2025-2026学年江苏省宿迁市宿豫中学高二（上）期末数学仿真试卷（一）（含答案）

这是一份2025-2026学年江苏省宿迁市宿豫中学高二（上）期末数学仿真试卷（一）（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.4与9的等比中项为( )
A. 6B. -6C. ±6D. 36
2.若函数f(x)在x=x0处可导，则limΔx→∞f(x0+2Δx)-f(x0)Δx=( )
A. f'(x0)B. 2f'(x0)C. 3f'(x0)D. 12f'(x0)
3.已知向量a=(4,m,2)为直线l的方向向量，n=(2,-2,1)为平面α的法向量，若l⊥α，则实数m等于( )
A. 5B. 2C. 12D. -4
4.已知直线l1：x-2y-4=0的倾斜角为θ，则直线l2：xcs2θ+y+1=0的斜率k=( )
A. 35B. -35C. 43D. -45
5.已知函数y=f(x)的图象如图，则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是( )
A. f'(xA)>f'(xB)B. f'(xA)0)的焦点为F，P(x0,4)为抛物线上一点，若|PF|=5，则p的值为 ．
14.已知圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2-8x+6y+m=0外切，此时直线1：3x+4y+5=0被圆C2所截的弦长为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=x3-3x+2．
(1)求f(x)在x=0处的切线方程；
(2)求f(x)在[-2,3]上的值域．
16.(本小题15分)
已知数列{an}满足：a1=23,an+1+anan+1=2an，其前n项和为Sn．
(1)证明：{1an-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)证明：Sn>n-1．
17.(本小题15分)
在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x ​2+mx-2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1).当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)求证：过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
18.(本小题17分)
如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．
(1)求证：A1B//平面AEC1；
(2)求平面AEC1与平面ABB1A1所成角的余弦值；
(3)求点A1到平面AEC1的距离．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2=1(a>0)，点A(a,1)，B(-a,1)，O为坐标原点，且OA⋅OB=-3．
(1)求椭圆C方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两个动点，且满足kOM⋅kON=kOA⋅kOB，
(i)求△OMN的面积；
(ii)已知点P(0,-1)，且直线PM与ON交于点S，直线PN与OM交于点T，试探究(PSMS)2+(PTNT)2是否为定值？若是定值，请求出该定值，若不是，请说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.D
4.B
5.B
6.D
7.B
8.C
9.AC
10.ABD
11.ABD
12.2
13.2
14.4 2
15.解：(1)根据导函数f'(x)=3x2-3，f'(0)=-3，f(0)=2，
因此函数f(x)在(0,f(0))处的切线是y=-3x+2．
(2)根据导函数f'(x)=3(x+1)(x-1)，列表如下：
从上表可知，函数f(x)在[-2,3]上的值域是[0,20]．
16.证明：(1)由题意{an}每一项都不为零，
由an+1+anan+1=2an得1an+1=2an+1，
即有1an+1=12(1an+1)，
可得1an+1-1=12(1an-1)，且1a1-1=32-1=12，
因此{1an-1}是首项和公比均为12的等比数列；
所以1an-1=12×12n-1=12n，故an=2n2n+1；
(2)对于任意的正整数n，因为(1-2-n)(1+2-n)1-2-n，
求和得到Sn=a1+a2+⋯+an>n-(12+122+⋯12n)=n-12(1-12n)1-12=n-1+12n>n-1．
17.解：(1)曲线y=x2+mx-2与x轴交于A、B两点，
可设A(x1,0)，B(x2,0)，Δ=m2+8>0，
由韦达定理可得x1x2=-2，
若AC⊥BC，则kAC⋅kBC=-1，
即有1-00-x1⋅1-00-x2=-1，
即为x1x2=-1，这与x1x2=-2矛盾，
故不能出现AC⊥BC的情况；
