广东省广州市第四中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份广东省广州市第四中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试题 [含答案]，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知全集,且,则集合的真子集的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知命题p：“”，则为（ ）
A．B．
C．D．
3．若，且角的终边经过点，则P点的横坐标x是（ ）
A．B．C．D．
4．若是方程的两个根，则（ ）
A．B．1C．D．2
5．下列4个选项中，p是q的充分不必要条件的是（ ）
A．B．
C．D．中至少有一个不为零
6．已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知，，则等于（ ）
A．B．C．D．
8．若定义在上的偶函数，对任意的，且，都有且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，且，则下列不等式恒成立的有（ ）
A．B．C．D．
10．下列各式结果为1的有（ ）
A．
B．
C．
D．
11．已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ）
A．若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
B．若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6
C．若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是
D．若在上有且仅有5个零点，则在单调递增
三、填空题
12．．
13．已知，且，若恒成立，则实数的最大值是 .
14．若函数存在最大值和最小值，记，侧 ．
四、解答题
15．已知集合.
（1）若时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．已知.
（1）求与的值；
（2）求的值.
17．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔测量一次茶水温度，收集到以下数据：
设茶水温度从开始，经过后温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：①；②
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；
（2）若茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：）
18．已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值；
（3）若为锐角，，求的值．
19．已知函数在区间上有最大值4，最小值1．函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围；
（3）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
答案
1．【正确答案】B
【详解】解:由题知, ,
所以,
所以集合的真子集有:
,
共3个.
故选:B
2．【正确答案】C
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】特称命题的否定是全称命题．
命题p：“”，的否定为：．
故选C．
3．【正确答案】A
【详解】由三角函数的定义可得：
，
解得，
故选A
4．【正确答案】C
【详解】因为是方程的两个根，
由韦达定理得，，
所以，
故选C
5．【正确答案】C
【详解】对于选项A，取，，则，但，所以不是的充分条件，A错误；
对于选项B，取，则，但是，所以不是的充分条件，B错误；
对于选项C，因为不等式的解集为，
所以由可推出，但由不能推出，所以是的充分不必要条件，C正确；
对于选项D，由可推出中至少有一个不为0，由中至少有一个不为0能推出，所以是中至少有一个不为0的充分必要条件，D错误；
故选C.
6．【正确答案】D
【详解】因是上的增函数，且，则可得，
又是上的增函数，且，则可得．
因为函数在上是增函数，，，
由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得．
故选D．
7．【正确答案】B
【详解】，，
，，，，.
故选B
8．【正确答案】D
【详解】因为函数满足对任意的，且，有，
即在上单调递增，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递减，
又，所以，函数的大致图象可如下所示：
所以当时，当或时，
又不等式等价于或，
解得或，即原不等式的解集为；
故选D.
9．【正确答案】BC
【详解】根据不等式的性质判断．错误的可举反例．
【详解】，且，则，
，，A错误；
，则，B正确；
，则，C正确；
与不能比较大小．如，此时，，D错误．
故选BC．
10．【正确答案】BD
【详解】A：，不符，
B：，符合，
C：，不符，
D：，符合.
故选BD
11．【正确答案】ABD
【详解】对于A，当时，，
将的图象向左平移个单位长度，得，
即得到的图象，所以A正确，
对于B，当时，，周期，在上是3个周期，
先作出在上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得在上的图象，
再在同一坐标系中作出在的图象，
由图可知曲线与曲线在区间上的交点个数为6，所以B正确，
对于C，当时，，
若在上有且仅有5个零点，则，
解得，所以C错误，
对于D，当时，，
由选项C可知，则，
所以，
所以，
所以在单调递增，所以D正确.
故选ABD
12．【正确答案】4
【详解】因为，，，，
所以.
13．【正确答案】9
【详解】因为，，且，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
因为恒成立，所以，
所以实数的最大值是9.
14．【正确答案】16
【详解】，令
则，即为奇函数，由此
故
15．【正确答案】（1）或；
（2）或.
【详解】（1）由或，，
所以或；
（2）由“”是“”的必要不充分条件，即是的真子集，
所以或，即或.
16．【正确答案】（1）；
（2）
【详解】（1）若，则，，
因为，代入可得，
所以或（不符合题意舍去）
代入计算可得，
所以，
（2）由（1）可得，
因为，
所以.
17．【正确答案】（1）选用模型①，理由见详解，
（2）分钟
【详解】（1）由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①，
代入前三组数据，解得，
所以函数模型解析式为；
（2）由（1）知，即，所以，
，
所以刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感.
18．【正确答案】（1）；
（2）最大值为2，最小值为；
（3）.
【详解】（1）由已知．
令，解得
故函数的单调递增区间为
（2）由，可得
所以，故，
所以函数在区间上的最大值为2，此时，即，
函数在区间上的最小值为-1，此时，即，
（3）由，可得，
因为，可得，
．
.
19．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）二次函数对称轴为，
所以函数在上单调递增，
所以，解得．
所以．
（2）
所以存在使不等式成立，且，
转化为存在使不等式成立，
令，所以不等式化为，
即，因为，
因为，所以，所以实数的取值范围．
（3）依题意有三个零点，
即方程有三个实根，
方程有三个实根，
令，则，即，
即，则，
作出函数的图象如图所示：
直线与曲线有且仅有1个交点，
所以要使有三个零点，则直线与曲线有2个交点
则，所以，以实数k的取值范围为．
时间
0
1
2
3
4
5
水温
85.00
79.00
73.60
68.74
64.36
60.42