江苏省宿迁市宿豫中学2025--2026学年高一上册期末数学模拟卷（3）【附解析】

这是一份江苏省宿迁市宿豫中学2025--2026学年高一上册期末数学模拟卷（3）【附解析】，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则A∩B中元素的个数为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】采用列举法列举出中元素的即可.
【详解】由题意，，故中元素的个数为3.
故选：B
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
2. 角是第二象限的角，则所在的象限为（ ）
A. 第一、三象限B. 第二、三象限C. 第一、四象限D. 第三、四象限
【答案】A
【解析】
【分析】表示出在第二象限的集合，再求所在象限的集合即可
【详解】由题可知，故，
当为偶数时，在第一象限；当为奇数时，在第三象限.
故所在象限是第一或第三象限.
故选：A
【点睛】思路点睛：本题考查所在象限的判断，常规思路为：先表示出所在象限集合，再求对应集合，结合具体值综合分析
3. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出的零点个数可排除A；求出的定义域可排除C；根据时函数值的正负可排除D.
【详解】令，得，所以只有1个零点，
即函数的图象与轴只有1个交点，故A错误；
由，得，
所以的定义域为，故C错误；
当时，，故D错误.
故选：B
4. 用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示：
则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（ ）
A. 1.6B. 1.7
C. 1.8D. 1.9
【答案】C
【解析】
【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可.
【详解】由表格可得，函数的零点在区间内.
结合选项可知，方程的近似解可取为1.8.
故选：C.
5. 若，，并且均为锐角，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同角三角函数之间的基本关系计算可得，，再由两角差的余弦公式计算可得结果.
【详解】由，可得，
又，所以，
因为，，所以，
所以
，
又因为，所以.
故选：C
6. 已知函数的定义域为，若存在，满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知结合函数的单调性可求的最大值与最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化即可求解.
【详解】令，且在单调递减，所以的最小值为，
可得，且，
所以在上单调递增，所以
因为存在，满足，
则，
所以
解得：，
故选：D.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则值域是值域的子集.
7. 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（单位：）与速度（单位：）之间有如下关系式：，其中是比例系数，且是汽车质量（单位：）.若某辆卡车不装货物（司机体重忽略不计）以的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走.当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面处有障碍物时能在离障碍物以外处停车，则最高速度应低于（假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过）（ ）
A. 16B. 18C. 24D. 27
【答案】B
【解析】
【分析】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），依题意可得，卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过，可得，解不等式可得答案.
【详解】设卡车本身的质量为（），速度为（），刹车滑行距离为（），依题意可得，将，代入可得：.
又卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过，
这内卡车行驶的路程为：（）.
由，
所以.
根据速度的意义，所以.
所以卡车行驶的速度应低于.
故选：B
【点睛】关键点点睛：理解题意，找出题目中的不等关系是解题关键.
8. 设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设条件画出函数的简图，由图象分析得出的取值范围.
【详解】当时，，则，
即当时，，
同理当时，；
当时，.
以此类推，当时，都有.
函数和函数在上的图象如下图所示：
由图可知，，解得，
即对任意，都有，即的取值范围是.
故选：D
【点睛】关键点睛：解决本题的关键对的理解，并结合图象，非常直观的得出满足条件的m的取值范围.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分.
9. 设正实数x，y满足，则（ ）
A. xy有最大值为B. 有最小值为
C. 有最小值为5D. 有最大值为
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式求出最值判断AB;利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断C；利用基本不等式等号成立的条件判断D即可.
【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A错误；
对于B，，当且仅当时取等号，B正确；
对于C，，
当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，
，当且仅当，即时取等号，
而，因此不能取等号，D错误.
故选：BC
10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数有2个零点
B. 当时，
C. 不等式的解集是
D. ，都有
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．
【详解】对A，当时，由得，
又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，故A错误；
对B，设，则，则，故B正确；
对C，当时，由，得；
当时，由，得无解；故C正确；
对D，，都有
，故D正确；
故选：BCD．
11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则（ ）
A. 函数的值域是B. 函数是周期函数
C. 函数的图象关于对称D. 方程只有一个实数根
【答案】AD
【解析】
【分析】先研究函数的奇偶性，作出函数的图象，作出函数的图象判断选项ABC的正确性，再分类讨论判断方程的根的个数得解.
