湖南省2024_2025学年高二数学上学期10月月考试题含解析

这是一份湖南省2024_2025学年高二数学上学期10月月考试题含解析，共19页。试卷主要包含了 复数在复平面内对应的点位于， 若函数为偶函数，则， 已知圆与圆相交于两点等内容，欢迎下载使用。
1､答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2､回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由复数除法化简复数，即可得对应的点求解.
【详解】由可得，
故对应的点为，位于第四象限，
故选：D
2. 已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则的面积最大为（）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据离心率求出，进而可求，当点A在椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大.
【详解】由题可知椭圆的焦点在轴上，，
因为椭圆的离心率为，所以，解得，
所以，
如图所示，当点A与椭圆的上顶点或下顶点重合时，的面积最大，
此时的最大面积为，
故选：B
3. 设，直线，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】求出的值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】因为直线，
当时，，此时，即可以推出，
当时，，解得或，
又时，，此时，所以推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
4. 若函数为偶函数，则（）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数的定义求解即可.
【详解】因为函数为偶函数，所以，
所以，
解得，经检验满足题意，
故选：B.
5. 已知点为直线上任意一点，则的最小值是（）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】的几何意义为直线上的点到原点的距离，由点到直线的距离公式可得．
【详解】点为直线上任意一点，
又的几何意义为直线上的点到的距离，
故最小值为到直线的距离，即最小值为
故选：C．
6. 如图，在异面直线上分别取点和，使，且，若，则线段的长为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过作，过作于，连接，根据条件得到面，从而得到，进而得，在中，利用余弦定理得到，从而可求出.
【详解】如图，过作，过作于，连接，
因为，所以，又，，面，
所以面，又面，所以，
又易知，所以，
又，所以，在中，，
所以，
在中，，，所以，
又，所以，
故选：C.
7. 已知点为椭圆上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（）
A. B. 4C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，设，利用点到直线的距离公式得到，再利用辅助角公式及的性质，即可求解.
【详解】由题可设，
则点到直线的距离为，其中，
所以当时，最小，最小值为.
故选：D.
8. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用基底表示出向量，然后求出的模，余弦定理求出的长，在中，利用余弦定理的变形即可求出
【详解】如图连接,
则
由题可知，
∴
，
，
，
∴，
在中,,
,
中,
故选：D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署．如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是（）
A. 从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大
B. 从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年
C. 这6年中国海洋生产总值的极差为15122
D. 这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628
【答案】BD
【解析】
【分析】对A，根据条形图数据可判断；对B，根据数据计算年增长率可判断；对C，计算极差可判断；对D，根据80%分位数概念计算可判断.
【详解】对于A，根据条形图数据可以看到2020年较2019年海洋生产总值是下降的，故A错误；
对于B，2019年海洋生产总值年增长率是，
2020年海洋生产总值年增长率是，2021年海洋生产总值年增长率是，
2022年海洋生产总值年增长率是，2023年海洋生产总值年增长率是，
故年增长率最大的是2021年，故B正确；
对于C，这6年中国海洋生产总值的极差为，故C错误；
对于D，将这6年的海洋生产总值按照从小到大排列80010，83415，89415，90385，94628，98537，又，
所以这6年中国海洋生产总值的80%分位数是94628，故D正确.
故选：BD.
10. 已知圆与圆相交于两点（点在第一象限），则（）
A. 直线的方程是
B. 四点不共圆
C. 圆的过点的切线方程为
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】选项A，利用两圆方程相减，即可求解；选项B，联立直线的方程与圆的方程，直接求出，，进而可得中点到四点距离相等，即可求解；选项C，利用选项B中结果，先求出，进而得到切线方程的斜率为，即可求解；选项D，直接求出，，利用余弦定理即可求解.
【详解】对于选项A，因为圆与圆，两圆方程相减得到，即直线的方程是，所以选项A正确，
对于选项B，由和，解得或，即，，
又，所以中点为，则，又，
所以到四点距离相等，即四共圆，所以选项B错误，
对于选项C，由选项B知，所以，得到圆的过点的切线方程为，
整理得到，所以选项C正确，
对于选项D，因为，，
在中，由余弦定理得，
所以选项D错误，
故选：AC.
11. 在正方体中，点满足，其中，则下列说法正确的是（）
A. 若在同一球面上，则
B. 若平面，则
C. 若点到四点的距离相等，则
D. 若平面，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题知点在线段上(不包含点)；对于A，若在同一球面上,则此球为正方体的外接球,所以与重合，由此求出的值；对于B，利用线面平行的性质定理得为的中点，据此求值；对于C，点到四点的距离相等,则为正方体外接球的球心,即的中点,据此求值；对于D，若平面,则,由对称性知，所以，进而可得是上靠近的三等分点，据此求值.
【详解】因为点满足，所以点在线段上(不包含点).
