重庆市2025_2026学年高二数学上学期第一次月考试题含解析 (1)

这是一份重庆市2025_2026学年高二数学上学期第一次月考试题含解析 (1)，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 若直线 的倾斜角的大小为 ，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于 m 的方程即可求解.
【详解】若直线 的倾斜角的大小为 ，则直线 的斜率为 ，
则 ，所以直线 即直线 ，
所以 ，解得 .
故选：D
2. 已知直线 与直线 平行，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两直线平行列式计算即可.
【详解】由题意可知， ，所以 ，且 .
故选：B.
3. 已知直线 与圆 相切，则 （ ）
A. B.
第 1页/共 19页
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得圆心 到 的距离等于半径 1，即可解得 的值．
【详解】直线 即 ，
由已知直线 与圆 相切可得，
圆 的圆心 到 的距离等于半径 1，
即 ，解得 ，
故选：B．
4. 点 关于直线 的对称点 的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可.
【详解】设对称点 的坐标为 则 解得：
故选：B.
5. 记直线 ： 与圆 ： 相交所得弦为 ，则 的最小值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得直线 l 恒过定点 ，当 时 最小，结合几何法求弦长即可求解.
第 2页/共 19页
【详解】由直线 ，得 ，
有 ，解得 ，即直线 l 恒过定点 .
由圆 ，得 ，得 ，
当 ，垂足为 时， 最小，
此时 ，
所以 .
故选：D
6. 已知实数 满足 ，则 取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设 ，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进
行求解即可.
【详解】设 ，
问题可转化为直线 与圆 有公共点．
由 ，得 ，所以 的取值范围为 ，
故选：A
7. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的方程为 若直线 上至少
存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项.
【详解】圆 标准方程为 ，半径 ，
第 3页/共 19页
当圆心 到直线 的距离 时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意，
故有 ，解得 ，即 最大值为 ，
故选：D.
8. 若对一个角 ，存在角 满足 ，则称 为 的“伴随角”.
有以下两个命题：
①若 ，则必存在两个“伴随角” ；
②若 ，则必不存在“伴随角” ；
则下列判断正确的是（ ）
A. ①正确②正确； B. ①正确②错误；
C. ①错误②正确； D. ①错误②错误.
【答案】B
【解析】
【分析】将已知方程变形为 ，则 为直线
与单位圆 的交点.用圆心到直线的距离解决问题
【详解】将已知方程变形为 ，
则 为直线 与单位圆 的交点.
考虑圆心到直线的距离
，其中 .
对于①，若 ，则 ，于是 ，即 ，
直线与圆必有两个不同交点，
为直线 与单位圆 的交点，
第 4页/共 19页
故必存在两个“伴随角” ，即①正确；
对于②若 ，则 ，于是 ，
即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角” ，即②错误；
综上，①正确②错误，
故选:B.
【点睛】关键点点睛: 把 转化为直线 与单位圆 的
交点是解题的关键点.
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若直线的一个方向向量为 ，则该直线的斜率为
B. “ ”是“直线 与直线 互相垂直”的充分不必要条件
C. 已知直线 过定点 且与以 为端点的线段有交点，则直线 的斜率 的取值范
围是
D. 不经过原点的直线都可以用方程 表示
【答案】BC
【解析】
【分析】A 根据方向向量与斜率的关系判断；B 利用直线垂直的判定求参数即可判断；C 利用两点式求线段
端点处斜率，数形结合确定斜率范围；D 注意不过原点且垂直于坐标轴的直线；
【详解】A：由方向向量与斜率的关系知，该直线的斜率为 ，故 A 错；
B：直线 与直线 互相垂直的充要条件为 ，
即 或 ，
故已知条件间关系为充分不必要条件，故 B 对；
C：由 ， ，
第 5页/共 19页
由图知斜率 的取值范围是 ，故 C 对；
D：对于不过原点且垂直坐标轴的直线，不能用 表示，故 D 错.
故选：BC
10. 已知直线： ，圆 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 若 或 ，则直线 l 与圆 C 相切
B. 若 ，则圆 C 关于直线 l 对称
C. 若圆 与圆 C 相交，且两个交点所在直线恰为 l，则
D. 若 ，圆 C 上有且仅有两个点到 l 的距离为 1，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径即可判断 A，根据直线经过圆心即可判断 B，根
据两圆公共弦所在直线方程的求法即可判断 C，根据圆心 到直线 l 的距离 ，即可
得到不等式组，解出即可，即可判断 D.
