广东省广州市第四中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析）

这是一份广东省广州市第四中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了 已知命题，则为， 若是方程的两个根，则， 已知，，则等于， 下列各式结果为1的有等内容，欢迎下载使用。
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集,且,则集合的真子集的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【正确答案】B
【分析】求出集合后,写出集合的真子集,数出个数即可.
【详解】解:由题知, ,
所以,
所以集合的真子集有:
,
共3个.
故选:B
2. 已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定的知识来确定正确答案.
【详解】原命题是存在量词命题，其否定是全称量词命题，注意到要否定结论而不是否定条件，
所以命题的否定为.
故选：C
3. 若，且角终边经过点，则P点的横坐标x是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据三角函数的定义列方程求解即可.
【详解】由三角函数的定义可得：
，
解得，
故选：A
4. 若是方程的两个根，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【正确答案】C
【分析】利用韦达定理和正切的两角和公式求解即可.
【详解】因为是方程的两个根，
由韦达定理得，，
所以，
故选：C
5. 下列4个选项中，p是q的充分不必要条件的是（ ）
A. B.
C. D. 中至少有一个不为零
【正确答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义逐项判断即可.
【详解】对于选项A，取，，则，但，所以不是的充分条件，A错误；
对于选项B，取，则，但是，所以不是的充分条件，B错误；
对于选项C，因为不等式的解集为，
所以由可推出，但由不能推出，所以是的充分不必要条件，C正确；
对于选项D，由可推出中至少有一个不为0，由中至少有一个不为0能推出，所以是中至少有一个不为0的充分必要条件，D错误；
故选：C.
6. 已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】根据函数的单调性和特殊值计算，可求得和，再由函数的单调性和零点存在定理推理得到即可.
【详解】因是上的增函数，且，则可得，
又是上的增函数，且，则可得．
因为函数在上是增函数，，，
由零点存在定理可知，有唯一的零点，故得．
故选：D．
7. 已知，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】先利用公式，由已知及角的范围，求出的值，再使用诱导公式将化简得到，从而得解.
【详解】，，
，，，，.
故选：B
8. 若定义在上的偶函数，对任意的，且，都有且，则满足的x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】依题意可得在上单调递增，根据偶函数的性质可得在上单调递减，再根据，即可得到的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集；
【详解】因为函数满足对任意的，且，有，
即在上单调递增，又是定义在R上的偶函数，所以在上单调递减，
又，所以，函数的大致图像可如下所示：
所以当时，当或时，
又不等式等价于或，
解得或，即原不等式的解集为；
故选：D.
二､多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分）
9. 已知，且，则下列不等式恒成立的有（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】BC
【分析】
根据不等式的性质判断．错误的可举反例．
【详解】，且，则，
，，A错误；
，则，B正确；
，则，C正确；
与不能比较大小．如，此时，，D错误．
故选：BC．
10. 下列各式结果为1的有（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】BD
【分析】应用二倍角正余弦公式化简求值判断A、C，由差角正切公式化简求值判断B，由切弦关系及和差角、二倍角公式化简求值判断D.
【详解】A：，不符，
B：，符合，
C：，不符，
D：，符合.
故选：BD
11. 已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到
B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6
C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是
D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增
【正确答案】ABD
【分析】对于A，由三角函数图象变换规律分析判断，对于B，作出两函数在上的图象，观察图象判断，对于C，由求出，再结合函数有5个零点，列不等式组可求出的取值范围进行判断，对于D，由求出的范围，再结合选项C中的取值范围分析判断即可.
【详解】对于A，当时，，
将的图象向左平移个单位长度，得，
即得到的图象，所以A正确，
对于B，当时，，周期，在上是3个周期，
先作出在上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得在上的图象，
再在同一坐标系中作出在的图象，
由图可知曲线与曲线在区间上的交点个数为6，所以B正确，
对于C，当时，，
若在上有且仅有5个零点，则，
解得，所以C错误，
对于D，当时，，
由选项C可知，则，
所以，
所以，
所以在单调递增，所以D正确.
