2024—2025学年度湖南省长沙市高二上学期10月月考数学阶段试题[含解析]

这是一份2024—2025学年度湖南省长沙市高二上学期10月月考数学阶段试题[含解析]，共26页。试卷主要包含了 命题“对，都有”的否定为， 已知，，则， 已知为圆上的动点，且动点满足， 下列说法正确的是， 已知函数下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）
1. 命题“对，都有”的否定为（ ）
A 对，都有B. 对，都有
C. ，使得D. ，使得
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 若函数是奇函数，函数是偶函数，则（ ）
A. 函数奇函数
B. 函数是奇函数
C. 函数是奇函数
D. 函数是奇函数
5. 正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知为圆上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（ ）
A. 为一条直线B. 为椭圆
C. 为与圆O相交的圆D. 为与圆O相切的圆
7. 集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（ ）
A. B. C. D.
二，多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分．选错得0分，部分选对得部分分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 方程与方程可表示同一直线
C. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为
D. 过两点的直线都可用方程表示
10. 已知函数下列命题正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 若，则为奇函数
C. 若只有一个零点，则的取值范围为
D. 若在上单调递减，则的取值范围为
11. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ）

A. 三棱锥的体积为定值B. 直线平面
C. 当时，D. 直线与平面所成角的正弦值为
三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12. 函数定义域为______.
13. 已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为______.
14. 已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是______.
四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）
15. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.

（1）求直线的方程；
（2）求直线的方程及点的坐标.
16. 在三角形中，内角所对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长.
17. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
（2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率．
18. 如图，已知圆，动点，过点P引圆的两条切线，切点分别为．
（1）求证：直线过定点；
（2）若两条切线与轴分别交于两点，求面积的最小值．
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
（1）已知直线标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；
（3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：
（ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小
2024-2025学年湖南省长沙市高二上学期10月月考数学阶段
检测试卷
一､单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，每个小题只有一个正确答案）
1. 命题“对，都有”的否定为（ ）
A. 对，都有B. 对，都有
C. ，使得D. ，使得
【正确答案】C
【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题，再直接写出否定即可.
【详解】命题“对，都有”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求否定是：，使得.
故选：C.
2. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式平方关系计算得到答案；
【详解】由诱导公式得，又由，可得．
故选：A.
3. 设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】，根据模长公式得到，两边平方得到答案.
【详解】，则，
即，故.
故选：C
4. 若函数是奇函数，函数是偶函数，则（ ）
A. 函数是奇函数
B. 函数是奇函数
C. 函数是奇函数
D. 函数是奇函数
【正确答案】C
【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】依题意，函数是奇函数，函数是偶函数，
A选项，，所以是偶函数，A选项错误.
B选项，，
所以函数是偶函数，B选项错误.
C选项，，
所以函数是奇函数，C选项正确.
D选项，，
所以函数是非奇非偶函数，D选项错误.
故选：C
5. 正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由题意设出底面边长，列出关于的不等式求解即可.
【详解】设正四棱锥的底面边长为，正四棱锥的高为，侧棱长度为，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：D.
6. 已知为圆上的动点，且动点满足：，记点的轨迹为，则（ ）
A. 为一条直线B. 为椭圆
C. 为与圆O相交的圆D. 为与圆O相切的圆
【正确答案】D
【分析】设点坐标为，设Px0,y0，由，可得，代入圆方程，可得到点的轨迹的方程，即可判断轨迹是圆，圆为与圆O相切.
【详解】设点坐标为，设Px0,y0，由，可得，
则，
所以，即，
把代入圆，
则点的轨迹的方程为：，
即是圆心为，半径为1的圆，则，
由于两圆的圆心距和两圆的半径和相等，因此两圆外切，即为与圆O相切的圆.
故选：D.
7. 集合，集合，从A，B中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】首先根据直线平行，求的值，再利用古典概型概率公式，即可求解.
【详解】从A，B中各任意取一个数相加，有种情况，
当直线，则，则，
当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，
当时，从中取一个数相加为的有，2种情况，
所以满足条件的有4种情况，
所以满足条件的概率.
故选：B
8. 已知，动圆经过原点，且圆心在直线上．当直线的斜率取最大值时，（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】运用两点间斜率公式，结合基本不等式可解.
【详解】由题意可得，，直线的斜率为．
因为，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
即当直线的斜率取最大值时，，所以，故．
故选：B．
二，多选题（本题共3个小题，每小题6分，共18分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得6分．选错得0分，部分选对得部分分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线的倾斜角为
B. 方程与方程可表示同一直线
C. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为
D. 过两点的直线都可用方程表示
【正确答案】AD
【分析】对于A：先求斜率，进而可得倾斜角； 对于B，注意区分方程与方程的不同之处，对于C：设直线l：，
进而可得截距，根据题意进行求解即可，对于D：根据两点式方程的变形进行判断即可.
【详解】对于选项A：直线的斜率，倾斜角为，故A正确；
对于B，表示过点斜率为k的直线，但不含点，而表示过点斜率为k的直线，且含点，故B错误；
对于C：经过点，斜率存在，设直线为，若在，轴上截距互为相反数，则，解得或，
所以直线方程为或，故C错误；
对于D，方程为直线两点式方程的变形，可以表示经过任意两点Px1,y1、Qx2,y2的直线，故D正确；
故选：AD.
10. 已知函数下列命题正确的是（ ）
A. 的值域为
B. 若，则为奇函数
C. 若只有一个零点，则的取值范围为
D. 若在上单调递减，则的取值范围为
【正确答案】BCD
【分析】结合分段函数的单调性，依次判断即可.
【详解】当时， 时，， 时，，所以的值域不为R，A错误.
若时，图象如图，
由图可知为奇函数，B正确.
当时， 时，， 时，，有两个零点，
当时， 时，，只有一个零点，
当时， 时，， 时，， 时，， 只有一个零点，
所以，若只有一个零点，则的取值范围为，C正确.
若在R上单调递减，则时，在上单调递减，则有，即的取值范围为，D正确.
故选：BCD
11. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ）

