小值为．
18. 如图，直三棱柱中，，，，M是的中点，N是BC的中点，过点N作与平面平行的直线PN，交于点P．
（1）证明：平面AMN；
（2）求与平面PMN所成角的正弦值；
（3）求点P到平面AMN的距离．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，进而得到，利用向量数量积的坐标运算得到，，即得垂直关系，最后应用线面垂直的判定证明结论；
（2）根据已知求得，再求平面的一个法向量，结合，向量法求线面角的正弦值；
（3）应用向量法求点面距离即可.
【小问1详解】
在直三棱柱中，则两两垂直，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，
所以，
由，则，
由，则，
由且都在平面内，则平面AMN；
【小问2详解】
设，，平面的一个法向量为，
由平面，则，可得，故，
设平面的一个法向量，，，
所以，取，则，
所以，
故与平面PMN所成角的正弦值为；
【小问3详解】
由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知，
所以点P到平面AMN的距离.
19. 已知椭圆离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点在椭圆上，且，
①证明：直线过定点；
②求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①答案见解析；②
【解析】
【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，列出关于的方程求解，进而得到椭圆方程；
（2）①由，可得，由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得出，进而证得结论；②由①知，直线的方程为：，求得点到直线的距离，联立直线与椭圆的方程，运用韦达定理，弦长公式和三角形的面积公式进行求解.
【小问1详解】
由题意可得：，
解得：，
故椭圆方程为：.
【小问2详解】
①设点.
因为，，即
由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程为，
联立，消去并整理得：，
根据，代入整理可得：
，
将代入，得，
整理得：，解得或，
因为时直线恒过定点，不合题意，舍去，
所以，直线恒过定点.
②由①知，直线的方程为：，
点到直线的距离，
联立，消去并整理得：，
，
所以的面积，
令，则，，
，
因为，所以时面积最大，最大值为.