湖南省株洲市第四中学2025--2026学年高二上册10月月考数学试题【附解析】

这是一份湖南省株洲市第四中学2025--2026学年高二上册10月月考数学试题【附解析】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知，其中为实数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数相等求参数的值.
【详解】因为，
所以，
所以，解得，
故选:B.
2. 原点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离.
【详解】由点到直线距离可知所求距离.
故选：D
【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题.
3. 如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则等于（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量加、减法和数乘运算法则求解.
【详解】因为，所以，
所以，
故选：D.
4. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为.若，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得到，进而得到方程组，求得的值，即可求解.
【详解】由直线的方向向量为，平面的法向量为，
因为，可得，所以，
即，解得，所以.
故选：A.
5. 已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点.
【详解】当线段最短时，直线与直线垂直，
此时点为直线与直线的交点.
因为直线与直线垂直，
所以，直线方程为，
由得，所以.
故选：A.
6. 已知点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由空间两点间距离公式计算即可；
【详解】设，
由题意可得，解得，
所以点的坐标为，
故选：B
7. 已知两定点、，动点在直线上，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
作出图形，可知点、在直线的同侧，并求出点关于直线的对称点的坐标，即可得出的最小值为.
【详解】如下图所示：
由图形可知，点、在直线的同侧，且直线的斜率为，
设点关于直线的对称点为点，则，
解得，，即点，
由对称性可知，
故选：D.
【点睛】本题考查位于直线同侧线段和的最小值的计算，一般利用对称思想结合三点共线求得，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8. 如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，分别为的中点，是的中点，，则折后二面角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可由向量的夹角求解.
【详解】由题意知平面平面，如图，连接，
因为四边形是菱形，是的中点，所以，又平面平面平面，所以平面，而平面，所以，从而，三线两两垂直．以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

令，则．
设平面的法向量为，则得
取，则，得平面的一个法向量为．
易知平面的一个法向量为，
则．由图知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
故选:A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 在直角梯形ABCD中，，，，，，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A. 该几何体为圆台B. 该几何体的母线长为5
C. 该几何体体积为93πD. 该几何体的表面积为56π
【答案】ABD
【解析】
【分析】由圆台的结构特征可得几何体为圆台，求得母线长，圆如的体积与表面积可得结论.
【详解】由题意可知该几何体为圆台，该圆台的母线，
体积为，表面积为．
故选：ABD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“直线与直线互相垂直”的必要不充分条件
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 若、，直线过且与线段相交，则的斜率
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用两直线垂直求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断A选项；利用两直线平行求出参数的值，结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；求出直线斜率的取值范围，利用倾斜角与斜率的关系可判断C选项；数形结合求出直线斜率的取值范围，可判断D选项.
【详解】对于A选项，若直线与直线互相垂直，
则，解得或，
所以，“”是“直线与直线互相垂直”充分不必要条件，A错；
对于B选项，若直线与直线互相平行，
则，解得，
所以，“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，B对；
对于C选项，直线的斜率为，
当时，；当时，.
因此，直线的倾斜角的取值范围是，C对；
对于D选项，如下图所示：
设线段交轴于点，直线交线段于点，
，，
当点在从点往点（不包括点）运动时，此时，直线的倾斜角为锐角，
在运动的过程中，直线的倾斜角逐项增大，此时，直线的斜率为；
当点从点（不包括点）往点运动时，此时，直线的倾斜角为钝角，
在运动的过程中，直线的倾斜角逐渐增大，此时，直线的斜率为.
综上所述，直线的斜率的取值范围是，D对.
故选：BCD.
11. 如图，四边形为正方形，平面，，，则下列说法正确的是（ ）

A. 平面B. 点到平面的距离为
C. 平面平面D. 三棱锥的体积为3
【答案】AC
【解析】
【分析】A.通过证明平面与平面平行，得到直线与平面平行，B.利用等体积法求出距离，C.作辅助线先证明线面垂直，再得到面面垂直D.，求出
【详解】对于A，∵四边形为正方形，∴
又，且，，在平面内，在平面内，
∴平面平面，又平面，
平面，A正确
对于B，三棱锥的体积，
易知为正三角形，且边长为，故，
，到平面的距离满足：，
解得：，B错误；
对于C，