【详解】由题得函数的定义域为,
，
所以函数为偶函数，
当时，；
当时，；
当时，；
所以函数的图象如图所示，
所以函数的图象如图所示，
所以函数的值域是，故选项A正确；
由函数的图象得到不是周期函数，
故选项B不正确；
由函数的图象得到函数的图象不关于对称，故选项C不正确；
对于方程，
当时，，方程有一个实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
当时，，此时，此时方程没有实数根；
故方程只有一个实数根，故选项D正确.
故选：AD
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是能准确作出函数的图象，研究函数的问题，经常要利用数形结合的思想分析解答.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 幂函数在上是减函数，则实数的值为______.
【答案】-1
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性，即可求解.
【详解】由幂函数知，
得或.
当时，在上是增函数，
当时，在上是减函数，
∴.
故答案为
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题.
13. 函数的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用换元法，设，可得，从而函数可化为，求出最小值即可.
【详解】设，则，，
所以，
当时，函数取得最小值.
故答案为：.
14. 我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，则函数的图象的对称中心为__________，__________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】令，求得，得到为奇函数，结合题设中的定义，得到的图像关于对称，即，再利用倒序相加法求和，即可得到答案.
【详解】因为，所以，
令，
则满足，即，解得，所以函数的定义域为，
又因为，
所以为奇函数，所以的图像关于对称，
所以，
令，
则，
两式相加，可得，
因为，所以，
所以，可得，即
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设全集，集合.
（1）求；
（2）设为实数，集合.若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出集合中元素范围，进而根据补集和交集的概念计算即可；
（2）根据充分性可得集合间的包含关系，根据包含关系可得的取值范围.
【小问1详解】
由题意，
则，
；
【小问2详解】
由“”是“”的充分条件，
可知，即
则，
实数的取值范围是.
16. （1）化简求值：
（2）计算：
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析】（1）根据根式和指数幂运算得到答案；
（2）根据对数的运算公式计算得到答案；
【详解】（1）原式=
；
（2）原式
17. 已知函数；
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由一元二次不等式的解集及根系关系求参数.
（2）将问题转化为存在，使得成立，结合基本不等式求范围，注意等号成立条件，进而求的范围.
【小问1详解】
由题意知：1和是的两根，
故，，即，.
【小问2详解】
存在，使得成立，
即存在，使得成立，
即存在，使得成立，
当时，，当且仅当时取等号，
故，可得．
即实数的取值范围为.
18. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数.
（1）求的值，并证明为奇函数；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用指数函数的单调性，得到，得出，再由函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解；
（2）根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得的最大值，结合题意，即可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，
所以函数在上的最大值与最小值之积等于，解得，
可得，则，其定义域为，
又由，所以函数为上的奇函数.
【小问2详解】
解：由，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，
因为对恒成立，所以，
即，所以实数的取值范围为.
19. 已知函数，其中t为常数.
（1）当，时，若，求x的值；
（2）设函数在上有两个零点m，n，
①求t的取值范围；
②证明：.
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）将代入后可得，结合范围计算即可得解；
（2）①借助换元法，结合二次函数的性质计算即可得；②由韦达定理可得，，结合三角函数在上的单调性与①中所得计算有，即可得，即可得证.
【小问1详解】
由，则，
当时，，而，
故或（舍），故，
【小问2详解】
①令，因为，所以，则，
则，
由在上单调递增，
故关于的方程在上有两个不相等实数根，
即有，
解得，即的取值范围为；
②令，，
则，为关于的方程的两根，
则有，，
所以，，
所以，
即，
即有，由①知，
故，又，故，
由于，则，故，
又在上单调递增，故，
即.
【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助韦达定理得到，，从而可得，再结合三角函数在上的单调性与①中所得计算即可得解.
x
1
2
1.5
1.625
1.75
1875
1.812 5
f（x）
－6
3
－2.625
－1.459
－0.14
1.341 8
0.579 3