2024-2025学年广东省揭阳第一中学高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省揭阳第一中学高二上学期期末考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x|−20，且f2m−1+fn−2=f0，则12m+1+1n的最小值为( )
A. 2B. 1C. 32D. 34
8.设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，左、右顶点为A1，A2，已知P为双曲线一条渐近线上一点，若∠F1PF2=3∠A1PA2=π2，则双曲线C的离心率e= ( )
A. 13B. 2 3C. 11D. 10
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到的概率都是251．
B. 已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数．
C. 数据2，4，6，8，10，12，14，16的第60百分位数为10．
D. 甲乙丙三种个体按3:1:2的比例分层抽样，若抽取的甲个体数为9，则样本容量为18．
10.已知数列an的前n项和为Sn=12n2−132n+6，则下列说法正确的是
A. an=n−7B. 1a2a3+1a3a4+1a4a5+1a5a6=45
C. 使Sn>0的最小正整数n为13D. Snn的最小值为−3
11.点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，则下列结论中正确的( )
A. 当P在平面CC1D1D上运动时，四棱锥P−ABB1A1的体积变大
B. 当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是π3,π2
C. 若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面B1CD1时，PF长度的最小值是 62
D. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为2 2+π2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数fx=m2−m−5xm为幂函数，且在0,+∞上单调递增，则实数m的值是 ．
13.《易经》是中国传统文化中的精髓，易经八卦分别为乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑，现将乾､坤､巽三卦按任意次序排成一排，则乾､坤相邻的概率为 ．
14.已知平面向量a，b，c满足|a|=1，b=2，a,b=π3，且(c−a)·(c−b)=0，则b⋅c的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若向量m=(csA,csB)，n=(b+2c,a)，且m⊥n．
(1)求角A的大小；
(2)若a=4 3，b+c=8，求AC边上的高ℎ的值．
16.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y=2x−4，设圆C的半径为1，圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x−1上，过点A作圆C的切线，求切线方程；
(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
17.(本小题12分)
如图1，已知等边▵ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且满足2AM=BM，2CN=AN，如图2，将▵AMN沿MN折起到▵A′MN的位置．
(1)求证：平面A ′BM⊥平面BCNM；
(2)若A′M⊥CN，求平面A′BC和平面A′MN的夹角的正弦值．
18.(本小题12分)
已知数列an是等差数列，设Snn∈N∗为数列an的前n项和，数列bn是等比数列，bn>0，若a1=3，b1=1，b3+S2=12，a5−2b2=a3．
(1)求数列an和bn的通项公式；
(2)求数列anbn的前n项和；
(3)若cn=2Sn,n为奇数bn,n为偶数，求数列cn的前2n项和．
19.(本小题12分)
已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2，且F2为抛物线C2:y2=2px的焦点，C2的准线l被C1和圆x2+y2=a2截得的弦长分别为2 2和4．
(1)求C1和C2的方程；
(2)直线l1过F1且与C2不相交，直线l2过F2且与l1平行，若l1交C1于A,B，l2交C1交于C,D，且在x轴上方，求四边形AF1F2C的面积的取值范围．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.B
5.B
6.A
7.B
8.A
9.ACD
10.BCD
11.BCD
12.3
13.23
14. 3+52
15.解：(1)因为m⊥n，所以m·n= 0，
所以(b+2c)csA+a csB=0，
由正弦定理得csAsinB+2csAsinC+csBsinA=0，
即sin(A+B)+2csAsinC = 0，
因为A+B=π−C，
所以sin(A+B)=sinC，
即sinC+2csAsinC=0，
又因为C∈(0,π)，所以sinC > 0，
所以csA=−12，
因为A∈(0,π)，所以A=2π3；
(2)由已知a=4 3，b+c=8，
又csA=−12=b2+c2−a22bc=(b+c)2−2bc−a22bc，
解得bc=16，从而解得b=c=4，
所以S=12bcsinA=12ℎb，
所以ℎ=2 3．
16.解：(1)由y=2x−4和y=x−1联立，得圆心C(3,2)．
∵圆C的半径为1，
∴圆C的方程为(x−3)2+(y−2)2=1，
显然切线的斜率一定存在，
设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx−y+3=0．
∴圆心到切线的距离为|3k−2+3| k2+1=1，
解得k=0或k=−34．
∴所求圆C的切线方程为y=3或3x+4y−12=0．
(2)∵圆C的圆心在直线l：y=2x−4上，
∴设圆心C的坐标为(a,2a−4)，
则圆C的方程为(x−a)2+[y−(2a−4)]2=1．
又∵MA=2MO，设M(x,y)，
则 x2+(y−3)2=2 x2+y2，整理得x2+(y+1)2=4，设为圆D．
∴点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，
∴2−1≤ a2+[(2a−4)−(−1)]2≤|2+1|，
由5a2−12a+8≥0，得a∈R，
由5a2−12a≤0，得0≤a≤125．
综上所述，a的取值范围为[0,125].

