河北省唐山市海港高级中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份河北省唐山市海港高级中学2025_2026学年高一上学期12月月考数学试题 [含答案]，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．函数的零点所在区间为（ ）.
A．B．C．D．
5．已知，则的值为（ ）
A．B．C．1D．2
6．若“，使成立”是假命题，则实数λ的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知定义在R上的偶函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ）
A．B．2C．5D．
二、多选题
9．已知，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．函数，则下列结论正确的为（ ）
A．函数的单调增区间为
B．函数的图象关于对称
C．函数的图象关于对称
D．若，则函数的值域为
11．已知二次函数满足，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的解析式是
B．，，总有
C．方程有3个不等的实根
D．若，则函数在内不存在零点
三、填空题
12．设正实数满足，则有最小值为 .
13．若函数在区间上是增函数，则a的取值范围为
14．已知函数是定义在上的奇函数，若对任意的、，且，都有不等式，且，则不等式的解集是 .
四、解答题
15．计算
（1）
（2） ．
16．已知不等式的解集是.
（1）求常数的值；
（2）若在上单调递减，求实数的取值范围.
（3）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
17．已知函数．
（1）若，求的值；
（2）判断的奇偶性；
（3）求关于的不等式的解集．
18．近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设.
（1）求扇形OMN的面积；
（2）若，求矩形ABCD的面积；
（3）若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值.
19．已知函数.
（1）判断的单调性，并用单调性的定义证明；
（2）若对，都有成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案
1．【正确答案】B
【详解】由集合，
集合B由，所有偶数构成，集合A中只有-2,2两个偶数，故.
故选B.
2．【正确答案】D
【详解】设，∵函数的图象过点，
∴，则，∴，
∴，
∴且，即，
则函数的定义域为.
故选D.
3．【正确答案】D
【详解】由得，
由得，
所以“”不能推出“”，
所以“”是“”的非充分条件；
因为“”不能推出“”，
所以“”是“”的非必要条件.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选D
4．【正确答案】C
【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断，
又因为，
所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为.
故选C.
5．【正确答案】A
【详解】由已知使用诱导公式化简得：，
将代入即.
故选A.
6．【正确答案】C
【详解】若“，使成立”是假命题,则，使成立是真命题，即，，
令，则，则在上单调递增，，则.
故选:C.
7．【正确答案】A
【详解】由题意可得在上单调递增，且，
因，所以，
因，所以，
因，所以，故，
又因为，则，故，
所以，
又因，故，
综上可得：，故A正确.
故选A.
8．【正确答案】D
【详解】函数的最小正周期且，得，
由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，
综上，，
又关于直线对称，所以，解得，，
在的范围内，满足条件的值为和和，
验证可知，这三个值均满足函数在上单调，
因此，符合要求的所有值的和为
故选D
9．【正确答案】BCD
【详解】对于A，，因，则，故A错误；
对于B，，因，则，故B正确；
对于C，，因，
则，故C正确；
对于D，，因，
故，故D正确.
故选BCD
10．【正确答案】AC
【详解】选项A：由，，可得，，
即函数的单调增区间为，故A正确；
选项B：，则函数的图象关于直线对称，关于不对称，故B错误，故C正确；
选项D：由，可得，则，
则．
即若，则函数的值域为，故D错误．
故选AC．
11．【正确答案】AC
【详解】对于A，设二次函数，
由，可得，
则，
所以，解得，所以，
又，所以，则，正确；
对于B，因为，
，
所以，
所以，错误；
对于C，令，由，得，解得，，
由，可得，此时，有两个不等根；
由，可得，解得，
所以方程有3个不等的实根，正确；
对于D，，
函数在上连续，令，则有，
作出函数与的图象，如图所示：
由此可得两函数在内有2个交点，
所以函数在内有2个零点，错误．
故选AC
12．【正确答案】5
【详解】因为正实数满足，则.
因为，当且仅当，即时，等号成立.
所以当，即当且仅当时，取得最小值，最小值为.
13．【正确答案】
【详解】易知在定义域上是增函数，
由复合函数单调性可知在区间上是增函数，
所以解得，且，解得，
综上可知，a的取值范围为.
14．【正确答案】
【详解】不妨设，由可得，
不等式两边同除得，
令，则，故函数在上为增函数，
因为函数为上的奇函数，由题意可知，函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
故函数在上为减函数，
因为，则，
由可得，
当时，，即满足不等式，
当时，则，由可得，
所以，解得；
当时，则，由可得，
，解得；
综上所述，不等式的解集是.
15．【正确答案】（1）
（2）1
【详解】（1）
．
（2）原式
16．【正确答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）不等式的解集是，
和3是方程的解，且，
∴，解得.
（2）若在上单调递减，
则，解得，则实数的取值范围为.
（3）若关于的不等式的解集为，
则，解得，实数的取值范围为.
17．【正确答案】（1）
（2）是奇函数．
（3）见详解
【详解】（1）由题意可得，解得．
（2）由题意可得解得，
所以的定义域为．
因为，所以，
所以，故是奇函数．
（3）不等式等价于不等式．
．
当时，为增函数．
当时，由复合函数的单调性，得为减函数，则，得；
当时，由复合函数的单调性，得为增函数，则，得．
综上，当时，原不等式的解集是；
当时，原不等式的解集是．
18．【正确答案】（1）平方米.
（2）平方米.
（3），最大值为.
【详解】（1）由题意，，扇形半径即米，
则扇形OMN的面积为平方米.
（2）因为，在中，，，
在中，，则，
所以.
则矩形ABCD的面积.
所以当时，矩形ABCD的面积平方米.
（3）在中，，，
在中，，则，
所以.
则矩形ABCD的面积
，
所以，其中.
由于，
则当时，即时，.
所以当时，取得最大值，最大值为.
19．【正确答案】（1）在上单调递增，见详解
（2）
（3）存在，且
【详解】（1）在上单调递增.
任取，且，
那么，
，
因为，所以，可得，又，
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）因为，所以，
所以，
由第（1）问知在上单调递增，所以，
所以，即对恒成立.
令，，只需，
令，则，，
因为在上单调递增，
所以当时，，所以.
（3）由第（1）问知，在上单调递增，
所以
所以为方程的两个实数根，
即方程有两个不等的实数根，
令，即方程有两个不等的正根，
所以即，
且，解得且，
所以存在实数满足题意，且.