河北省唐山实验学校2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份河北省唐山实验学校2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．直线（为任意实数）过定点（ ）
A．B．C．D．
3．设，向量，，且，，则（ ）
A．B．3C．D．4
4．设为等差数列，公差，为其前项和，若，则（ ）
A．10B．12C．8D．9
5．已知F₁， F₂是双曲线C: 的两个焦点，P为C上一点，且 若的面积是 则 （ ）
A．B．C．D．2
6．如图，在平行六面体中，，则长度为（ ）
A．B．C．D．
7．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知等差数列的前n项和为，公差为，，，当取最小值时，n的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、多选题
9．已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心恒在直线上
B．当时，圆与圆有4条公切线
C．当时，圆与圆的公共弦所在直线方程为
D．当时，圆与圆的公共弦长为
10．关于空间向量，以下说法正确的有（ ）
A．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
B．若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量满足，则与夹角为钝角
D．若空间向量，则在上的投影向量为
11．已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于、两点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．面积的最小值为2.
C．
D．可能为直角.
三、填空题
12．过点与直线平行的直线方程为 ．
13．已知数列的前n项和为，且，，则 .
14．对于两个空间向量与，我们定义为两点之间的直线距离；又定义它们之间的曼哈顿距离为.如图，在棱长为1的正方体中， ；若点P在底面内（含边界）运动，且，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知曲线的方程为．
(1)若曲线表示圆，求的取值范围；
(2)当时，直线与曲线交于两点，求.
16．如图，在侧棱垂直底面的四棱柱中，，，，，，，点是的中点，点是平面与直线的交点.
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值.
17．已知各项均不为零的两个数列 满足 .
（1）设 .求证：数列是等差数列
（2）已知 ，数列 是首项为2的等差数列，设 数列的前n项和为，求证
18．如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，

(1)求证：平面
(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
19．已知双曲线的左、右焦点分别为，且经过点，右焦点到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)直线过且与双曲线交于两点，若，求直线的方程；
(3)在（2）的条件下，求的面积.
答案
1．【正确答案】B
【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角.
【详解】直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为.
故选B
2．【正确答案】B
【分析】含参数的项合并，让参数的系数为0,看成两直线的交点.
【详解】由题意整理得:,令，解得.
所以直线（为任意实数）过定点
故选B.
3．【正确答案】B
【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果.
【详解】向量，且，
∴，解得，
∴，
∴，
故选B
4．【正确答案】A
【分析】由已知可得，可求得，再利用等差数列的通项公即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
为等差数列，公差，，解得.
故选A.
5．【正确答案】A
【分析】利用余弦定理及双曲线的定义求出，再由面积公式计算可得.
【详解】根据双曲线定义得，
所以，即①，
由余弦定理可得：，
即②，
由②-①得：，即，
所以，
又的面积是 所以，解得，
故选A
6．【正确答案】A
【分析】利用空间向量基本定理和向量的模公式求解.
【详解】以为基底，
则，
而，
从而
，
故选A．
7．【正确答案】B
【分析】利用正弦定理计算，根据余弦定理计算，根据等面积法列方程得出，的关系，从而可求出椭圆的离心率．
【详解】椭圆的焦点为，，，
根据正弦定理可得，
，．
设，，则，
由余弦定理得，，
，
，
又，
，即，故，
解得：或（舍．
故选B．
8．【正确答案】B
【分析】利用裂项相消法可求得，进而可求出，根据的单调性可求出最小值.
【详解】，
整理得，解得或（舍去），
即，则．
当时，数列单调递减，当时，数列单调递增，
当时，，当时，，
故当时，取最小值．
故选B．
关键点睛：解决本题的关键是利用裂项相消法求出，再判断出的单调性.
9．【正确答案】BC
【分析】整理得到圆与圆的标准方程，即可知道圆心坐标，判断A选项；由两个圆圆心之间的距离和圆的半径和的大小关系，判断圆与圆的位置关系，即可知道两圆的公切线条数，判断B选项；由两个圆圆心之间的距离和圆的半径和的大小关系，判断圆与圆的位置关系，由两圆方程作差即可求得公共弦所在直线方程，判断C选项；由点到直线的距离求得圆心到弦的距离，由垂径定理求得弦长，判断D选项.
