2024_2025学年广东省揭阳市高三上学期12月月考数学试卷[附答案]

这是一份2024_2025学年广东省揭阳市高三上学期12月月考数学试卷[附答案]，共9页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知函数，，则实数，下列命题中，是真命题的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．在复平面内，若是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数，，则实数（ ）
A．1B．-1C．D．0或1
4．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如下图所示的“曲池”，其高为，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（ ）

A．B．5πC．D．
5．如图，在中，，为上一点，且，若，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
6．在锐角中，已知，则，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
7．如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体，其外接球、内切球、内棱切球都存在，并且三球球心重合.已知某正二十面体的棱长为1，体积为，则该正二十面体的内切球的半径为（ ）
A．B．
C．D．
8．若曲线的一条切线为，则的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
二、多选题
9．下列命题中，是真命题的有（ ）
A．，B．，
C．，D．，
10．数列中，记为数列的前项和，为数列的前项积，若，，则（ ）
A．B．
C．数列是单调递增数列D．当取最大值时，或
11．如图，四边形是边长为的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上一动点（点与点，不重合），下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥的四个面都是直角三角形
B．三棱锥的体积最大值为
C．当时，异面直线与夹角的余弦值为
D．当直线与平面所成角最大时，平面截四棱锥外接球的截面面积为
三、填空题
12．记为等差数列的前项和，若，，则的值为 .
13．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 .
14．设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面，截球的两个截面圆的半径分别为1和3，二面角的平面角为，则球的半径为 .
四、解答题
15．已知向量.
(1)若，且x∈0,π，求的值；
(2)设函数，求函数的值域.
16．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
(1)求
(2)若，的面积为，求a的值.
17．已知数列是公差大于1的等差数列，，且，，成等比数列，若数列前项和为，并满足，.
(1)求数列，的通项公式.
(2)若，求数列前项的和.
18．如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，，分别是线段的中点，在平面内的射影为.
(1)求证：平面；
(2)若点为棱的中点，求点到平面的距离；
(3)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3)若函数有两个极值点，求证.
答案：
12．
13．
14．/
15．(1)
(2)
16．(1)
(2)
17．(1)；
(2)
18．（1）连接，，
为等边三角形，为中点，；
由题意知：平面，又平面，，
，平面，平面，
平面，；
四边形为平行四边形，，
四边形为菱形，，
分别为中点，，，
又，平面，平面.
（2）方法一：由（1）知：平面，；
则以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量m=x,y,z，
则，令，解得：，，，
点到平面的距离；
方法二：取的中点，连接，过作交于，
过作分别交的延长线于，则分别是的中点，
，平面，平面，平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离；
由（1）得：，平面，
平面，是直角三角形，
在菱形中，易得，，，
，，
即点到平面的距离为.
（3）方法一：，，，
设，，，
；
由（2）知：平面的一个法向量；
设平面的法向量n=a,b,c，
则，令，解得：，，；
，解得：（舍）或，
此时，
在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时；
方法二：假设存在点满足题意，取的中点，连接，
过作交于，连接，
，平面， 又由（1）得：，，
二面角的平面角为，；
在菱形中，作，
，，
，
为直角三角形，，，
在棱上存在点，使得平面与平面所成的角为，此时.
19．（1）当时，，
所以，故切点坐标为，
又，所以，
故切线的斜率为，由点斜式可得，即，
故曲线在点1,f1处的切线方程为；
（2）的定义域为0,+∞，
又，
当，即时，在0,+∞上恒成立，
故在0,+∞上单调递减；
当，即或，
令，解得，
若时，则当或时，f′x0，
所以在上单调递减，在上单调递增；
若时，f′x