A. 三棱锥的体积为定值B. 直线平面
C. 当时，D. 直线与平面所成角的正弦值为
【正确答案】AD
【分析】对于A，将三棱锥转换成后易得其体积为定值；对于B，建系后，证明与平面的法向量不垂直即可排除B项；对于C，设出，利用证得，再计算，结果不为0，排除C项；对于D，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】
对于A，如图1，因,故A正确；

对于B，如图2建立空间直角坐标系，则,
于是，，
设平面的法向量为，则，故可取，
由知 与不垂直，
故直线与平面不平行，即B错误；
对于C，由上图建系，则, ,
因P为底面正方形ABCD内（含边界）动点,不妨设，则，，
由题意，，即，于是，
此时，故与不垂直，即C错误；
对于D，由图知平面的法向量可取为，因，
设直线与平面所成角为，
则，故D正确.
故选：AD.
三､填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12. 函数的定义域为______.
【正确答案】
【分析】求使式子有意义的实数的集合即可.
【详解】要使函数解析式有意义，
则有，即，解得，
故函数的定义域为.
故答案为.
13. 已知梯形ABCD中，，，，，点在线段上，则的最小值为______.
【正确答案】
【分析】建立平面直角坐标系，先求直线方程，设点后利用坐标运算可得.
【详解】如图，由题意以，为，轴建立平面直角坐标系，
则，，，，
设构成的一次函数为，代入，，
得，得，即，
因点P在线段BC上，可设，其中，
则，，
，
因，故当时取最小值为.
故
14. 已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是______.
【正确答案】
【分析】先求得直线（）与x轴的交点为，由可得点M在射线OA上.求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得；②若点M在点O和点A之间，求得；③若点M在点A的左侧，求得.再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果.
【详解】由题意可得，三角形ABC的面积为，
由于直线与x轴的交点为，
由直线将分割为面积相等的两部分，可得，
故，故点M在射线OA上，设直线和BC的交点为N，
则由可得点N的坐标为，
①若点M和点A重合，如图：
则点N为线段BC的中点，故，把A、N两点的坐标代入直线，
求得.
②若点M在点O和点A之间，如图：
此时，点N在点B和点C之间，由题意可得三角形NMB的面积等于，
即，即，可得，求得，
故有.
③若点M在点A的左侧，
则，由点M的横坐标，求得.
设直线和AC的交点为P，则由求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 ，
即，化简可得，由于此时，
所以，两边开方可得，所以，
故有.
综上可得b的取值范围应是.
故答案为.
关键点点睛：根据直线与三角形的交点位置分类讨论，利用三角形的面积求得等式，根据不等式性质求解即可，要注意讨论的完整性.
四､解答题（本题共5个小题，共77分，解答应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤.）
15. 在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为.

