2025-2026学年天津市第一0二中学高二上学期10月检测数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年天津市第一0二中学高二上学期10月检测数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线l的方向向量为(1,-1)，则该直线的倾斜角为( )
A. π4B. π3C. 3π4D. 2π3
2.已知非零向量e1,e2不共线，如果AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e1-3e2，则A，B，C，D四点( )
A. 一定共线B. 恰是空间四边形的四个顶点
C. 一定共面D. 一定不共面
3.设x,y∈R，向量a=x,-1,1，b=1,y,1，c=2,-4,2，且a⊥c，b//c，则x+y=( )
A. 5B. 1C. -1D. -5
4.已知直线l1:3x-4y+7=0与直线l2:6x-m+1y+1-m=0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=AD=AA1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60 ∘，则直线AC1与BB1所成角的余弦值为( )
A. 33B. 32C. 63D. 62
6.已知直线l1:ax+y-2=0,l2:2x+a+1y+2=0，若l1//l2，则a=( )
A. -1或2B. 1C. 1或-2D. -2
7.若直线ax-by+2=0a>0,b>0经过圆x2+y2+4x-4y+4=0的圆心，则1a+2b的最小值为( )
A. 32+ 2B. 2 2+3C. 92D. 52
8.已知四棱锥A-EBCD,AE⊥平面BCDE，底面EBCD是∠E为直角，EB//DC的直角梯形，如图所示，且CD=2EB=2AE=4,DE=2 3，点F为AD的中点，则F到直线BC的距离为( )
A. 312B. 232C. 314D. 234
9.已知圆C:x-32+y2=9，D是圆C上的动点，点E2,4，若动点M满足DM=2DE，则点M的轨迹方程为( )
A. (x-522+y-22=94B. x-12+y-82=9
C. x-52+y-82=9D. x-82+y-12=9
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知向量a=2,-1,1，b=1,x,1，c=1,-2,-1，当a⊥b时，向量b在向量c上的投影向量为 .(用坐标表示)
11.已知直线l1:ax+y+1=0与直线l2:(a-1)x-ay+2=0垂直，则实数a的值为 ．
12.已知圆C经过原点和点A2,1，并且圆心在直线l:x-2y-1=0上，则圆C的标准方程为 ．
13.直线l过点P2,-1，且A-1,2和B5,8两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为 ．
14.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD=SA=SD=2AB=2,P为棱AD的中点，且SP⊥AB,M为棱SA上的一点，若BM与平面SBD所成角的正弦值为 34，则AM= ．
15.已知点M是圆x2+y2=1上的动点，点N是圆x-52+y-22=16上的动点，点P在直线x+y+5=0上运动，则PM+PN的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程．
(1)求经过点1,-1，且与直线x+y-3=0平行的直线方程；
(2)已知点A-2,-1，B4,3.求线段AB的垂直平分线的方程；
(3)求经过点P2,4，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
17.(本小题12分)
如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，D为PC的中点，BE=2EA．
(1)设PA=a，PB=b，BC=c，用a,b,c表示DE；
(2)若PA=PB=BC=1
(i)求DE
(ii)求AC⋅DE．
18.(本小题12分)
已知直线l的方程为2m+1x+m+1y-7m-4=0．
(1)求证：不论m为何值，直线l必过定点M；
(2)过点M的直线l1交坐标轴正半轴于A,B两点，当▵AOB面积最小时，求▵AOB的周长．
19.(本小题12分)
已知圆C与圆M:(x+1)2+(y+2)2=4关于原点对称．
(1)求圆C的标准方程；
(2)设点P(x,y)为圆C上任意一点，求代数式x2+y2+2x+3的最值．
20.(本小题12分)
如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90 ∘，点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2．
(1)求证：MN//平面BDE；
(2)求平面CEM与平面MNE夹角的余弦值；
(3)已知点H在棱PA上，且直线HN与直线BE所成角的余弦值为 77，求线段AH的长．
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.C
6.B
7.B
8.A
9.B
10.-1,2,1
11.2或0
12.x-652+y-1102=2920
13.x=2或x-y-3=0
14.34或
/0.75
15.-5+ 149
/ 149-5
16.(1)设与直线x+y-3=0平行的直线方程为x+y-c=0，过1,-1，则1-1-c=0，则c=0，所以直线的一般方程为x+y=0．
(2)因为点A-2,-1，B4,3，中点为1,1，kAB=3+14+2=23，
则垂直平分线的斜率k⋅kAB=-1，则k=-32，
直线方程为y-1=-32x-1，所以直线的一般方程为3x+2y-5=0．
(3)设直线在两坐标轴上的截距为a，即直线过0,a,a,0
当截距a=0时，直线过0,0，k=42=2，则y=2x，即2x-y=0；
当截距a≠0时，直线斜率k=-aa=-1，则y-4=-x-2，即x+y-6=0．
所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x-y=0和x+y-6=0．

