广东省兴宁市第一中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]

这是一份广东省兴宁市第一中学2025_2026学年高二上学期12月月考数学试题 [含答案]，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知直线经过和两点，则的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．在等差数列中，，则的值为（ ）
A．15B．20C．30D．40
3．如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
4．圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则＝（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．在等差数列中，若，，则（ ）
A．10B．18C．26D．32
7．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线左、右顶点分别为．若直线与两条渐近线分别交于，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、多选题
9．已知直线，则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，两直线与之间的距离为
10．如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点（不包括端点），平面交棱于点，则下列命题中正确的是（ ）
A．不存在点，使得为直角
B．对于任意点，都有直线平面
C．对于任意点，都有平面平面
D．三棱锥的体积为定值
11．已知直线过抛物线的焦点，且交抛物线于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则的最小值为
C．若，则D．若，则直线的斜率为
三、填空题
12．已知，，，若，则的值为 .
13．已知椭圆，、分别为椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 ．
14．《孙子算经》提出了“物不知其数”问题的解法，被称为“中国剩余定理”.“物不知其数”问题后来经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高度.现有一个剩余问题：在正整数中，把被3除余数为2，被4除余数为2的数，按照由小到大的顺序排列，分别得到数列，，将，中不同的数放在一起，再按照由小到大的顺序排列，得到数列，则 .
四、解答题
15．已知数列的前项和，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前20项和．
16．已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程.
17．已知递增等差数列满足：，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2n项和.
18．如图（1），在直角梯形中，，，过的中点作交于点，，现将四边形沿着翻折至位置，使得，如图（2）所示．
（1）证明：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由．
19．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，不过点的直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若弦的中点的纵坐标为，求面积的最大值；
（3）若，求证：直线过定点.
答案
1．【正确答案】D
【详解】直线的斜率为，
设的倾斜角为，则，解得.
故选D
2．【正确答案】D
【详解】等差数列中，解得，
则.
故选D.
3．【正确答案】C
【详解】由点在上，且，知；
由为的中点，知.
所以.
故选C.
4．【正确答案】A
【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为．
设点关于直线对称的点，
则，解得，．
由轴对称的性质得新圆的半径为，
对称的圆的方程为，故A正确.
故选A
5．【正确答案】B
【详解】由题意到准线的距离减去到轴距离等于1，所以，．
故选B．
6．【正确答案】D
【详解】因为数列为等差数列，所以等差数列的片段和：
，，，仍为等差数列.
又，，
所以，
.
故选D
7．【正确答案】A
【详解】椭圆，由，得点在椭圆内，
设，则，
两式相减得，而，
因此，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
故选A
8．【正确答案】D
【详解】因为渐近线方程，所以，解得，同理，
由，则，即，整理得，
所以离心率.
故选D.

9．【正确答案】CD
【详解】对于A:变形为，
令得，因此直线过定点，故A错误；
对于B：当时，，，
因为，所以两直线不垂直，故B错误；
对于C：当时，，
因为，所以两直线平行，故C正确；
对于D：当时，则满足，得
此时，，
则两直线间的距离为，故D正确.
故选CD.
10．【正确答案】ACD
【详解】对于A，在正方体中，
，
因此与不垂直，即不存在点，使得为直角，A正确；
对于B，连接，则平面平面，
若平面，且平面，则，
显然仅当和为所在棱的中点时与才平行，B错误；
对于C，连接，
由平面，平面，
得，由为正方形，得，
而，平面，则平面，
又平面，于是，同理，
而，平面，则平面，
又平面，因此平面平面，C正确；
对于D，由，平面，平面，则平面，
则点到平面的距离为定值，又的面积为定值，
因此三棱锥的体积为定值，D正确.
故选ACD
11．【正确答案】ABD
【详解】如图，
对于A，根据抛物线的性质，所有的焦点弦中，通径最短，为，
所以，，抛物线，焦点，故A正确；
对于B，根据抛物线的定义，，所以，
当三点共线时等号成立，取得最小值，故B正确；
对于C，记准线与轴的交点为，过作于.因为，，所以，所以.
根据抛物线的定义：，，所以，故C错误；
对于D，当，直线斜率存在且不为0，设直线即.
代入抛物线得，整理得.
设则，
由，点在第一象限，得.解得，故D正确.
故选ABD.
12．【正确答案】
【详解】因为，，所以，
由得，又，
所以，解得.
13．【正确答案】
【详解】由椭圆焦点三角形的性质可得，，
所以，
即.
又椭圆的离心率，所以.
14．【正确答案】239
【详解】因为，
可知数列是首项为2，公差为3的等差数列，是首项为2，公差为4的等差数列，
可得，
又因为数列，的相同的数组成的数列为，
可知数列是首项为2，公差为12的等差数列，可得，
则数列依次为，
可得，所以.
15．【正确答案】（1）；
（2）
【详解】（1），.
当时，满足上式，所以数列的通项公式为.
（2），
故.
16．【正确答案】（1）
（2）或
【详解】（1）因为，
所以线段的中点坐标为，直线的斜率，
因此线段的垂直平分线方程是.
联立，解得，
所以圆心的坐标.
圆的半径长
所以圆心为的圆的标准方程是；
（2）因为直线被圆截得的弦长为，
所以圆到直线的距离.
①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意.
②当直线的斜率存在时，设，
即.
所以，解得或.
直线的方程为或
17．【正确答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用因式分解得，即，从而解出通项公式.
（2）解法一：结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和求解即可；解法二：利用并项求和法求和即可.
【详解】（1）设递增等差数列an的公差为d，则，
因为，所以，
即，
因为，，所以，所以，所以，
故数列an的通项公式为.
（2）解法一：
.
解法二：
.
18．【正确答案】（1）见详解
（2）存在，点位于线段靠近点的三等分点
【详解】（1）证明：，，，，
又，，，；
，，四边形为平行四边形，，
即图（2）中，，又，，，
，，平面，平面，
平面，，
，平面，平面.
（2）解：由（1）得：平面，又，两两互相垂直，
以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，，，
设在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，且，，
，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，
；
轴平面，平面的一个法向量，
，
解得：（舍）或，，
当点位于线段靠近点的三等分点时，平面与平面的夹角的余弦值为.
19．【正确答案】（1）
（2）
（3）见详解
【详解】（1）由题意得：，解得，椭圆方程为：
（2）因为弦的中点的纵坐标为，所以直线斜率存在.
设直线，代入，可得，
设，，则，，
因为弦的中点的纵坐标为，
所以，即，
，
O到直线MN的距离，
，
由，，可得，
当即时，取得最大值.
（3），，
即，
，，
代入（*）式，得，
即，
化简得，
即 ，
或，
当时，则直线，此时直线过点，不合题意舍去，
当时，则直线，此时直线过定点，
当直线斜率不存在时，直线交椭圆于，，
此时，显然成立.
直线过定点.