河北省保定市多校2025_2026学年高一上学期期中联考数学试题 [含答案]

这是一份河北省保定市多校2025_2026学年高一上学期期中联考数学试题 [含答案]，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．复数的虚部为（ ）
A．-3B．C．D．
3．设向量，，则（ ）
A．“”是“”的必要条件B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件D．“”是“”的充分条件
4．已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．4
C．D．8
5．已知命题“”是假命题，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，已知等腰中，，点是边上的动点，则的值（ ）

A．为定值B．不为定值，有最大值
C．为定值D．不为定值，有最小值
7．已知是定义域为的奇函数，当时，，若，则零点的个数为（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．在平面直角坐标系中，函数且的图象恒过定点，若角的终边过点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．有关复数和实数，下列说法不正确的是（ ）
A．，则B．，则
C．D．，其中
11．已知，，，下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为9B．的最大值为
C．的最小值为D．的最大值为
三、填空题
12．函数的定义域为 .
13．已知函数的最小正周期为，则 .
14．在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为 .
四、解答题
15．已知，复数．
（1）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围；
（2）若z满足，，求的值．
16．已知定义在上的函数图象关于原点对称．
（1）求的解析式；
（2）判断并用定义证明的单调性；
（3）解不等式．
17．已知函数，且.
（1）求的解析式；
（2）将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上每个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象.当时，求不等式的解集.
18．在中，是边上靠近的三等分点.
（1）若，证明：；
（2）若.
（i）求面积的最大值；
（ii）求的最小值.
19．记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且.
（1）求；
（2）求.
答案
1．【正确答案】B
【详解】解不等式，解得或，
所以集合或，
解得，即，
所以集合，
所以.
故选B
2．【正确答案】C
【详解】由题复数，
所以复数的虚部为.
故选C
3．【正确答案】D
【详解】若，则解得：或，
若，则解得：或，
所以“”是“”的不必要条件，
“”是“”的不必要条件，
“”是“”的不充分条件，
“”是“”的充分条件，
故选D
4．【正确答案】B
【详解】因为，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为4.
故选B.
5．【正确答案】B
【详解】命题“”是假命题，
等价于“”是真命题，
即判别式，解得：或，
则实数的取值范围为.
故选B.
6．【正确答案】C
【详解】如图，记的中点为，由题可知，，
，，所以.
故选C.

7．【正确答案】A
【详解】由于是定义域为的奇函数，故，故，
所以当时，，
又由，可得，
故是周期函数，且周期为4，
当时，，则，
又，所以时，，
当时，，则，
又由，得到，所以当时，，
当时，，则，
所以当时，，
故
在同一坐标系中，作出的图象如下,
又当时，，而，故当后，两个函数图象再无交点，
由函数图象可知：的图象有4个不同的交点，故有4个零点，
故选A.
8．【正确答案】C
【详解】因为函数且的图象恒过定点，所以；
因为角的终边过点，所以，
所以.
故选C
9．【正确答案】AB
【分析】应用倍角正余弦、和差角正余弦公式及诱导公式化简求值，即可判断各项的正误.
【详解】A：，A正确；
B：，B正确；
C：，C错误；
D：，D错误.
故选AB.
10．【正确答案】AB
【详解】对于A，取复数，则，所以A不正确；
对于B，取复数，则，所以B不正确；
对于C，设，则，所以
由，则，
所以，所以C正确.
对于D，设，
可则，
则，
又由，所以，
所以，其中，所以D正确.
故选AB.
11．【正确答案】ACD
【详解】因为，，，
所以，
当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确；
对于B，，
根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值，故C正确；
对于D，因为，即，
当且仅当，即时取等号，
所以，
即最大值，故D正确．
故选ACD．
12．【正确答案】
【详解】对于函数，令，解得且，
所以的定义域为.
13．【正确答案】/
【详解】，
所以的最小正周期为，解得，即，
.
14．【正确答案】
【详解】由，得，
所以，
因为，则，所以，
设，则点在直线上，所以，

当时，最小，其最小值为.
15．【正确答案】（1）；
（2）.
【详解】（1）复数在复平面内对应的点为，
由z在复平面内对应的点位于第四象限，得，解得，
所以的取值范围是.
（2）依题意，，
又，则，解得，
，
所以.
16．【正确答案】（1）
（2）在上单调递增，见详解
（3）
【详解】（1）由题意可得，
即，，故，
即，此时有，
故关于原点对称，故，
即的解析式为；
（2）在上单调递增；证明如下：
令，则
，
由，则，，，
故，即在上单调递增；
（3）由题意可得为奇函数，则有，
又因为在上单调递增，则有，解得，
所以原不等式的解集为．
17．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，所以，，可得，，
又，所以，所以.
（2）将的图象向右平移个单位长度得的图象，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的2倍得到的图象，所以，所以原不等式化为.
令，，则，不等式化为，
所以，所以，
所以，
结合函数在上的图象得，
所以，即不等式的解集为.
18．【正确答案】（1）见详解
（2）（i）；（ii）
【详解】（1）
因为是边上靠近的三等分点，所以，
所以，
设内角的对边分别为，则，
所以，即，
在中，由余弦定理得，
所以，
化简得，
即.
（2）（i）在中，由余弦定理得，
又，
所以，
当且仅当，即为等边三角形时等号成立，
所以，
又是边上靠近的三等分点，
所以，
即的面积的最大值为.
（ii）在中，，
由正弦定理，得，
又，
所以，
因为，所以，
由余弦定理，得，
将代入上式，化简得，
所以
，其中，
当，即时，取得最小值，
的最小值为.
19．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为结合正弦定理可得，，
因为，所以，所以，则，
因为，所以，则，得，则；
（2）因为是的角平分线，且，，，
所以，得，
在中利用余弦定理得，
在中利用余弦定理得，
因为，，所以，
则在中利用余弦定理得，得，
因为，所以，
所以，解得，解得或，
又，解得，于是.