【详解】圆 ，
对于 A：直线与圆相切，则 ，解得 ，A 错误；
对于 B：圆 C 关于直线 l 对称 圆心 在直线 l 上 ，解得 ，故 B
正确；
对于 C：圆 C 与圆 E 的方程作差得 ，即 ，
第 6页/共 19页
则 ，解得 ，经检验此时圆 ，
满足 ，则 ，故 C 错误；
对于 D：圆 C 上有且仅有两个点到 l 的距离为 1，则圆心 C 到直线 l 的距离大于 1 且小于 3，
即 ，即 ，
又 ，所以 ，D 正确；
故选：AC.
11. 如图，月牙形是由两段圆弧围成的一个封闭图形，若两段圆弧所在圆的半径相同，两圆的圆心分别为坐
标原点 和 ， ，直线 与月牙形只有两个交点，则（ ）（参考数据：
）
A.
B. 圆 的方程为
C. b 的取值范围为
D. 月牙形的面积约为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 AB，可通过确定圆心 坐标即可判断，对于 C，设直线 ，分别计算直线 过点
时，直线 与圆 相切时，直线 与圆 相切时 的取值，即可判断，对于 D，连接 ，
求得 的面积为 ，通过向量夹角公式求得 ，结合图形对称性即可求解.
第 7页/共 19页
【详解】由题易知，圆 的半径为 ，圆心 在 的垂直平分线上， ,且中
点坐标为
设坐标为 ，且 ，
所以 ，
解得 ，所以圆 C 的方程为 ， ，
故选项 A 正确，选项 B 错误.
设直线 ，当直线 过点 时， ，此时也过点 ，
当直线 与圆 相切时， ，解得 ，
当直线 与圆 相切时， ，
解得 或 ，
因为直线 与月牙形只有两个交点，
结合图象可知 的取值范围为 ，故选项 C 正确.
连接 ，
直线 方程为： ，
点 到 的距离为 ，
又
所以 的面积为 ，
第 8页/共 19页
设 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
由对称性可知月牙形的面积约为：
，故选项 D 正确.
故选：ACD
三、填空题
12. 已知点 ，动点 P 在直线 上，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先判断 A，B 在直线 的同侧，作 B 关于直线的对称点 ，当 A，P， 三点共
线时， 最小.
【详解】解：由题意知点 A，B 在直线 的同侧，
设点 B 关于直线 的对称点为 ，
则 解得
即 ，
所以
故答案为：
第 9页/共 19页
13. 直线 关于直线 对称的直线方程是______.
【答案】
【解析】
【分析】先求得两直线的交点坐标 ，再求得直线 上一点 ，关于直线
的对称点为 ，结合直线的点斜式方程，即可求解.
【详解】联立方程组 ，解得 ，即两直线的交点为 ，
由方程 ，令 ，可得 ，即直线 过点 ，
设点 关于直线 的对称点为 ，
则满足 ，解得 ，即 ，
所以 ，所以对称直线的方程为 ，即 .
故答案为： .
14. 已知 ，直线 ，P 为 l 上的动点.过点 P 作 的切线 ，
，切点分别为 A，B，当四边形 的面积最小时，直线 AB 的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】借助切线长定理可得 与 全等，则可得 ，结合切线性质计算可
得 时四边形 的面积最小，求出过 、 、 、 四点的圆的方程后与 方程作差即可得
第 10页/共 19页
直线 AB 的方程.
【详解】 ，则 的圆心为 ，半径 ，
由 ， 分别为 的切线，则 与 全等，
故四边形 的面积 ，
又 ，
又 ，故 ，
故 ，此时点 于点 ，设 ，
有 ，解得 ，即 ，
由 ，故 、 、 、 四点共圆且 为该圆直径，
则该圆圆心为 ，半径为 ，即该圆方程为 ，
即 ，又 ，
两圆作差得： ，即 ，
故直线 AB 的方程为 .
故答案为： .
四、解答题
15. 根据下列条件分别写出直线 方程，并化为一般式方程.
（1）斜率是 ，且经过点 ；
第 11页/共 19页
（2）斜率为 ，在 轴上的截距为 ；
（3）经过 ， 两点.
【答案】（1） ；
（2） ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）由直线的点斜式方程可得；
（2）由直线的斜截式方程可得；
（3）先求出直线的斜率，再由直线的点斜式方程即得.
【小问 1 详解】
由直线的点斜式方程可得直线方程为 ，
即 ；
【小问 2 详解】
由直线的斜截式方程可得直线方程为 ，
即 ；
【小问 3 详解】
由题意，直线的斜率为 ，
故由直线的点斜式方程可得直线方程为 ，
即 .