17.解：(1)在△AMN中，由余弦定理得MN2=AM2+AN2−2AM⋅ANcsA=3，
所以MN2+AM2=AN2，即MN⊥AM，所以MN⊥A′M，MN⊥BM，
又因为BM∩A′M=M ，A′M⊂平面A′BM，BM⊂平面A′BM，
所以MN⊥平面A′BM，
又因为MN⊂平面BCNM，所以平面A′BM⊥平面BCNM；
(2)由条件：A′M⊥CN ，由(1)A′M⊥MN ，MN∩CN=N,MN,CN⊂ 平面BCNM，
∴A′M⊥ 平面BCNM，
以M为原点，MB所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，
MA′所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

则M0,0,0，A′0,0,1，B2,0,0，N0, 3,0，C12,3 32,0，
即A′C=12,3 32,−1，BC=−32,3 32,0，MA′=0,0,1 ，MN=0, 3,0，
设平面A′BC的一个法向量为m=a,b,c，则m⋅A′C=0m⋅BC=0 ，即a+3 3b−2c=0a= 3b,
令b=1，有m= 3,1,2 3，
设平面A′MN的一个法向量为n=x,y,z，则由n⋅MA′=0n⋅MN=0 ，可化简得z=0 3y=0 ，
令x=1，有n=1,0,0，
设平面A′BC和平面A′MN夹角为α，则csα=m⋅nmn= 34，所以sinα= 134．
综上，平面A′BC和平面A′MN夹角的正弦值为 134 ．
18.(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，
因为a1=3，b1=1，则由b3+S2=12a5−2b2=a3,
即b1q2+a1+a1+d=123+4d−2b1q=3+2d，得q2+6+d=123+4d−2q=3+2d,
解得d=2q=2或d=−3q=−3，因为bn>0，故舍去d=−3q=−3,
所以an=3+2(n−1)=2n+1，bn=2n−1．
(2)由(1)得an=2n+1，bn=2n−1，所以anbn=2n+1⋅2n−1，
令数列anbn的前n项和为Qn，则Qn=a1b1+a2b2+a3b3+⋯+anbn，
即Qn=3×1+5×21+7×22+⋯+2n+1⋅2n−1①，
2Qn=3×21+5×22+7×23+⋯2n−1⋅2n−1+2n+1⋅2n②，
两式相减得：−Qn=3+2×21+2×22+⋯+2×2n−1−2n+1×2n
=3+22+22+⋯2n−1−2n+1⋅2n=3+22−2n1−2−2n+1×2n
=−2n−1⋅2n−1，
所以Qn=2n−1⋅2n+1n∈N∗．
(3)设数列cn的前n项和为Tn
由a1=3，an=2n+1，得Sn=na1+an2=n(n+2)，
则cn=2n(n+2),n为奇数2n−1,n为偶数，即cn=1n−1n+2,n为奇数2n−1,n为偶数；
故T2n=(c1+c3+⋯+c2n−1)+(c2+c4+⋯+c2n)
=1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1+2+23+⋯+22n−1
=1−12n+1+2(1−4n)1−4 =1+22n+13−12n+1．

19.(1)由{2b2a=2 22 a2−c2=2b=4得a=2 2,b=c=2,p=4，
所以C1和C2的方程分别为x28+y24=1,y2=8x．
(2)由题意，AB的斜率不为0，设AB:x=ty−2，
由{x=ty−2y2=8x，得y2−8ty+16=0,Δ=64t2−64≤0，得t2≤1，
由{x=ty−2x2+2y2−8=0，得(t2+1)y2−4ty−4=0，
AB=2a+e(x1+x2)= 22t(y1+y2)+2 2=4 2(t2+1)t2+2，
AB与CD间的距离为4 t2+1，由椭圆的对称性，ABDC为平行四边形，
SΔF1F2C=12SABDC=12⋅4 2(t2+1)t2+2⋅4 t2+1=8 2 t2+1t2+2，
设 t2+1=m,m∈1, 2，SAF1F2C=8 2m+1m∈[163,4 2]．