精品解析：黑龙江省大庆铁人中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷（解析版）

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2、请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.
第Ⅰ卷 选择题部分
一、单项选择题（本大题包括 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先分别求出集合 ，再根据交集的定义即可得解.
【详解】 ，
，
所以 .
故选：D.
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】必要性：若 ，则可得 ，所以可得 ，必要性成立；
若 ，则 ，而 ，故充分性不成立，
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“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
3. 已知幂函数 过点 ， 则函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件结合幂函数定义求 ，再由函数 的解析式求其定义域.
【详解】因为函数 为幂函数，故可设 ，
因为函数 的图象过点 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
由 有意义可得 ，
所以 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：D.
4. 年 月 日 时 分，宋令东等航天员乘坐的神舟十九号载人飞船由长征二号 运载火箭成功
发射至预定轨道.据科学家们测算：火箭的最大速度至少达到 千米/秒时，可将载人飞船顺利送入外太空
.若火箭的最大速度 （单位：米/秒）、燃料的质量 （单位：吨）和载人飞船的质量 （单位：吨）近似
满足函数关系式 要使载人飞船顺利进入外太空，则燃料质量与载人飞船质量的比值
至少为（ ）
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A. 9 B. 99
C. 999 D. 9999
【答案】B
【解析】
【分析】由条件，结合函数关系式列不等式可求燃料质量与载人飞船质量的比值的范围，由此确定结论.
【详解】 千米 秒 米 秒，
令 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
所以燃料质量与载人飞船质量的比值至少为 .
故选：B.
5. 已知角 的终边经过点 ，则角 的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数符号确定点角 的终边所在象限，再利用三角函数定义，结合诱导公式求出角 的值
可能.
【详解】由 ，则 ，点 在第三象限，
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， ， 可以是 ，A 是；
对于 B， ，B 不是；
对于 C， ，C 不是；
对于 D， ，D 不是.
故选：A
6. 已知函数 是增函数，且满足 ， ，则 的值为（
）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】由函数关系式利用赋值法求 ， ， ，再结合单调性及函数值为正整数求结论.
【详解】因为 ， ，
所以 ，故 ，
所以 ，故 ，
所以 ，故 ，
因为函数 是增函数，
所以 ,
所以 ， .
故选：A.
7. 已知函数 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】先判断出函数的奇偶性与单调性，再根据函数的单调性和奇偶性解不等式，求出 的范围，再
根据二倍角的余弦公式即可得解.
【详解】因为 ，定义域满足 ，解得 ，
因为
，
所以 ，所以 为奇函数，
因为函数 在 上单调递增，
，且设 ，
则
，
又 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
由于函数 在 上单调递增，
所以 ，
故函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
由 ，
得 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
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则 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：判断出函数的奇偶性与单调性是解决本题的关键.
8. 已知函数 其中 ．若 在区间 上单调递增，则ω的取值范围
是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由 求出 的范围，由函数在区间上单调递增，列出不等式，从而求得ω的范围，
取 的值得到结果.
【详解】当 时， ，
则 ，
即 ，解得 ，
当 时， ，又∵ ，则 ，
当 时， ，
当 时，∵ ，此时 无解，
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∴ .
故选：D.
二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. “集合 ”中只有一个元素是“ ”的必要不充分条件
B. 命题“ ”的否定为“ ”
C. 函数 的零点所在的一个区间是
D. 已知 ，则 的最小值为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据二次项是否为 0 分类讨论即可判断选项 A；由含有一个量词命题的否定即可判断选项 B；结合
函数 的单调性与零点存在性定理即可判断选项 C；有基本不等式即可判断选项 D.
【详解】对于 A，若集合 中只有一个元素，
当 时， ，符合题意；当 时，可得 ，解得 ，
所以“集合 ”中只有一个元素是“ ”的必要不充分条件，选项 A 正确；
对于 B，由含有一个量词命题的否定易知选项 B 正确；
对于 C，函数 在 上单调递增，
且 ， ，
故函数 在区间 上无零点，选项 C 错误；
对于 D，当 时， ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，选项 D 正确.
故选：BD.
10. 给出下列四个命题，其中所有正确命题的选项是（ ）
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A. 函数 的图象过定点
B. 已知函数 （ 且 ）在 上是减函数，则实数 a 的取值范围是
C. 化简 的结果为 25
D. 已知 .则
【答案】CD
【解析】
【分析】对于 A，由 可得所过定点；
对于 B，由对数函数，复合函数单调性可得 a 的取值范围；
对于 C，由对数运算性质可判断选项正误；
对于 D，由对数函数，指数函数单调性可判断选项正误；
【详解】对于 A，因 ，令 ，此时 ，
则所过定点为 ，故 A 错误；
对于 B，注意到 为 R 上减函数，则要使 在 上是减函数，
需使 在 为增函数，且 在 上恒成立，
则 ，故 B 错误；
对于 C，
，故 C 正确；
对于 D，注意到 在 上单调递增，
则
故 ，则 D 正确.
故选：CD
11. 已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则一定成立的有（ ）
A. 函数 的图象关于直线 对称
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B. 函数 的图象关于原点对称
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性，运用赋值法可得出该函数的对称性与周期性，结合对应性质，运用赋值法可
求出特定点的值.
【详解】由 定义域为 ，且 为偶函数，
∴ ①，
∴ 关于直线 对称，故 A 正确；
又 为奇函数，∴ ，
即 ，
用 替换上式中 ，得 ②，
∴ 关于点 对称，
又 关于直线 对称，
故 关于 轴对称，即 为偶函数，无法确定 的图象是否关于原点对称，
故 B 错误；
由①②得 ③，
∴ ④，
∴ ，∴ ，所以函数 周期为 4，
在②式中，令 得 ，解得 ，
①式中令 得 ，
②式中令 得 ，
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∴ ，故 C 正确，
无法判断结果，故 D 错误.