【详解】圆与圆的标准方程分别为和，
所以圆的圆心为，恒在直线上，故选项A错误；
当时，圆，圆心为，半径为3，圆圆心为，半径为2，
此时圆与圆的圆心距，
所以圆与圆外离，圆与圆有4条公切线，故选项B正确；
当时，圆，圆心为，半径为1，
此时圆与圆的圆心距，，所以两圆相交，
两个圆的方程作差得公共弦方程为，故选项C正确；
当时，圆的圆心到公共弦的距离，
所以圆与圆的公共弦长为，故选项D错误.
故选BC.
10．【正确答案】BD
【分析】根据条件，可得，根据空间中线面的位置关系，分析即可判断A的正误；根据四点共面的定理，可判断B的正误；根据夹角公式，即可判断C的正误；根据投影向量的求法，代入数据，即可判断D的正误.
【详解】选项A：因为，所以，则 ，故A错误；
选项B：因为，且，
所以P，A，B，C四点共面，故B正确；
选项C：若，则，
所以与夹角为钝角或平角，故C错误；
选项D：在上的投影向量为，故D正确.
故选BD
11．【正确答案】BC
【分析】对于A，根据抛物线的焦半径公式即可判断；对于B，设直线方程与抛物线联立，求得弦长，表示出三角形面积，利用二次函数的性质计算即可判断；对于C，利用抛物线焦半径公式代入计算易得；对于D，通过计算即可判断.
【详解】

对于A，由题意，，所以无最小值，故A错误；
对于B，因直线的斜率不可能为0，故可设，
与联立消元得：，
显然，设，则，
则，
点到直线的距离为，
则的面积为，
则当时，即时，取得最小值2，故B正确；
对于C，设直线的倾斜角为，则，
则，故C正确；
对于D，由B选项可得，
则，
故与所夹的角为钝角，故D错误.
故选BC.
12．【正确答案】
【详解】设过点与直线平行的直线方程为，
代入点坐标，得，解得，
所求直线方程为．
13．【正确答案】97
【分析】由已知得出，然后由累加法求解．
【详解】∵，，∴，
∴，∴.
故97
14．【正确答案】
【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系，
则，设，
则，
所以，即，
所以；
，
令，
则，
因为，所以，
所以，所以，
所以的取值范围是.
15．【正确答案】(1)
(2)2
【分析】（1）将方程化为标准方程，列式求解即可；
（2）根据题意可得圆心和半径，结合垂径定理求弦长.
【详解】（1）由曲线的方程整理可得，
则，解得或，
所以的取值范围为.
（2）若，则曲线：，可知圆心，半径为，
则圆心到线的距离，
所以.
16．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因，平面,平面,则平面，
又因平面,平面平面,故,
故；
（2）
因平面,,,可得，
故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则,
,
设平面的法向量为，
则，故可取，
设直线与平面所成的角为，
则
故直线与平面所成的角的正弦值为.
17．【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据，可得，即，从而可证得数列是等差数列；
（2）由（1）可求得数列和的通项，从而可得数列的通项，再利用裂项相消求和法即可得解.
【详解】（1）证明：∵，∴，
即，即，所以数列是等差数列.
（2）解：由（1）可知，数列是首项为，公差为2的等差数列，
故，
即，，故，所以数列的公差，
∴.
所以，，
∴
，
又，所以，即.
18．【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【详解】（1）平面平面ABCD，平面平面
平面ABCD，，
平面PAD，
平面，
又且，PA、平面平面PAB；
（2）取AD中点为O，连接PO、CO，
又，
则，
，则，
以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
，
设为平面PCD的一个法向量，
由，得，令，则，
设PB与平面PCD所成角的角为，
（3）假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为，
由可知，，
，设
设为平面ADM的一个法向量，
由得，
则，
易知平面ABCD的一个法向量为，
设平面ADM与平面ABCD的夹角为
，
，
19．【正确答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设，易知双曲线的一条渐近线的方程为，由题意可得，，进而求解即可；
（2）设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，结合题设及韦达定理求解即可；
（3）根据弦长公式求出及点到直线的距离，再结合三角形的面积公式求解即可.
【详解】（1）设，则，
易知双曲线的一条渐近线的方程为，
，
将的方程中得，解得，
∴双曲线的方程为.
（2）由（1）得，显然直线的斜率存在且不为0，
设，直线的方程为，
，
，即，
联立，得，
则，
，
则，
消去整理得，即，
∴直线的方程为.
（3）不妨设，由（2）知，
则，
点到直线的距离，
.