故选：ABD
关键点点睛：此题考查正弦函数的图象与性质，考查三角函数图象变换规律，考查函数的零点，解题的关键是正确运用正弦函数的图象与性质，考查数形结合的思想，属于较难题.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分.
12 __________．
【正确答案】4
【分析】根据根式的性质，指数幂的运算性质和对数的运算性质运算即可.
【详解】因为，，，，
所以，
故4.
13. 已知，且，若恒成立，则实数的最大值是__________.
【正确答案】9
【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的最大值.
【详解】因为，，且，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
因为恒成立，所以，
所以实数的最大值是9.
故9
14. 若函数存在最大值和最小值，记，侧____________．
【正确答案】16
【分析】设，证明为奇函数，利用奇函数的性质得出答案.
【详解】，令
则，即为奇函数，由此
故
故16.
四､解答题：（本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.）
15. 已知集合.
（1）若时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）或；
（2）或.
【分析】（1）解一元二次不等式求集合，再由集合的并运算求；
（2）由必要不充分关系判断包含关系，再列不等式求参数范围.
【小问1详解】
由或，，
所以或；
【小问2详解】
由“”是“”的必要不充分条件，即是的真子集，
所以或，即或.
16. 已知.
（1）求与的值；
（2）求的值.
【正确答案】（1）；
（2）
【分析】（1）利用及求出和的值，进而求解；
（2）根据（1）中的结果，利用商数关系及计算求解.
【小问1详解】
若，则，，
因为，代入可得，
所以或（不符合题意舍去）
代入计算可得，
所以，
【小问2详解】
由（1）可得，
因为，
所以.
17. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关.经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感.某研究员在泡制茶水的过程中，每隔测量一次茶水温度，收集到以下数据：
设茶水温度从开始，经过后温度为，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现有以下两种函数模型供选择：①；②
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；
（2）若茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：）
【正确答案】（1）选用模型①，理由见解析，
（2）分钟
【分析】（1）根据表中数据变化情况可知选用模型①符合，代入前三组数据，用待定系数法求得值，即可求得解析式；
（2）根据（1）的解析式，将代入解析式求得的值即可.
【小问1详解】
由表中数据知，随着时间的变化（变大），茶的温度越来越低，但温度最多低至室内温度后，不再下降，也不再升高，因此选用模型①，
代入前三组数据，解得，
所以函数模型解析式为；
【小问2详解】
由（1）知，即，所以，
，
所以刚泡好的茶水大约需要放置分钟才能达到最佳饮用口感.
18. 已知函数．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值；
（3）若为锐角，，求的值．
【正确答案】（1）；
（2）最大值为2，最小值为；
（3）
【分析】(1)化简函数解析式，结合正弦函数单调性求其单调递增区间；
(2)利用不等式的性质和正弦函数的性质求函数的最大值和最小值；
(3)由条件可求，利用同角关系求，然后利用算出答案即可.
【小问1详解】
由已知．
令，解得
故函数的单调递增区间为
【小问2详解】
由，可得
所以，故，
所以函数在区间上的最大值为2，此时，即，
函数在区间上的最小值为-1，此时，即，
【小问3详解】
由，可得，
因为，可得，
．
.
19. 已知函数在区间上有最大值4，最小值1．函数．
（1）求函数的解析式；
（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围；
（3）若函数有三个零点，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）由二次函数的对称轴可知在上单调递增，将最值代入求解即可；
（2）利用分离参数法将不等式转化为，求的最小值即可；
（3）函数有三个零点，即方程有三个实根，解一元二次方程得或，作出图像数形结合即可求解.
【小问1详解】
二次函数对称轴为，
所以函数在上单调递增，
所以，解得．
所以．
【小问2详解】
所以存使不等式成立，且，
转化为存在使不等式成立，
令，所以不等式化为，
即，因为，
因为，所以，所以实数的取值范围．
【小问3详解】
依题意有三个零点，
即方程有三个实根，
方程有三个实根，
令，则，即，
即，则，
作出函数的图像如图所示：
直线与曲线有且仅有1个交点，
所以要使有三个零点，则直线与曲线有2个交点
则，所以，以实数k的取值范围为．时间
0
1
2
3
4
5
水温
85.00
79.00
73.60
68.74
64.36
60.42