16. 在正四棱柱 中， 是底面 的中心，底面边长为 2，正四棱柱的体积为 16
第 12页/共 19页
（1）求证：直线 平行于平面
（2）求 与平面 所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）连结 AC，BD，设交点为 O，连结 ，然后证明 为平行四边形，再由线面平行判
定定理可证；
（2）分别以 为 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解可得.
【小问 1 详解】
连结 AC，BD，设交点为 O，连结 ，
∵ ，且 ，
故四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，故直线 平行于平面
【小问 2 详解】
由题易知， 两两互相垂直，
故分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图：
正四棱柱的体积为 16，则 ，
第 13页/共 19页
故 ，
易知 为平面 的一个法向量，
设 与平面 所成的角为 ，
则 ，
所以 与平面 所成的角的正弦值为 .
17. 已知直线 与直线 相交于点 ，以 为圆心的圆过点 .
（1）求圆 的方程；
（2）求过点 的圆 的切线方程.
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）联立直线得 ，圆 的半径为 ，进而可得；
（2）斜率不存在时， ，符合题意；斜率存在时，设直线方程，根据圆心到切线的距离为半径可得斜率，
进而可得.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，即 ，
由题意圆 的半径为 ，
故圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
第 14页/共 19页
当切线的斜率不存在时，方程为 ，与圆相切，符合题意.
当切线的斜率存在时，设斜率为 ，则切线方程为： ，即 ，
由题意 ，得 ，即 ，
两边分别平方得 ，得 ，
故切线方程为 ，即 ，
综上过点 的圆 的切线方程为 ， .
18. 如图，在四棱锥 中，底面 是梯形， ， ，
.
（1）证明： .
（2）已知平面 平面 ，点 满足 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1） 为 的中点，余弦定理和勾股定理证明 ，由等腰三角形证明 ，可证
平面 ，所以 ；
第 15页/共 19页
（2） 为原点建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值.
【小问 1 详解】
证明：取 为 的中点，连接 .
因为 ，所以 .
在 中， ，
则有 ，所以 .
因为 ，所以 .
又 平面 ， ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
【小问 2 详解】
解：因为平面 平面 ，且两平面相交于 ，
平面 ， ，所以 平面 .
以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
， ， ， ，则 ，
则 ，
由 ，即 ，则 ，
所以 .
设平面 的法向量为 ，则
第 16页/共 19页
令 ，则 ，得 .
易知平面 的一个法向量为 ，
所以 .
因为二面角 的夹角为锐角，所以二面角 的余弦值为 .
19. 已知圆 和点 ．
（1）过圆 上一点 作两条相异直线分别与圆 相交于 两点，且直线 和直线 的倾斜
角互补，求证：直线 的斜率为定值．
（2）已知 ，设 P 为满足方程 的任意一点，过点 向圆 引切线，切点为 B，试
探究：平面内是否存在一定点 ，使得 为定值？若存在，请求出定点 的坐标，并指出相应的定值；
若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，当 ，定值为 ；当 ，定值为
【解析】
【分析】（1）根据题目条件列出方程，利用韦达定理对直线 AB 的斜率进行化简，求得定值为 ；
（2）先根据条件求得动点 的方程，在假设定值存在，列出等式并用 点的方程化简，最后由多项式相等
求得 的坐标．
【小问 1 详解】
假设过点 一条直线倾斜角为 ，由题目条件得另一条直线的倾斜角也为 ，
但过直线外一点做该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛盾，
故过 的直线不可能垂直于 轴，
由于两直线的倾斜角互补，因为 ，故两直线的斜率互为相反数，
第 17页/共 19页
设直线 与圆相交于 ， 两点，
直线 与圆相交于 ， 两点，
点 满足 ，
化简得 ，由韦达定理得 ，
点 满足 ，
化简得 ，由韦达定理得 ，
则直线 AB 的斜率为 ，
易得 ， ，故 ，故直线 AB 的斜率为定值 ．
【小问 2 详解】
设 ，因 ，所以 ，
化简得， ，
所以点 的轨迹是一个圆，圆心为点 ，半径为 ，
因 ，所以圆 内含于圆 ，故点 一定在圆 外，
第 18页/共 19页
则 ，
又 P 在圆 上满足 ，即 ，
设 ，则 ，设 ，即 ，
把 代入化简得 ，
继续代入得 ，
要使上式对任意的 ， 均成立，则 ，
解得 或 ，
所以当 的坐标为 时，定值 ；
当 的坐标为 时，定值 ．
第 19页/共 19页