广东省揭阳第一中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份广东省揭阳第一中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则复数对应的点在第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
3．已知，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）．
A．B．C．D．
5．作为惠民政策之一，新农合是国家推出的一项新型农村合作医疗保险政策，极大地解决了农村人看病难的问题.为了检测此项政策的落实情况，现对某地乡镇医院随机抽取100份住院记录作出频率分布直方图如图：
已知该医院报销政策为：花费400元及以下的不予报销；花费超过400元不超过6000元的，超过400元的部分报销；花费在6000元以上的报销所花费费用的.则下列说法中，正确的是（ ）
A．
B．若某病人住院花费了4300元，则报销后实际花费为2235元
C．根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为的概率为
D．这100份花费费用的中位数是4200元
6．设直线与圆相交于两点，且的面积为8，则（ ）
A．B．C．1D．
二、多选题
7．已知数列的前n项和为，则（ ）
A．B．是递减数列
C．有最大项D．有最大值
三、单选题
8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，若，则（ ）
A．B．C．D．
四、多选题
9．设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，则（ ）
A．的离心率为
B．的周长为5
C．的最大值为3
D．的最小值为8
10．如图所示，若长方体的底面是边长为3的正方形，高为6，是 的中点，则（ ）

A．
B．三棱锥的体积为9
C．平面平面
D．三棱锥的外接球的表面积为
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为D．阴影区域的面积小于4
五、填空题
12．已知直线与平行，则与的距离为 ．
13．在数列中，已知，，且数列是等差数列，公差为d，则 ．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且，的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则椭圆的离心率 .
六、解答题
15．已知两直线，.
（1）求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
（2）已知两点，，判断直线与以，为直径的圆的位置关系；
16．已知函数.
（1）求的单调增区间;
（2）中，角所对的边分别为且A为锐角，若，，求的面积.
17．已知抛物线的焦点为F，点在E上，且．
（1）求E的方程；
（2）过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线E分别交于A，B和P，Q两点，记和的面积为，，求的最小值．
18．如图，在正四棱锥中，所有棱长都等于4，点分别是棱的中点，点在棱上，且．
（1）若，证明：平面；
（2）求平面与平面夹角余弦值的取值范围．
19．已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若直线l与椭圆C交于A，B两点，直线交线段于点Q，且，证明：直线l过定点．
（3）在（2）的条件下，求的最大值．
答案
1．【正确答案】B
【详解】当或时，；
当时，.
所以，，
所以，.
故选B.
2．【正确答案】D
【详解】因为，，
所以复数对应的点的坐标为，在第四象限.
故选D
3．【正确答案】C
【详解】由，
故选C.
4．【正确答案】C
【详解】由于抛物线的方程为，所以焦点坐标为.
因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，所以.
解得，所以双曲线的渐近线方程为.
故选C.
5．【正确答案】D
【详解】由频率分布直方图可得
，
经计算得，即A错误；
某病人住院花费了4300元，则报销的金额为元，所以此人实际花费为元，即B错误；
样本中可报销费用为的占比为0.15，即根据频率分布直方图可估计一个病人在该医院报销所花费费用为的概率为，即C错误；
样本中花费金额小于4000的概率为
所以中位数应在区间内，
所以花费费用的中位数是元，即D正确.
故选D
6．【正确答案】C
【详解】由三角形的面积公式可得，
得，由，得，
所以为等腰直角三角形，
所以圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式得，解得.
故选C
7．【正确答案】CD
【详解】A，当时，，
当时，，
故，故A错误，
B，由于，故B错误；
C，单调递减，故有最大项，C正确；
D，，故当时，有最大值，D正确，
故选CD.
8．【正确答案】C
【详解】由为奇函数，则，
令，则，故，
由为偶函数，则，
令，则，故，即，
对，令，则，
即，，解得，
故当时，，
对，令，则，
对，令，则，
则.
故选C.
9．【正确答案】ACD
【详解】
A.由题意得，，故离心率为，A正确.
B.由椭圆的定义得，，
∴的周长为，B错误.
C.当点在椭圆的右顶点处时，的最大值为，C正确.
D.因，当且仅当时等号成立，
∴的最小值为8，D正确.
故选ACD.
10．【正确答案】ABD
【详解】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，，，
所以，，
因为，所以，即，故A正确；
在长方体中，平面，故是三棱锥的高，
所以，故B正确；
，，
设平面的一个法向量为，
则，不妨取，则，，
所以，
，，
所以不是平面的法向量，故平面与平面不平行，C错误；
三棱锥的外接球即为长方体的外接球，
故外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积，故D正确．
故选ABD．
11．【正确答案】AB
【详解】由题意，开口向右的抛物线方程为，顶点在原点，焦点为，
将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为，则其方程为，即，故A正确；
对于B，根据A项分析，由可解得，或，即，代入可得，
由图象对称性，可得，故，即B正确；
对于C，
如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点，
由解得，由解得，，
即得，
则弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
即在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得，，（）
由此函数的图象知，当时，取得最大值为，即C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求部分面积的近似值.
如图，
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
因，由可得，即得，
因，则点到直线的距离为，
于是，由图知，半个花瓣的面积必大于，
故原图中的阴影部分面积必大于，故D错误.
故选AB.
12．【正确答案】
【详解】因为直线与平行，
所以，解得.
所以直线变为，即.
则与的距离为.
13．【正确答案】
【详解】设，数列是等差数列，
则，，
，得.
14．【正确答案】
【详解】 令，，设的外接圆半径为，内切圆半径为，
则，，即，，
又的外接圆面积是其内切圆面积的25倍，则，即，
即，即0，即，又，即.
15．【正确答案】（1）；
（2）相离.
【详解】（1）解方程组，得，即直线的交点坐标为，
因为直线的斜率为，所以所求直线的斜率为，
所以所求直线方程为，即.
（2）因为，，
所以圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，，
所以圆与直线相离.
16．【正确答案】（1）；
（2）.
【详解】（1），
令，解得，
故的单调增区间为.
（2），即，，
故，
解得，又为锐角，故当时，满足题意；
由余弦定理，可得，
又，
故，解得，则.
故的面积为.
17．【正确答案】（1）
（2）
【详解】（1）依题意得，点在抛物线上，且，
所以，所以可得，
所以抛物线E的方程为.
（2）抛物线方程为，焦点坐标为，
当的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，
当的斜率不存在时，的斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求，
故设，，则，
，，，，
由，消去x得，
，，，
所以，
同理，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为．
18．【正确答案】（1）见详解
（2）
【详解】（1）连接交于，连接，，，
因为正四棱锥，所以四边形是正方形，是中点，
又因为点分别是棱的中点，且当时是中点，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，，
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为正四棱锥，所有棱长都等于4，
所以是顶点在底面投影，两两垂直，
以为坐标原点，分别为轴建立如图所示坐标系，
易知，由可得
则，，，，，，
所以，，，
，，，
设平面的法向量，
则，解得平面的一个法向量，
设平面的法向量，
则，解得平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
因为，所以，
所以，即平面与平面夹角余弦值的取值范围为.
19．【正确答案】（1）
（2）见详解
（3）
【详解】（1）由题可知，，所以，又点在C上，
所以，解得．
所以椭圆C的标准方程为；
（2）因为，
所以，所以，
显然直线l的斜率存在且不为0．设直线l的方程为，
且．
由得，
所以，①
所以，
整理得，
将①式代入得，化简得，
所以直线l的方程为，直线l过定点
（3）由（2）得，
由，解得，
且，②
所以，
代入②式得，令，
所以，
所以当，即时，.