17.(1)如图所示，
连接BD,PE，可得DE=PE-PD=PA+AE-PB-BD，
因为D为PC的中点，BE=2EA，
所以AE=13AB=13PB-13PA,BD=12BP+12BC=-12PB+12BC，
所以DE=PA+13PB-13PA-PB--12PB+12BC
=23PA-16PB-12BC=23a-16b-12c．
(2)因为PA⊥平面PBC，BC⊥平面PAB，且PB,BC⊂平面PBC，PB⊂平面PAB，
所以PA⊥PB,PA⊥BC,PB⊥BC，所以a⋅b=a⋅c=c⋅b=0，
(i)DE= 23a-16b-12c2= 49a2+136b2+14c2= 1318= 266．
(ii)因为AC=AP+PB+BC=-PA+PB+BC，
所以AC⋅DE=(-PA+PB+BC)⋅(23PA-16PB-12BC)
=-23PA2-16PB2-12BC2+56PA⋅PB+76PA⋅BC-23PB⋅PC，
又因为PA=PB=BC=1，
所以-23PA2-16PB2-12BC2+56PA⋅PB+76PA⋅BC-23PB⋅PC=-23-16-12=-43，
所以AC⋅DE=-43．

18.(1)由2m+1x+m+1y-7m-4=0可得，m2x+y-7+x+y-4=0，
令2x+y-7=0,x+y-4=0⇒x=3,y=1,所以直线l过定点M3,1．
(2)由(1)知，直线l1恒过定点M3,1，
由题意可设直线l1的方程为y-1=kx-3(kr，
所以点A在圆C外，所以PA|min=AC-r=2 2-2,PA|max=|AC|+r=2 2+2，
则x2+y2+2x+3的最小值为(2 2-2)2+2=14-8 2，
最大值为(2 2+2)2+2=14+8 2．
方法二：由点P(x,y)为圆C上任意一点，
且圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=4，可设x=1+2csθ,y=2+2sinθ,
则x2+y2+2x+3=(1+2csθ)2+(2+2sinθ)2+2(1+2csθ)+3=14+8(sinθ+csθ)=14+8 2sinθ+π4．
因为-1≤sinθ+π4≤1，
所以x2+y2+2x+3的最小值为14-8 2，最大值为14+8 2．

20.(1)在三棱棱P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90 ∘，易得PA,AB,AC两两垂直，故以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
因为点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2，
则M0,0,1,B2,0,0,C0,4,0,N1,2,0,D0,0,2,P0,0,4,E0,2,2，
则MN=1,2,-1,DB=2,0,-2，DE=0,2,0，
设平面BDE的一个法向量n=x,y,z，则n⋅DB=0n⋅DE=0，即2x-2z=02y=0,
令x=1，则y=0,z=1，故n=1,0,1，
所以MN⋅n=1+0-1=0，故MN⊥n，
又平面BDE，所以MN//平面BDE．
．
(2)由(1)得MN=1,2,-1,MC=0,4,-1,ME=0,2,1，
设平面MNE的一个法向量m=a,b,c，则m⋅ME=2b+c=0m⋅MN=a+2b-c=0,
令b=-1，则a=4,c=2，得m=4,-1,2，
易知AB⊥平面CEM，故设平面CEM的一个法向量p=1,0,0，
设平面CEM与平面MNE的平面角为θ，则由图形易知θ为锐角，
故csθ=m⋅pm⋅p=4+0+0 16+1+4× 1=4 2121，
即平面CEM与平面MNE夹角的余弦值为4 2121．
(3)设AH=t，则H0,0,t，
故NH=-1,-2,t,BE=-2,2,2
则csNH,BE=NH⋅BENH⋅BE=2-4+2t 5+t2× 12= 77，解得t=4或t=-12(舍去)，
故AH=t=4，即线段AH的长为4．