对于A，若在同一球面上，则此球为正方体的外接球，所以与重合，所以，故A错误;
对于B，如图1，设的中点为，连接，
则平面与平面的交线为直线，
要使平面，则需，则为的中点，此时，故B正确;
对于C，点到四点的距离相等，则为正方体外接球的球心，即的中点，此时，故正确;
对于D，如图2，设正方形的中心为，连接，与交于点，连接
易证，
所以，所以是上靠近的三等分点，
假设正方体的边长，则,
如图所示，在平面中，建立如图所示的平面直角坐标系，
则,
所以,
因为，所以，
若平面，面，则，
由对称性易知，则，
从而是上靠近的三等分点，此时，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线在轴上的截距为1，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，利用横截距的定义，即可求解.
【详解】因为直线，令，得到，
由题有，解得，
故答案为：.
13. 已知，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】用弦切互化的方法即可求解.
详解】
,
故答案为：.
14. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________.
【答案】9
【解析】
【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义可设，利用待定系数法得的坐标为，即可根据三点共线，结合点到直线的距离公式即可求解.
【详解】令，则．
由题意可得圆是关于点，的阿波罗尼斯圆，且，
设点坐标为，则，
整理得，
由题意得该圆的方程为，即
所以，解得，
所以点的坐标为，所以，
当时，此时最小，最小值为，
因此当时，的值最小为，
故答案为：9
【点睛】关键点点睛：根据的形式，设，则，利用阿波罗尼斯圆的定义待定出点，即可利用点到直线的距离求解.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知直线的方程为，直线经过点和.
（1）若，求的值；
（2）若当变化时，总过定点，求.
【答案】（1）或.
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直线和的斜率，利用斜率相乘为-1求解即可；
（2）将直线的方程为进行变形，然后解方程组即可得到直线经过的定点，再利用两点间的距离公式求解即可.
【小问1详解】
直线经过点和,所以，
所以直线的斜率为，因为直线的斜率为，,
所以,解得或.
小问2详解】
直线的方程为可以改写为,
由，解得，
所以总过定点,
根据两点间的距离公式,
16. 已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边转角得到，再利用辅助角及特殊角三角函数值，即可求解；
（2）根据条件及（1）中结果，得到，利用正弦定理得到，再利用面积公式，即可求解.
【小问1详解】
由，得到，
又，，得到，即，
所以，得到，又，所以，
所以，解得.
【小问2详解】
因为，由（1）知，所以，
由正弦定理，得到，
又，所以，
又面积为，所以，
整理得到，解得.
17. 已知圆，点关于直线的对称点为.
（1）求的方程；
（2）若与圆相交于两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用直线与垂直，可得，再利用中点在上，即可求解；
（2）根据条件求出，联立直线与圆的方程得到，解得，设出，其中，利用圆与圆的位置关系得到，即可求解.
【小问1详解】
因为点关于直线的对称点为，所以，得到，
又易知中点为，则，解得，
所以直线的方程为.
【小问2详解】
因为圆的圆心为，
由题有，解得或，当时，圆，不合题意，
所以，圆，即，
设，由，消得到，
所以，
设圆的圆心为，半径为，又圆与圆相切，切点在劣弧上，
则，得到，
又易知，所以当时，圆的半径最大，最大值为.
18. 如图，在三棱锥中，分别是棱，上的动点（不含端点），且.
（1）证明：平面平面.
（2）设，则当为何值时，的长度最小？
（3）当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）时，的长度最小
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，利用线面垂直的判定定理，证得平面进而由面面垂直的判定即可求解；
（3）根据线面垂直的性质，结合余弦定理和勾股定理，得到的表达式，即可由二次函数的性质求解最值.
（3）建立空间直角坐标系进而求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
由于
又平面，
所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
作交于，连接，
由于平面，故平面，平面，故，
，故，
，故又易知是等腰直角三角形，
由余弦定理可得
，
故，
故当时，此时的最小值为.
【小问3详解】
由于，故，
以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴，
以过点垂直与平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
当时，分别为的中点，
则，，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，可得平面的一个法向量，
平面的一个法向量为，
设平面与平面的所成角为，则，
故平面与平面的所成角的余弦值为.
19. 已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点.
（1）求的方程.
（2）过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为.
（i）证明：直线与的斜率之积为定值；
（ii）当的面积最大时，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）①证明见解析；②或.
.
【解析】
【分析】（1）根据已知点在椭圆上及离心率列方程组求解可得椭圆方程；
（2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理和斜率公式证明直线与的斜率之积为定值；根据弦长公式和三角形面积公式求得直线斜率最后得到直线方程.
【小问1详解】
由已知，得解得
故的方程为.
【小问2详解】
①由题可设.
将，
消去，得.
当，即时，有.
所以，即，
可得，所以，即直线与的斜率之积为定值.
②由（1）可知
又点到直线的距离，
所以的面积.
设，则，
当且仅当，即时等号成立，且满足.
所以当的面积最大时，直线的方程为或.
【点睛】关键点点睛：求解面积最值的关键点是换元设，把面积转换为的函数结合基本不等式计算最值即可，注意取等条件是否符合题意.