连接交于点，连接，，取中点，则为直角三角形，
易知，
，，，
，
为等边三角形，且为中点，
，又，且都在平面内，
平面，又在平面内，
∴平面平面，C正确；
对于D，易知，又，与全等，
，等腰三角形，
，，
∴棱锥的体积，D错误
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，若，则m的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据数量积公式，代入求解，即可得答案.
【详解】由题意，
因为，
所以，解得.
故答案为：
13. 平面直角坐标系中有点，，直线经过点，且点到直线的距离是，则直线的方程是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】利用直线的点斜式方程及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由直线经过点，且点，，
当直线斜率不存在时，此时直线的方程为，满足点到直线的距离是；
当直线斜率存在时，设直线方程为，转化为，
因为点到直线的距离是，所以，解得，
此时直线的方程为．
故答案为：或.
14. 台风在危害人类的同时，也在保护人类．台风给人类送来了淡水资源，大大缓解了全球水荒，另外还使世界各地冷热保持相对均衡．甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8，0.7，0.9，各卫星间相互独立，则在同一时刻至少有两颗预报准确的概率是________．
【答案】0.902
【解析】
【分析】
根据题意，设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为，则至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，分别求出这四个事件的概率，求和即可得解.
【详解】设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A，B，C，不准确分别记为，
则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P()＝0.2，
P()＝0.3，P()＝0.1，
至少两颗预报准确的事件有AB，AC，BC，ABC，这四个事件两两互斥且独立．
所以至少两颗预报准确的概率为
P＝P(A∩B∩)＋P(A∩∩C)＋P(∩B∩C)＋P(A∩B∩C)
＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9
＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.
故答案为：0.902.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在梯形中，已知，，，，，求：
（1）的长；
（2）的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)由已知求得，再利用正弦定理即可求得的长；
(2)先求得的正余弦值，再利用余弦定理求的长，最后用面积公式即可.
【小问1详解】
解：在中，，
由正弦定理得：，即
故：．
【小问2详解】
解：
∴
在中，由余弦定理得：
即，解得：或舍．
故：的面积为7.
16. 为普及天文知识，某校开展了“天文知识竞赛”活动，共有1000名学生参加此次竞赛活动，现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计他们的成绩，其中成绩不低于80分的学生被评为“航天达人”，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）估计参加这次竞赛的学生成续的第75百分位数；
（2）若在抽取的80名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从6人中选择2人作为学生代表，求被选中的2人均为航天达人的概率；
（3）已知组的方差为12，组的方差为8，试估计参加此次竞赛的学生不低于80分的成绩方差（结果保留整数）；
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据百分位数计算规则计算可得；
（2）先按照分层抽样求出各层人数，再利用列举法结合古典概型即可得解.
（3）利用分层抽样的方差公式计算可求方差.
小问1详解】
由频率分布直方图可知，成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
成绩在内的频率为，
所以成绩在分以下的学生所占的比例为，
成绩在分以下的学生所占的比例为，
所以成绩的第分位数一定在内，即，
因此估计参加这次竞赛的学生成绩的百分位数为；
【小问2详解】
因为，，，
所以从成绩在，，内的学生中分别抽取了人，人，人，
其中有人为航天达人，设为，有人不是航天达人，设为，
则从人中选择人作为学生代表，
有，
共种，
其中人均为航天达人为共种，
所以被选中的人均为航天达人的概率为．
【小问3详解】
内的频率为，内的频率为，
内的平均数为，内的平均数为，
内的平均数为，
又组的方差为12，组的方差为8，
所以这次竞赛的学生不低于80分的成绩方差为.
17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，，点E、F分别为棱、的中点．
（1）若，线段中点为，且，求证：；
（2）若，请作出四棱锥过点B、E、F三点的截面，并求出截面的周长．
【答案】（1）证明见解析
（2）作图见解析，
【解析】
【分析】（1）利用空间垂直关系的转化可得平面，故可证；
（2）利用两条平行线确定一个平面，将截面找到，利用解三角形的知识求解各个边的边长，从而求出截面图形的周长.
【小问1详解】
因为，故，
又，，由直角梯形可得必定相交，
且平面，所以平面，
而平面，故.
由结合可得，
而平面，故平面，
而平面，故.
【小问2详解】
取线段的中点，连接，
因为，且，所以四边形为平行四边形，
所以，又分别为线段中点，所以，
所以，则梯形为四棱锥过点的截面，
则，，，
在中，，，
所以，则，
所以截面周长为.
18. 已知直线过定点，直线的方程是．
（1）若直线的横截距为纵截距2倍，求直线的方程．
（2）若直线与，轴正半轴分别交于，两点，过，分别作直线垂线，垂足分别是，．求四边形面积的最小值．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）分类讨论直线是否经过原点，代入求出参数，由此可求结果；
（2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值.
【小问1详解】
当经过时，设，代入，所以，即，
当不经过时，设，代入，解得，即，
所以直线的方程为或.
【小问2详解】
由题意设，
令，则，所以，令，则，所以，
所以，，
因为的倾斜角为，所以，
所以均为等腰直角三角形，
所以，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即(舍)时取等号，
由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号，
所以四边形面积的最小值为.

19. 如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点.
（1）①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明；
（2）设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）选条件②，证明见解析；
（2）存在，或.
【解析】
【分析】（1）取AB中点O，连接，先假设，则有，进而得到条件②能使，从而选条件②，再由先出垂直判定定理结合线面垂直定义即可得证；
（2）以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，求出平面和平面的一个法向量，利用求出参数y即可得解.
【小问1详解】
取AB中点O，连接，因为为棱的中点，
所以，又，则，
若，又，，、平面，
则平面，又平面，
所以有，又①②③④四个条件中，
条件②能使，故选条件②：
证明：，O为中点，所以有，
又，，、平面，
所以平面，又平面，
所以；
【小问2详解】
因为，所以，即为正三角形，
取AB中点O，则有，则由（1）可知平面，
所以是二面角的平面角，故，
设，则，
则点P到底面的距离为，点P在底面的投影落在直线上且与距离为，
以O为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，设，
所以，
分别设平面和平面的一个法向量为，
则，，
取，，
则，
则.
解得或，满足题意，
所以存在点E使得二面角的余弦值等于，当时，；当时，.
【点睛】关键点睛：解决第（2）问的关键是正确建立适当的空间直角坐标系，正确表示点P的坐标.