故选：AC.
三、填空题（本题包括 3 小题，每小题 5 分，共 15 分，把正确答案填在答题卡中横线上）
12. 已知扇形 周长是其半径的 4 倍，若该扇形的面积为 2，则该扇形的周长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】由扇形的周长公式求得圆心角 ，再代入扇形的面积公式求得扇形的半径 ，将求得结果代入扇
形的周长公式即可.
【详解】设扇形的半径为 ，圆心角为 ，
则扇形的周长 ，∴ ，
∴扇形的面积 ，∴ ，
∴扇形的周长 .
故答案为： .
13. 函数 在区间 上的一个对称中心是 ，则 的值
为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数 对称中心可得结果.
【详解】由题意得，
，
令 ，得 ，
当 时， ， ，故 的值为 .
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故答案为： .
14. 已知函数 ，若关于 的方程 有三个不相等的实数
解，则实数 的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】因为 ,即 ,画出函数图象,设
有三个不同实数解,故方程 有两个根,结合已知,即可求
得答案.
【详解】
画出 函数图象:
设
有三个不同实数解,
方程 有两个根
其中一个在区间 上,一个根为 或在区间 上,
若方程 一个根为 ,
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,另一根为 ,不满足条件.
故方程 有两个根,其中一个在区间 上,一个在区间
令
①当 时
则
解得:
②当 时
即 ,故 ,
将 代入
可得: ,
解得:
满足方程 两个根中,一个在区间 上,一个在区间
综上所述,实数 的取值范围为: .
故答案为: .
【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围,解题关键是掌握函数零点的定义,数形结合,考查了分析能
力和计算能力,属于难题.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 .
（1）若 ，求 的值；
（2）求不等式的解集 .
【答案】（1）
（2）答案见解析
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【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式和一元二次方程的关系，结合韦达定理可得结果.
（2）讨论 的范围，解一元二次不等式可得结果.
【小问 1 详解】
当 时，关于 的方程 的两根为 ，
由韦达定理可得 ，解得 .
【小问 2 详解】
原不等式可化为 .
当 时，原不等式为 ，解得 ， ；
当 时，方程 的根为 ， ，
当 时，不等式可化为 ，解得 或 ， ；
当 ，即 时，原不等式为 ， ；
当 ，即 时，不等式可化为 ，解得 ， ；
当 ，即 时，不等式可化为 ，解得 ， .
综上所述，当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；当 时， .
16. 已知 .
（1）若 ，求 的值；
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（2）若 且 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）根据诱导公式整理可得 ，结合题意可得 ，根据齐次式问题分析求解；
（2）结合（1）可得 ，利用两角和差公式结合角的范围分析求解.
【小问 1 详解】
由题意可得：
，
由已知 ，得 ，
所以
.
【小问 2 详解】
由 ，可知 ，
则 .
因为 ，则 ，
且 ，可得 ，
则 ，所以 .
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17. 已知函数
（1）若 ，当 时，求函数 的值域；
（2）若关于 的方程 在区间 上有两个不相等的实根，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用换元法，把问题转化成二次函数在给定区间上的值域问题求解.
（2）换元，转化成二次函数零点分布问题求解.
【小问 1 详解】
当 时， .
设 ，因为 ，所以 .
则 ， .
因为该函数在 上单调递减，在 上单调递增.
且 ，
，
所以，所求函数的值域为：
【小问 2 详解】
设 ，因为 ，所以 .
问题转化为：方程 在 上有两个不等实根.
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所以 .
所以，实数 的取值范围是：
18. 已 知 函 数 ， 若 函 数 在 区 间
上的最大值为 .
（1）求实数 的值；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到 图象.若对任意 ， ，当
时，都有 成立，求实数 的最大值.
【答案】（1） .
（2） .
【解析】
【分析】（1）化简函数解析式可得 ，结合正弦函数性质求 在 上
的最大值，列方程求 ；
（2）由条件可得函数 在 单调递增，根据函数变换求 ，结合辅助角公式化
简 ，求其单调递增区间，列不等式求 的最大值.
【小问 1 详解】
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当 时， ，
所以当 ，即 时， 有最大值为 ，
所以 ，所以 .
【小问 2 详解】
因为对任意 ， ，
当 时，都有 ，
即 ，
记 ，则 ，
所以 在 上是增函数.
又 .
所以
所以
令 ，求得 .
故 的单调增区间为 ， ，
所以 ，
当且仅当取 时满足条件，
所以
所以实数 的最大值为 .
19. 已知函数
（1）若函数 为奇函数，求实数 的值；
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（2）对于给定 常数 ，是否存在实数 ，使得函数 的图象关于直线 对称，如果存在，求
出 的值，如果不存在，说明理由；
（3）当 时， 比较 与 的大小，并给出证明.
【答案】（1）
（2）存在，
（3）相等，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义列方程求 ；
（2）假设存在 满足条件，由次可得函数 为偶函数，结合偶函数性质列方程求 ；
（3） ，展开结合
指数幂运算及性质证明结论.
【小问 1 详解】
因为 为奇函数，
所以 ，
故 ，
所以 ，
因此 ，
【小问 2 详解】
存在.
假设函数 的图象关于直线 对称，
则函数 为偶函数，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
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所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
因此当 时，使得函数 的图象关于直线 对称；
【小问 3 详解】
.
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