(2)证明：设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，
由题意可得y=0时，x2+Dx+F=0与x2+mx-2=0等价，
可得D=m，F=-2，
圆的方程即为x2+y2+mx+Ey-2=0，
由圆过C(0,1)，可得0+1+0+E-2=0，可得E=1，
则圆的方程即为x2+y2+mx+y-2=0，
再令x=0，可得y2+y-2=0，
解得：y=1或-2．
即圆与y轴的交点为(0,1)，(0,-2)，
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3．
18.解：(1)证明：如图所示，连接A1C交AC1于F点，连接EF，
由三棱柱的特征可知侧面ACC1A1是平行四边形，则F是A1C的中点，
又因为E是BC中点，所以EF//A1B，
因为EF⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，
所以A1B//平面AEC1；
(2)由已知可得AA1⊥底面ABC，AB⊥AC，
如图以A为原点，以AB、AC、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，E(1,1,0)，C1(0,2,2)，C(0,2,0)，
故AE=(1,1,0)，AC1=(0,2,2)，
设平面AEC1的一个法向量为n=(x,y,z)，且AE,AC1在平面AEC1上，
则n⋅AE=x+y=0n⋅AC1=2y+2z=0,
令y=-1，则x=1，z=1，
即n=(1,-1,1)，
易知AC=(0,2,0)是平面ABB1A1的一个法向量，
设平面AEC1与平面ABB1A1所成角为θ，
则|csθ|=|n⋅AC||n|⋅|AC|=22× 3= 33，
由图可知，平面AEC1与平面ABB1A1所成角为锐二面角，
故平面AEC1与平面ABB1A1所成角的余弦值为 33；
(3)易知AA1=(0,0,2)，
则点A1到平面AEC1的距离d=|AA1⋅n||n|=2 3=2 33．
19.解：(1)已知A(a,1)，B(-a,1)，
则OA=(a,1)，OB=(-a,1)，
由题OA⋅OB=1-a2=-3，解得a=2，
则椭圆C方程：x24+y2=1；
(2)(i)由已知可得kOM⋅kON=kOA⋅kOB=12×(-12)=14，
当MN的斜率k不存在时，设MN：x=t，M(t,yM)，N(t,yN)，yN=-yM，
与椭圆方程联立得t24+yN2=1，t24+yM2=1，
由kOM⋅kON=yMyNxMxN=-yM2t2=t24-1t2=-14，解得t=± 2,yM=± 22，
则S△OMN=12|t|×2|yM|=12 2×2× 22=1，
当MN的斜率k存在时，设MN：y=kx+m，
联立y=kx+mx24+y2=1，得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0，
当Δ=16(4k2-m2+1)≥0时，
xM+xN=-8km4k2+1,xMxN=4m2-44k2+1，
kOM⋅kON=yMyNxMxN=(kxM+m)(kxN+m)xMxN=m2-4k24m2-4=-14，得m2=4k2+12，
|MN|= 1+k2|xM-xN|= 1+k2× (xM+xN)2-4xMxN=2 2 k2+14k2+1，
点O到MN的距离d=|m| 1+k2= 22 4k2+1k2+1，
因此S△OMN=12d⋅|MN|=12× 22 4k2+1k2+1×2 2 k2+14k2+1=1，
综上可知，S△OMN=1；
(ii)如图，
由题直线PM：y+1=yM+1xM,ON：y=yNxNx，
由yNx-xNy=0(yM+1)x-xMy-xM=0，解得S(xMxNxNyM-xMyN+xN,xMyNxNyM-xMyN+xN)，
所以PSMS=|xS||xM-xS|=|xN||xNyM-xMyN|，
同理PN：y+1=yN+1xN,OM：y=yMxMx，
由yMx-xMy=0(yN+1)x-xNy-xN=0，解得T(xMxNxMyN-xNyM+xM,xNyMxMyN-xNyM+xM)，
可得PTNT=|xT||xN-xT|=|xM||xNyM-xMyN|，
故(PSMS)2+(PTNT)2=xM2+xN2(xNyM-xMyN)2=xM2+xN2xM2yN2+xN2yM2-2xMxNyMyN
利用yM2=1-xM24,yN2=1-xN24，
得(PSMS)2+(PTNT)2=xM2+xN2xM2(1-xN24)+xN2(1-xM24)-2xMxNyMyN，
又因为kOM⋅kON=yMyNxMxN=-14，所以yMyN=-14xMxN，则xMxNyMyN=-14xM2xN2，
所以(PSMS)2+(PTNT)2=xM2+xN2xM2+xN2-14xM2xN2-2xMxNyMyN
=xM2+xN2xM2+xN2-14xM2xN2+14xM2xN2=xM2+xN2xM2+xN2=1．
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,1)
1
(1,3)
3
f'(x)
+
0
-
0
+
f(x)
0
增
4
减
0
增
20