（1）求直线的方程；
（2）求直线的方程及点的坐标.
【正确答案】（1）
（2）直线的方程为：，
【分析】（1）根据垂直的位置关系，算出直线的斜率为，利用直线方程的点斜式列式，化简整理即可得到直线的方程；
（2）由边的高所在直线方程和，解出，从而得出直线的方程．由直线、关于直线对称，算出方程，最后将方程与方程联解，即可得出点的坐标．
【小问1详解】
由于所在直线的方程为，故的斜率为，
与互相垂直，直线的斜率为，
结合，可得的点斜式方程：，
化简整理，得，即为所求的直线方程．
【小问2详解】
由和联解，得
由此可得直线方程为：，即，
，关于角平分线轴对称，
直线的方程为：，
直线方程为，
将、方程联解，得，，
因此，可得点的坐标为．
16. 在三角形中，内角所对边分别为，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，三角形的面积为，求三角形的周长.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】(1)由正弦定理进行边角互化可得，结合两角差的余弦公式及同角三角函数的基本关系可求出，即可求出.
(2)由三角形的面积公式可得，结合及余弦定理即可求出，即可得出结果.
【小问1详解】
由正弦定理得，所以
所以，整理得，
因为，所以，因此，所以，
所以.
【小问2详解】
由面积为，得，解得，
又,则，.
由余弦定理得，解得，，
所以的周长为.
17. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手概率；
（2）表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“”的事件概率．
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据古典概型分别求出甲、乙选中号歌手的概率；利用求得结果；（2）根据，分别求解出两人选择号歌手和三人选择号歌手的概率，加和得到结果.
【详解】（1）设表示事件“观众甲选中号歌手”，表示事件“观众乙选中号歌手”
则，
事件与相互独立，与相互独立
则表示事件“甲选中号歌手，且乙没选中号歌手”
即观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率是
（2）设表示事件“观众丙选中号歌手”，则
依题意，，，相互独立，，，相互独立，且，，，彼此互斥
故“”的事件的概率为
本题考查独立事件概率的求解问题，关键是能够利用古典概型分别求解出符合题意情况的概率，属于基础题.
18. 如图，已知圆，动点，过点P引圆的两条切线，切点分别为．
（1）求证：直线过定点；
（2）若两条切线与轴分别交于两点，求的面积的最小值．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）.
【分析】（1）先求出A，B在以PC为直径的圆上，再求出以PC为直径的圆M的方程，最后由两个圆求出公共弦即可；
（2）先考虑一条切线斜率不存在的情况，求出面积，再考虑斜率都存在的情况下求出面积，最后得到面积的最小值即可.
【小问1详解】
由题知，圆的标准方程为，
所以圆心，半径，
因为是圆的两条切线，所以，，
所以A，B在以PC为直径的圆上，
又因为，且PC的中点为，
所以以PC为直径的圆M的方程为，
化简可得，
所以AB为圆C与圆M的公共弦，
所以直线AB的方程为，令，解得，
所以直线过定点；
【小问2详解】
当PA，PB有一条斜率不存在，即时，
不妨设PA斜率不存在，则直线PA的方程为，此时，，
设直线PB的方程为，
由圆心到PB的距离，解得，
所以直线PB的方程为，
所以，
此时，；
同理斜率不存在时；
当PA，PB斜率均存在，即时，
设过点的切线方程为，即，
因为PA，PB与圆C相切，
所以圆心C到直线的距离，
即，，
设PA，PB的斜率分别为，，
则，，
又点在直线上，点在直线上，
，，
所以
而，
所以．
又因为且，所以当时，，
此时．
综上，面积的最小值为．
关键点睛：本题的解题关键在于将面积问题转化为最小的问题，进而转化为斜率的问题，进而应用韦达定理解决.
19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为.
（1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值；
（2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离；
（3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积：
（ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小
【正确答案】（1）
（2）
（3）（i），（ii）
【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可；
（2）先计算平面法向量，找到平面上一点，然后利用向量的投影计算即可；
（3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内的图象，得到其二面角为钝角.
【小问1详解】
由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，则有，所以，
直线与平面所成角的正弦值为.
【小问2详解】
由题可知平面的法向量为，且过点，
因为，所以，
所以点到平面的距离为.
【小问3详解】
（i）建立空间直角坐标系，
先分别画平面x+y=2,x>0,y>0x−y=2,x>0,y0，画出第一卦限图象，显然其二面角为钝角，
计算平面得二面角，
所以两个平面的法向量分别为，
所以其二面角的余弦值为，所以二面角为.
思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可.